2020年山东省普通高中学业水平等级数学试卷一．选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分．1-8小题只有一个选项符合题意，9-12为多选题）1. 设集合A={x∈N|−1≤x≤3}，B={y|yx2, x∈R}，则A∩B=()A.{0, 1, 2, 3}B.{1, 2, 3}C.[1, 3]D.[0, 3]2. 已知a、b都是实数，那么“a<b<0”是“1a >1b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 设函数f(x)=tan x2，若a=f(log32),b=f(log1512)，c＝f(20.2)，则（）A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c4. 已知P为等边三角形所在平面内的一个动点，满足BP→=λBC→(λ∈R)，若|AB→|=2，则AP→⋅(AB→+AC→)=()A.2√3B.3C.6D.与λ有关的数值5. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36∘的等腰三角形（另一种是顶角为108∘的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BCAC =√5−12．根据这些信息，可得sin234∘＝（）A.1−2√54B.−3+√58C.−√5+14D.−4+√586. 已知(1+λx)n展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，(1+λx)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，若a1+a2+...+a n＝242，则(x+λx)4展开式中常数项（）A.32B.24C.4D.87. 在棱长为1的正四面体A−BCD中，E是BD上一点，BE→=3ED→，过E作该四面体的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为（）A.π8B.3π16C.π4D.5π168. 若定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f’(x)>f(x)+9e x，f(3)＝27e3，则不等式f(x)9>xe x的解集是（）A.(3, +∞)B.(−∞, 3)C.(−3, +∞)D.(−∞, −3)9. 已知数列{a n}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，设c n=a bn，T n为数列{c n}的前n项和，则当T n<2019时，n的取值可以是下面选项中的（）A.8B.9C.10D.1110. 已知函数f(x)=13x3+12ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f(x1)＝x1，则关于x的方程f2(x)+af(x)+b＝0的不同实根个数为（）A.2B.3C.4D.511. 如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是( )A.点P到平面QEF的距离B.直线PQ与平面PEF所成角C.三棱锥P−QEF的体积D.△QEF的面积12. 函数f(x)图象上不同两点A(x1, y1)，B(x2, y2)处的切线的斜率分别是k A，k B，|AB|为A，B两点间距离，定义φ(A, B)=|k A−k B||AB|为曲线f(x)在点A与点B之间的“曲率”，其中正确命题为（）A.存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数B.函数f(x)＝x3−x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则“曲率”φ(A, B)>√3C.函数f(x)＝ax2+b(a>0, b∈R)图象上任意两点A、B之间的“曲率”φ(A, B)≤2aD.设A(x1, y1)，B(x2, y2)是曲线f(x)＝e x上不同两点，且x1−x2＝1，若t⋅φ(A, B)<1恒成立，则实数t的取值范围是(−∞, 1)．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．已知复数z=1+3i1−i，则复数z的虚部为________．函数f(x)=alnxx 的图象在点（e2, f(e2)）处的切线与直线y=−1e4x平行，则f(x)的极值点是________．设x>0，y>0，若xln2，ln√2，yln2成等差数列，则1x +9y的最小值为________．过点M(0, 1)的直线l交椭圆x28+y24=1于A，B两点，F为椭圆的右焦点，△ABF的周长最大为________，此时△ABF的面积为________．三、解答题：本题共六个大题，共70分．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(a+b+c)(a+b−c)＝3ab．(Ⅰ)求角C的值；(Ⅱ)若c＝2，且△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．已知数列{a n}前n项和S n满足S n=2a n−2(n∈N∗),{b n}是等差数列，且a3＝b4−2b1，b6＝a4．（1）求{a n}和{b n}的通项公式：（2）求数列{(−1)nb n2}的前2n项和T2n∗在四棱锥P−ABCD中，AB // CD，AB=2CD=2BC=2AD=4，∠DAB=60∘，AE=BE，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．(1)求二面角P−EC−D的余弦值；(2)线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为√68?若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)左顶点M(−2, 0)，离心率为√22．（1）求椭圆Γ的方程；（2）过N(1, 0)的直线AB交椭圆Γ于A、B两点，当MA→⋅MB→取得最大值时，求△MAB 面积．设函数f(x)＝x2−alnx．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当a＝2时，,e]上的最大值和最小值；①求函数f(x)在[1e,e]，使得f(x1)+f(x2)+...