1.﹣的绝对值是( )A . 3B .C . ﹣D . ﹣3考点: 绝对值.思路: 根据绝对值的定义解答:绝对值的定义为:当a>0时,|a|=a ;当a=0时,|a|=0;当a<0时,|a|=-a 。
步骤: 解:|-31|=-(-31)=31。
故选:B .总结: 本题考查了对绝对值定义的掌握。
2.据教育部通报,2014年参加全国硕士研究生入学考试的人数约为1720000.数字1720000用B C D.B C D.任意摸出1个,摸到黄色乒乓球的概率是:=.5.如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB于C.若AB=8,OC=3,则半径OB的长为()A.3B.4C.5D.10考点:垂径定理;勾股定理.思路:因为OC⊥AB,且OC过圆心,所以可根据垂径定理可得AC=BC=4,在Rt△BOC中,利用勾股定理可计算出OB.步骤:解:∵OC⊥AB于C,∴AC=BC=AB=×8=4,在Rt△BOC中,OC=3,BC=4,∴OB==5.故选C.总结:本题对垂径定理和勾股定理进行了考查.6.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差s2:甲乙丙丁平均数(cm)561 560 561 560方差s2(cm2) 3.5 3.5 15.5 16.5根据表中数据,要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择()A.甲B.乙C.丙D.丁考点:方差;算术平均数.思路:根据方差和平均数的意义找出平均数大且方差小的运动员即可.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.步骤:解:∵甲的方差是3.5,乙的方差是3.5,丙的方差是15.5,丁的方差是16.5,∴S甲2=<S乙2<S丙2<S丁2,∴发挥稳定的运动员应从甲和乙中选拔,∵甲的平均数是561,乙的平均数是560,∴成绩好的应是甲,∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择甲;故选A.总结:本题对方差和平均数进行了考查.7.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于E,∠BED=150°,则∠A的大小为()A.150°B.130°C.120°D.100°考点:平行四边形的性质.思路:根据平行四边形的性质和平分线的定义,可以证明AB=AE,则△ABE是等腰三角形,又根据∠BED=150°,可求得∠A的度数.步骤:解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE,∵BE平分∠ABE,∴∠ABE=∠CBE,∴∠AEB=∠ABE,∴AB=AE,∵∠BED=150°,∴∠ABE=∠AEB=30°,∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°.故选C.总结:此题对平行四边形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的判定与性质进行了考查.8.如图,点P是以O为圆心,AB为直径的半圆的中点,AB=2,等腰直角三角板45°角的顶点与点P重合,当此三角板绕点P旋转时,它的斜边和直角边所在的直线与直径AB分别相交于C、D两点.设线段AD的长为x,线段BC的长为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是()A.B.C.D.,整理得,y=,11.如图,矩形台球桌ABCD的尺寸为2.7m×1.6m,位于AB中点处的台球E沿直线向BC边上的点F运动,经BC边反弹后恰好落入点D处的袋子中,则BF的长度为m.考点:相似三角形的应用.思路:根据题意可得∠DFC=∠EFB,∠EBF=∠FCD,进而得出△EBF∽△DCF,可用相似三角形的性质得出比例式求解.步骤:解:由题意可得出:∠DFC=∠EFB,∠EBF=∠FCD,∴△EBF∽△DCF,∴=,∴=,解得:BF=0.9.故答案为:0.9.总结:此题对相似三角形的判定与性质进行了考查。
