数学竞赛中代数式最值问题的解题策略邮编：422200 作者：湖南隆回一中 邹启文数学竞赛中最值问题，有一定难度，但只要我们去认真的分析，仔细地思考，不管问题再难，其实万变不离其宗，总离不开所学过的知识点和基本方法。

如不等式法（包含非负数性质a ≥0，2a ≥0， a ≥0，一元二次方程判别式△≥0，整体大于部分等等），公式法（包括二次函数顶点坐标公式、三角函数公式、完全平方公式等等），区间取值法（包括一次函数线段端点取值与曲线在某区间内的最值求取等等），在求解方法上也有其规律性，如夹逼法、递推法、枚举法、放缩法、排序法，还有转化为几何图形法等等。

近两年来的各级各类初中数学竞赛中的最值问题，在题型上已呈现出一个崭新的形势，其变化之多、涉及面之广、形式之灵活可谓达到了空前的程度，同时最值的求法也有了较大的拓展，打破了原有的思维定势，但仍然是有章可循的。

例1：已知设1x 、2x 、3x 、……n x 均为连续正整数，且1x ＜2x ＜3x ＜……＜n x ，1x +2x +， 3x +……+n x =2005，则n x 的最大值是＿＿＿＿最小值＿＿＿＿（2005年自编题）分析：这是一道须利用不等式求解的试题，由于有1x +2x +3x +……+n x =2005，所以应当想到这些数的平均数必与中位数接近，于是可由此确定3x 的数值或范围。

然后再求n x 的最大与最小数值。

解：由题意可设1x +2x +3x +……+n x =1+2+3+……+n =2005，由高斯求和公式可得()200521=+n n ，解得63≈n ，但当63=n 时()()2016326321636321=⨯=+=+n n当62=n 时()()1953633121626221=⨯=+=+n n ，∵1953≤2005≤2016，且n 是整数，∴n ≠62或63，我们又观察到平均值()⨯=++++n n n x x x x 13211ΛΛ40152005⨯=，且5和401都是质数，显然n 不可能是401，∴n 只可能是5，故有1x +2x +3x +……+5x =2005又∵平均数51（1x +2x +3x +……+5x ）=200551⨯=401，且1x 、2x 、3x 、……n x 均为连续正整数和1x ＜2x ＜3x ＜……＜5x ，即4013=x ∴当3991=x ，4035=x 时，恰有2005403402401400399=++++，于是n x 的最大值是403，最小值399。

【注】：由于本题中关键的是平均数与中位数关系的合理运用，1x 、2x 、3x 、……n x 是按从小到大的顺序排列的，在否定了1x 、2x 、3x 、……n x 是从1起的整数后，我们也可观察到1x +2x +3x +4x +5x =2005的平均数与中位数相等，所以也可以用枚举法确定5x =403与1x =399的大小，例2、若x 、y 、z 是实数，满足x +y +z =5，3=++zx yz xy ，则z 的最大值是＿（2004年全国希望杯初中数学邀请赛试题）分析：这是一道已知条件中含有二次项的求其中某未知量最大值的典型题，因为本题已知x 、y 、z 是实数，那么由实数的意义可联想到x 、y 、z 是可开方的，因此应该想到x 、y 、z 在某一未知数为主元的一元二次方程的判别式△≥0，于是应想办法将两个等式转化为一元二次方程。

解：∵x +y +z =5， 3=++zx yz xy 则x =5-z -y ，∴()()355=--++--y z z zy y y z ，即()0)35(522=+-+-+z z y z y 又∵y 、z 是实数，∴△=()()()()13311310335145222+-+=++-=+-⨯⨯--z z z z z z z ≥0∴⎩⎨⎧≤-≥3131z z ， 即得-1≤z ≤313， 于是z 的最大值为313【注】：本题中虽然只要求同学们求z 的最大值，但实际上z 还存在最小值，同时其它未知量也可用同样的方法求出它们的最值。

例3、若()()()36131221=++-++--++z z y y x x ，则z y z 32++的最小值是＿＿，最大值是＿＿（2004年全国希望杯初中数学邀请赛试题）分析：本题是含有绝对值符号的最值题，要求z y z 32++的最大值，一般来说应有x 、y 、z 的其它条件存在，但题中并没有反映出来，所以我们必需用函数的有关知识在这个等式中寻找x 、y 、z 的条件。

解：∵()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤--≤+-=-++21221311221x x x x x x x ，同理有()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤--≤+-=-++21221311221y y y y y y y ，同样有()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤--≤+-=++-32231412213z z z z z z z ，又∵()()()13,12,21++-++--++z z y y x x 的积为36=433⨯⨯∴应取⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=-++431321321z z y y x x ，相应的取值范围是⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-≤≤-312121z y x ，∴其最小值为z y z 32++=()()()13121-+-+-=-6 其最大值为z y z 32++=1533222=⨯+⨯+【注】：本题实际上是根据一次函数的取值范围求代数式z y z 32++最值的，题目把它们的取值范围隐藏在等式的绝对值中，如21-++=x x X ，21-++=y y Y ，31-++=z z Z ，因此拓展了求最值的思维。