+f(x n−1)≤f(x n)成立，求n ②若存在x1，x2，…，x n∈[1e的最大值．某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调査．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0, 30]内，按[0, 5]，(5, 10]，(10, 15]，(15, 20]，(20, 25]，(25, 30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如表所示：将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望．附：观测值公式：K2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：参考答案与试题解析2020年山东省普通高中学业水平等级数学试卷一．选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分．1-8小题只有一个选项符合题意，9-12为多选题）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】对集合A用列举法进行表示，对集合B用不等式描述集合元素特征，然后根据集合交集的运算法则，求出A∩B．【解答】解：因为A={x∈N|−1≤x≤3}={0, 1, 2, 3}，B={y|yx2, x∈R}={y|y≥0}，所以A∩B={0, 1, 2, 3}.故选A.2.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】若1a >1b，则1a−1b=b−aab>0，若0<a<b，则1a >1b成立，当a>0，b<0时，满足1a >1b，但0<a<b不成立，故“0<a<b”是“1a >1b”的充分不必要条件，3.【答案】D【考点】利用不等式比较两数大小【解析】容易看出f(x)在(0, π)上单调递增，且可得出log32=1log23,log1512=1log25，且1<20.2<2，从而得出0<log1512<log32<20.2<π，这样根据f(x)的单调性即可得出a，b，c的大小关系．【解答】f(x)在(0, π)上单调递增； log 32=1log 23,log 1512=1log 25，且log 25>log 23>1；∴ 0<1log25<1log 23<1；∴ 0<log 1512<log 32<1；又1<20.2<2；∴ 0<log 1512<log 32<20.2<π；∴ b <a <c ． 4.【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由向量的投影的几何意义得：点P 在直线BC 上，取BC 的中点为D ，则AB →+AC →=2AD →，由向量的投影的几何意义有：AP →⋅(AB →+AC →)=2|AD →|2＝2×(√3)2＝6，得解： 【解答】由BP →=λBC →(λ∈R)， 即点P 在直线BC 上， 取BC 的中点为D ， 则AB →+AC →=2AD →， 由向量的投影的几何意义有：AP →⋅(AB →+AC →)=2|AD →|2＝2×(√3)2＝6， 5.【答案】 C【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】由已知求得∠ACB ＝72∘，可得cos72∘的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解sin234∘． 【解答】由图可知，∠ACB ＝72∘，且cos72∘=12BC AC=√5−14．∴ cos144∘=2cos 272−1=−√5+14．则sin234∘＝sin(144∘+90∘)＝cos144∘=−√5+14．6.【答案】 B【考点】二项式定理及相关概念 【解析】先求出n 的值，再求出λ的值，写出展开式的通项公式即可求出． 【解答】(1+λx)n 展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，则∁n 2＝∁n 3，求得n ＝5，令x ＝0，则a 0＝1令x ＝1，则a 0+a 1+a 2+...+a n ＝(1+λ)5＝242+1＝243， 解得λ＝2，则(x +2x )4的展开式的通项公式为 T r+1＝C 4r 2r x 4−2r ，令4−2r ＝0，解得r ＝2，故(x +2x )4的展开式中的常数项为C 4222＝24 7.【答案】 B【考点】球的体积和表面积 【解析】根据题意，将四面体ABCD 放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R ，当球心O 到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值． 【解答】将四面体ABCD 放置于正方体中，如图所示， 可得正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球， ∵ 正四面体ABCD 的棱长为1，∴ 正方体的棱长为√22，可得外接球半径R 满足2R =√12+12+12=√62，R =√64．E 是BD 上一点，BE →=3ED →，当球心O 到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值， 此时球心O 到截面的距离等于OE ， ∵ cos∠ODB =√62=√63，OD=√64，DE =14，∴ OE 2=(√64)2+(14)2−2×√64×14×√63=316，则所得截面半径最小值为√616−316=√316．∴ 所得截面面积的最小值为π×(√316)2=3π16．8.【答案】 A【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】构造函数g(x)，通过研究g(x)的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解． 【解答】∵ f′(x)>f(x)+9e x ， ∴f ′(x)−f(x)e x −9>0，∴ [f(x)e x−9x]>0，令g(x)=f(x)e x−9x ，则g(x)在R 上单调增函数，∵ f(3)＝27e 3，g(3)=f(3)e 3−27=0，∴f(x)9>xe x 等价于f(x)e x−9x >0，即g(x)>g(3)，其解集为：(3, +∞)． 