12.在一次数学游戏中,老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果,糖果数依次为a,b,13.计算:(3﹣π)0+2tan60°+﹣.考点:实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.思路:对原式进行零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂、二次根式分别进行计算得1+2 +3﹣3,继续按照实数运算法则进行计算即可.步骤:解:原式=1+2+3﹣3=4﹣.总结:此题对实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂、二次根式进行了考查.14.解不等式组:.考点:解一元一次不等式组.思路:先分别求出每一个不等式的解集,再利用口诀求其解集:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解),然后从其中找出整数即可.步骤:解:,由①得:x>﹣3,由②得:x<1,∴原不等式组的解集为﹣3<x<1.总结:本题对一元一次不等式组的解法进行了考查.15.已知x2+3x﹣4=0,求代数式(x+3)2+(x+3)(2x﹣3)的值.16.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AC上的一点,且AD=BC,DE⊥AC于D,∠EAB=90°.求证:AB=AE.考点:全等三角形的判定与性质.思路:首先通过等量代换得出∠B=∠EAD,再根据AAS证明△ABC≌△EAD,则AB=AE.步骤:证明:∵∠EAB=90°,∴∠EAD+∠CAB=90°.∵∠ACB=90°,∴∠B+∠CAB=90°.∴∠B=∠EAD.∵ED⊥AC,∴∠EDA=90°.∴∠EDA=∠ACB.在△ACB和△EDA中,,∴△ACB≌△EDA(AAS),∴AB=AE.总结:本题对全等三角形的判定及性质进行了考查,运用等量代换证明一组角相等是解题关键。
17.列方程(组)解应用题:﹣=218.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax﹣a(a为常数)的图象与y轴相交于点A,与函数的图象相交于点B(m,1).(1)求点B的坐标及一次函数的解析式;(2)若点P在y轴上,且△PAB为直角三角形,请直接写出点P的坐标.考点:反比例函数与一次函数的交点问题.思路:(1)因为点B在反比例函数图象上,将B代入函数解析式,可求出点的坐标,再代入一次函数中,即可求解。
(2)分两种情况进行分类讨论:①∠BPA=90°,②∠PBA=90°.步骤:解:(1)∵B在的图象上,∴把B(m,1)代入得m=2∴B点的坐标为(2,1)∵B(2,1)在直线y=ax﹣a(a为常数)上,∴1=2a﹣a,∴a=1∴一次函数的解析式为y=x﹣1.(2)过B点向y轴作垂线交y轴于P点.此时∠BPA=90°∵B点的坐标为(2,1)∴P点的坐标为(0,1)当PB⊥AB时,在Rt△P1AB中,PB=2,PA=2∴AB=2在等腰直角三角形PAB中,PB=PA=2∴PA==4∴OP=4﹣1=3∴P点的坐标为(0,3)∴P点的坐标为(0,1)或(0,3).总结:主要对一次函数和反比例函数的交点问题进行了考查.19.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=2,以AC为边在△ABC的外部作等边△ACD,连接BD.(1)求四边形ABCD的面积;(2)求BD的长.考点:解直角三角形;等边三角形的性质;勾股定理.思路:(1)Rt△ABC中,根据已知可求出AC和AB的值,则ABC的面积=AC•BC.过点D 作DE⊥AC于E,Rt△ADE中,可求出DE,则△ACD的面积=AC•DE,则根据四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积求解;(2)过点D作DF⊥AB于F。