例4、已知a ＜0，b ≤0，c ＞0，且ac b ac b 242-=-，求ac b 42-的最小值。

（2004年“TRULY 信利杯”全国初中数学竞赛试题）分析：本题是一道利用完全平方的性质求解的典例，虽然根据平方根的意义只要ac b 42-≥0，但有了等式右边ac b 2-就不一定是以0为最小值了，所以必须将ac b 42-转换为完全平方的形式。

解：∵ac b ac b 242-=-，两边同时平方得()2224ac b ac b -=- 展开得2222444c a abc b ac b +-=-，化简后从而有1-=b ac又∵ac b 42-=()()22214-=--b b b ，由于b ≤0，当b 取最大值0时，()22-b 值最小，且最小值是()22-b =()4202=-，于是ac b 42-的最小值为4EF 【注】：本题很容易被二次根式ac b 42-中必有ac b 42-≥0所迷惑，以为ac b 42-≥0中0就是它的最小值，其实不然。

例5、若y x ,为正实数，且4=+y x ，那么4122+++y x 的最小值是＿＿＿＿（首届创新杯全国数学邀请赛第二试试题）分析：从代数式4122+++y x 的形式可知，求它们的和实际上是求两个Rt △的斜边的和，所以可转化为几何图形进行分析，是转化为几何图形求解。

解：设AB=4，AP=x ，PB=y ，AE=1，BD=2 ∵CE=12+x ，CD=42+y∴4122+++y x =PE+PD ≥CE+CD=DE=故4122+++y x 的最小值是5【注】：有时还可将在直线同旁的点通过反射变换，将点描在直线的两旁求和的大小。

综上所述，尽管竞赛题在题型上呈现出了一个崭新的景象，涉及面广、形式灵活、且变化莫测，使人感到难以捉磨。

即使题目中的最值求法实现了极大的拓展，我们也不能感到畏惧，只要我们在平时养成全面且严密的逻辑思维习惯，解题时持谨慎的态度，那么问题就会在你的努力下成功地获得解决。

有兴趣吗？试试看，请作下例各题。

1、设1x 、2x 、3x 、……9x 均为正整数，且1x ＜2x ＜3x ＜……＜9x ，1x +2x +，3x +……+9x =220，当1x +2x +3x +4x +5x 的值最大时，求1x -9x 的最小值。

（2004年全国初中数学联赛试题）2、若x 、y 、z 为实数，且x 2—xy ＋y 2=z ，x 3＋y 3=z 2，求z 可能取的最大值。

（希望杯全国数学邀请赛试题）3、设x 为实数，求54321+++++++++x x x x x 的最小值（选编）4、已知1222=+y x ，求252y x +的最大值与最小值。

（选编）5、若x 、y 为正实数，且3=-y x ，那么25422+++y x 的最小值是＿（选编）答案与提示：（1）、因为1x +2x +3x +……+9x =220，所以其平均数为91（1x +2x +3x +……+9x ）=91⨯220，即44.24=x。

又因有1x ＜2x ＜3x ＜……＜9x 存在，即1x 、2x 、3x 、……9x 是按从小到大的顺序排列的，故其中位数为5x 应当满足24≤5x ≤25且5x 是整数，所以5x =24或25，当5x =24时，因为1x ＜2x ＜3x ＜……＜9x ，所以1x 有最大值为20，9x 有最小值为29，恰有20+21+22+23+24+25+……+29=220，于是9x -1x 的最小值为9x -1x =9。

显然5x =25是不合题意的，于是5x 只能等于24。

（2）、想办法消去X （或Y ）变为以Y （或X ）为主元的一元二次方程，再用判别式△≥0求之，答案为4。

（3）、当5-≤x ≤1-，51+++x x 的最小值为4，当-4≤x ≤-2，42+++x x 的最小值为2，当x =-3时3+x 的最小值为0。

故当x =-3时，原式的最小值为min y =4+2+0=6（4）、∵1222=+y x，∴102≤≤x ，102≤≤y ，即11≤≤-x ，11≤≤-y ，∴()()10292522522521252+--=-+=+x x x yx ，当52=x 时，有最大值1029当1-=x时，有最小值2-（5）、本题的两个点都在一条直线的同旁，故应将其中一点进行轴反射变换到直线的两旁后，按例5方法求解线段的和。

答案为58。

说明：编辑老师：如果您认为本文还有点价值可编，但觉得略长，则可把题注部分和习题的解答过程删除，只保留答案部分。

谢谢！。