则∠DAF=180°﹣∠BAC﹣∠DAC,在Rt△ADF中,可求得AF和DF的值,则BF=AF+AB,然后在Rt△BDF中运用勾股定理即可求出BD的长度.步骤:解:(1)∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=2,∴AC=2,AB=4.∴△ABC的面积=AC•BC=×2×2=2.∵△ACD为等边三角形,∴AD=AC=2,∠DAC=60°.过点D作DE⊥AC于E.在△ADE中,∵∠AED=90°,∠DAE=60°,AD=2,∴DE=AD•sin∠DAE=2×=,∴△ACD的面积=AC•DE=×2×=,∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=2+=3;(2)过点D作DF⊥AB于F.∵∠BAC=60°,∠DAC=60°,∴∠DAF=180°﹣∠BAC﹣∠DAC=60°.在△ADF中,∠AFD=90°,∠DAF=60°,AD=2,∴AF=1,DF=,∴BF=AF+AB=1+4=5,∴BD===2.总结:本题对解直角三角形、三角形的面积、勾股定理进行了考查。
准确作出辅助线构造直角三20.社会消费品通常按类别分为:吃类商品、穿类商品、用类商品、烧类商品,其零售总额是反映居民生活水平的一项重要数据.为了了解北京市居民近几年的生活水平,小红参考北京统计信息网的相关数据绘制了统计图的一部分:(1)北京市2013年吃类商品的零售总额占社会消费品零售总额的百分比为;(2)北京市2013年吃类商品零售总额约为1673亿元,那么当年的社会消费品零售总额约为亿元;请补全条形统计图,并标明相应的数据;(3)小红根据条形统计图中的数据,绘制了北京市2010至2013年社会消费品零售总额年增长率统计表(如下表),其中2013年的年增长率为(精确到1%);请你估算,如果按照2013年的年增长率持续增长,当年社会消费品零售总额超过10000亿元时,最早要到年(填写年份).北京市2010至2013年社会消费品零售总额年增长率统计表(3)根据题意得:2013年的年增长率为×100%≈9%,21.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点,DF⊥AC 于F.(1)求证:DF为⊙O的切线;(2)若cosC=,CF=9,求AE的长.考点:切线的判定.思路:(1)首先做辅助线:连接OD,AD,可证明OD∥AC,则OD⊥DF,得证;(2)先求得CD、DF,再证明四边形DMEF和四边形OMEN是矩形,推出OM=EN,EM=DF=12,求出OM,即可求得AE.步骤:解:(1)连接OD,AD,∵AB是⊙的直径,∴∠ADB=90°,又∵AB=AC,∴BD=CD又∵OB=OA,∴OD∥AC∵DF⊥AC,∴OD⊥DF又∵OD为⊙的半径,∴DF为⊙O的切线.(2)连接BE交OD于M,过O作ON⊥AE于N,则AE=2NE,∵cosC=,CF=9,∴DC=15,∴DF==12,∵AB是直径,∴∠AEB=∠CEB=90°,∵DF⊥AC,OD⊥DF,∴∠DFE=∠FEM=∠MDF=90°,∴四边形DMEF是矩形,∴EM=DF=12,∠DME=90°,DM=EF,即OD⊥BE,同理四边形OMEN是矩形,∴OM=EN,∵OD为半径,∴BE=2EM=24,∵∠BEA=∠DFC=90°,∠C=∠C,∴△CFD∽△CEB,∴=,∴=,∴EF=9=DM,设⊙O的半径为R,则在Rt△EMO中,由勾股定理得:R2=122+(R﹣9)2,解得:R=,则EN=OM=﹣9==,∴AE=2EN=7.总结:本题对垂径定理、勾股定理、矩形的性质和判定、切线的判定、平行线的性质的应用进行22.阅读下面材料:在学习小组活动中,小明探究了下面问题:菱形纸片ABCD的边长为2,折叠菱形纸片,将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处,折痕分别为EF、GH.当重合点在对角线BD上移动时,六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的?小明发现:若∠ABC=60°,①如图1,当重合点在菱形的对称中心O处时,六边形AEFCHG的周长为;②如图2,当重合点在对角线BD上移动时,六边形AEFCHG的周长(填“改变”或“不变”).请帮助小明解决下面问题:如果菱形纸片ABCD边长仍为2,改变∠ABC的大小,折痕EF的长为m.(1)如图3,若∠ABC=120°,则六边形AEFCHG的周长为;(2)如图4,若∠ABC的大小为2α,则六边形AEFCHG的周长可表示为.考点:翻折变换(折叠问题);菱形的性质.思路:①根据图形可以判断:△BEF和△DGH是全等的等边三角形,再根据菱形的性质即可求解;②根据图形可以判断:△BEF和△DGH是等边三角形,再根据菱形的性质即可求解;(1)由∠ABC=120°,可知EF+GH=AC,再根据三角函数和菱的性质即可求解;(2)由∠ABC的大小为2α,可知EF+GH=AC,再根据三角函数和菱形的性质即可求解.步骤:解:①如图1,当重合点在菱形的对称中心O处时,由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形,∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6.∴六边形AEFCHG的周长为6;②如图2,当重合点在对角线BD上移动时,由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形,∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6.∴六边形AEFCHG的周长为6.故六边形AEFCHG的周长不变.(1)如图3,若∠ABC=120°,由题意可知EF+GH=AC,则六边形AEFCHG的周长为2×2+2×sin60°×2=4+2;(2)如图4,若∠ABC的大小为2α,由题意可知EF+GH=AC,则六边形AEFCHG的周长可表示为2×2+2×sinα×2=4+4sinα.故答案为:①6;②不变.(1)4+2;(2)4+4sinα.总结:本题对图形的翻折进行了考查,其中包含了菱形的性质等知识点,关键是得到EF+GH=AC,综合性较强.23.在平面直角坐标系xOy 中,二次函数y=mx 2﹣(m+n )x+n (m <0)的图象与y 轴正半轴交于A 点.(1)求证:该二次函数的图象与x 轴必有两个交点;(2)设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ,若∠ABO=45°,将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ,求直线l 的解析式;(3)在(2)的条件下,设M (p ,q )为二次函数图象上的一个动点,当﹣3<p <0时,点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方,求m 的取值范围.考点: 二次函数综合题. 思路: (1)根据题意,首先求根的判别式,发现得到的整式恒大于零,得证;(2)首先令mx 2﹣(m+n )x+n =0,用含m 、n 的代数式表示出一元二次方程的根,则可求出B ,A 点坐标,进而求出直线AB 的解析式,再利用平移规律得出答案;(3)根据(2)的结论,当﹣3<p <0时,点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方,当p=0时,q=1;当p=﹣3时,q=12m+4;结合图象可知:﹣(12m+4)≤2,即可得出m 的取值范围. 步骤: 解:(1)令mx 2﹣(m+n )x+n=0,则△=(m+n )2﹣4mn=(m ﹣n )2,∵二次函数图象与y 轴正半轴交于A 点, ∴A (0,n ),且n >0, 又∵m <0,∴m ﹣n <0, ∴△=(m ﹣n )2>0,∴该二次函数的图象与轴必有两个交点;(2)令mx 2﹣(m+n )x+n=0,解得:x 1=1,x 2=mn , 由(1)得mn<0,故B 的坐标为(1,0), 又因为∠ABO=45°,所以A (0,1),即n=1, 则可求得直线AB 的解析式为:y=﹣x+1.再向下平移2个单位可得到直线l :y=﹣x ﹣1;(3)由(2)得二次函数的解析式为:y=mx2﹣(m+1)x+1∵M(p,q)为二次函数图象上的一个动点,∴q=mp2﹣(m+1)p+1.∴点M关于轴的对称点M′的坐标为(p,﹣q).∴M′点在二次函数y=﹣m2+(m+1)x﹣1上.∵当﹣3<p<0时,点M关于x轴的对称点都在直线l的下方,当p=0时,q=1;当p=﹣3时,q=12m+4;结合图象可知:﹣(12m+4)≤2,解得:m≥﹣,∴m的取值范围为:﹣≤m<0.总结:这是一道二次函数综合压轴题,主要考查了二次函数、根的判别式及一次函数图象的平移等知识点.24.在△ABC中,AB=AC,将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD,旋转角为α,且0°<α<180°,连接AD、BD.(1)如图1,当∠BAC=100°,α=60°时,∠CBD 的大小为;(2)如图2,当∠BAC=100°,α=20°时,求∠CBD的大小;(3)已知∠BAC的大小为m(60°<m<120°),若∠CBD的大小与(2)中的结果相同,请直接写出α的大小.考点:全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质.思路:(1)因为∠BAC=100°,AB=AC,则有∠ABC=∠ACB=40°,当旋转角为α=60°时,△ACD 是等边三角形,且AC=AD=AB=CD,则△ABD是等腰三角形,知道∠BAD的度数,进而①由(1)可知,设∠α=60°时可得∠BAD=m﹣60°,∠ABC=∠ACB=90°﹣,∠ABD=90°﹣∠BAC=120°﹣,∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=30°.②由(2)可知,翻折△BDC到△BD1C,则此时∠CBD1=30°,∠BCD=60°﹣∠ACB=﹣30°,∠α=∠ACB﹣∠BCD1=∠ACB﹣∠BCD=90°﹣﹣(﹣30°)=120°﹣m,③以C为圆心CD为半径画圆弧交BD延长线于D2,连接CD2,∠CDD2=∠CBD+∠BCD=30°+﹣30°=,∠DCD2=180°﹣2∠CDD2=180°﹣m∠α=60°+∠DCD2=240°﹣m.综上所述,α为60°或120°﹣m或240°﹣m时∠CBD=30°.总结:本题是一道几何综合压轴题,解题关键是要从探究特殊结论中归纳出一般性解题方法,并灵活运用这种方法解答一般性的问题,真正达到举一反三的目的.25.对于平面直角坐标系xOy中的点P(a,b),若点P′的坐标为(a+,ka+b)(其中k为常数,且k≠0),则称点P′为点P的“k属派生点”.例如:P(1,4)的“2属派生点”为P′(1+,2×1+4),即P′(3,6).(1)①点P(﹣1,﹣2)的“2属派生点”P′的坐标为;②若点P的“k属派生点”的坐标为P′(3,3),请写出一个符合条件的点P的坐标;(2)若点P在x轴的正半轴上,点P的“k属派生点”为P′点,且△OPP′为等腰直角三角形,则k 的值为;(3)如图,点Q的坐标为(0,4),点A在函数y=﹣(x<0)的图象上,且点A是点B的“﹣属派生点”,当线段BQ最短时,求B点坐标.考点:反比例函数综合题;反比例函数图象上点的坐标特征;二次函数的最值;等腰直角三角形.思路:(1)①将a=﹣1,b=﹣2,k=2代入(a+,ka+b),则能够求出P′的坐标.②由P′(3,3)可求出k=1,则有a+b=3.任取一个a,可求出相应的b(只要点P的横坐标与纵坐标的和等于3即可),从而得到符合条件的点P的一个坐标.(2)设点P坐标为(a,0),从而有P′(a,ka),则可以证明PP′⊥OP及OP=PP′,得出∴a=±ka,从而求出k.(3)首先设点B的坐标为(m,n),则可以得出点A的坐标(m+,﹣m+n),由点A在函数y=﹣(x<0)的图象上可得到m、n之间的关系n=m+2.然后将BQ2用m的代数式表示,根据二次函数的最值性,求出BQ最小时对应的m的值,从而求出对应的点B的坐标.步骤:解:(1)①当a=﹣1,b=﹣2,k=2时,a+=﹣1+=﹣2,ka+b=2×(﹣1)﹣2=﹣4.②由题可得:∵点A是点B的“﹣属派生点”,∴点A的坐标为(m+,﹣m+n),∵点A在函数y=﹣(x<0)的图象上,∴(m+)(﹣m+n)=﹣4,且m+<0.整理得:(m+)2=4.∵m+<0,∴m+=﹣2.∴n=m+2.∴点B的坐标为(m,m+2).过点B作BH⊥OQ,垂足为H,如图所示.∵点Q的坐标为(0,4),∴QH2=(m+2﹣4)2=(m﹣2)2,BH2=m2.∴BQ2=BH2+QH2=m2+(m﹣2)2=4m2﹣12m+12=4(m﹣)2+3.∵4>0,∴当m=时,BQ2最小,即BQ最小.此时n=m+2=+2=.∴当线段BQ最短时,B点坐标为(,).总结:这是一道函数与几何综合压轴题。