9.【答案】 A,B【考点】等差数列与等比数列的综合 【解析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n }的通项公式，利用数列的分组求和可得数列{c n }的前n 项和T n ，验证得答案． 【解答】由题意，a n ＝1+2(n −1)＝2n −1，b n =2n−1，c n =a b n =2⋅2n−1−1＝2n −1，则数列{c n }为递增数列， 其前n 项和T n ＝(21−1)+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1) ＝(21+22+ (2))−n =2(1−2n )1−2−n =2n+1−2−n ．当n ＝9时，T n ＝1013<2019； 当n ＝10时，T n ＝2036>2019． ∴ n 的取值可以是8，9． 10.【答案】 B【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】由题意可得x 1、x 2是f′(x)＝x 2+ax +b ＝0的两个不相等的实数根，可得△＝a 2−4b>0，从而得到关于x的方程f2(x)+af(x)+b＝0有2个不等实数根，数形结合可得答案．【解答】由于函数y＝f(x)的图象和直线y＝x2的交点个数，即为方程f(x)＝x2的解个数．根据f(x1)＝x1，画出图形，如图所示：由于函数y＝f(x)的图象和直线y＝x1的交点个数为2，函数y＝f(x)的图象和直线y＝x2的交点个数为1，可得关于x的方程f(x)＝x1或f(x)＝x2共有3个不同的实数根，即关于x的方程f2(x)+af(x)+b＝0的不同实根个数为3．故选：B．11.【答案】B【考点】异面直线及其所成的角柱体、锥体、台体的体积计算【解析】A．由于平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，可得：点P到平面QEF即到×√2a为定值；对角面A1B1CD的距离=14⋅√2a⋅D．由于点Q到直线CD的距离是定值√2a，|EF|为定值，因此△QEF的面积=12|EF|为定值；C．由A．D可知：三棱锥P−QEF的体积为定值；B．用排除法即可得出．【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=1×√2a为定值；4D．∵点Q到直线CD的距离是定值√2a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=1⋅√2a⋅|EF|为定值；2C．由A．D可知：三棱锥P−QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选B．12.【答案】A,C【考点】命题的真假判断与应用【解析】考虑一次函数，求出导数，可得φ(A, B)＝0，即可判断A；求出A，B的坐标，求得φ(A, B)，即可判断B；求出f(x)的导数，运用不等式的性质，可得φ(A, B)≤2a，即可判断C；求出函数的导数，运用新定义求得φ(A, B)，由恒成立思想，即可得t的范围，即可判断D．【解答】对于A，当函数f(x)＝kx+b(k≠0)时，f′(x)＝k，φ(A, B)=|k A−k B||AB|=|k−k||AB|=0，故A正确；对于B，由题意得A(1, 1)，B(2, 5)，f′(x)＝3x2−2x，∴φ(A, B)=|k A−k B||AB|=1+16=17<√3，故B错误；对于C，f′(x)＝2ax，∴φ(A, B)=|k A−k B||AB|=12122112=2122≤2a，故C正确；对于D，由f(x)＝e x，得f′(x)＝e x，由A(x1, y1)，B(x2, y2)为曲线y＝e x上两点，且x1−x2＝1，可得φ(A, B)=|k A−k B||AB|=x1x2122x x2，由√1(e x1−e x2)2+1>1，可得t≤1，故D错误．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【答案】−2【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】由z=1+3i1−i =(1+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−2+4i2=−1+2i，得z=−1−2i，∴复数z的虚部为−2．【答案】x＝e【考点】利用导数研究函数的极值【解析】求出函数的导数，根据f′(e2)=−ae4=−1e4，求出a的值，从而求出f(x)的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可．f′(x)=a(1−lnx)x 2，故f′(e 2)=−ae 4=−1e 4，解得：a ＝1， 故f(x)=lnx x，f′(x)=1−lnx x 2，令f′(x)＝0，解得：x ＝e ， 经检验x ＝e 是函数的极值点， 【答案】 16【考点】基本不等式及其应用 等差数列的通项公式 【解析】结合等比数列的性质可得x +y ＝1，然后结合基本不等式即可求解． 【解答】由题意可得2ln √2=(x +y)ln2， 所以x +y ＝1，则1x +9y =(1x +9y )(x +y)＝10+yx +9x y≥10+6＝16，当且仅当yx =9xy且x +y ＝1即x =14，y =34时取等号，此时取得最小值16． 【答案】 8√2,4√103【考点】椭圆的离心率 【解析】根据椭圆的定义和性质可得右焦点为F(2, 0)，当且仅当A ，B ，F 1共线，周长最长，再根据两点式即可求出直线方程．Q 求和求解AB 的纵坐标，转化求解三角形的面积即可． 【解答】 设椭圆x 28+y 24=1右焦点为F(2, 0)，F 1(−2, 0)，则AF ＝4√2−AF 1，BF 1＝4√2−BF 1，所以AF +BF +AB＝8√2+AB −(AF 1+BF 1)， 显然AF 1+BF 1≥AB ，当且仅当A ，B ，F 1共线时等号成立，所以当直线l 过点F 1时，△ABF 的周长取最大值8√2， 此时直线方程为y −1=12x ，即x −2y −2＝0．{x −2y −2=0x 2+2y 2=8 ，可得：3y 2+4y −2＝0，设A(x 1, y 1)， B(x 2, y 2)，y 1+y 2=43，y 1y 2=−23，△ABF的面积为：12×4×2√103=4√103，三、解答题：本题共六个大题，共70分．【答案】（1）△ABC中，(a+b+c)(a+b−c)＝3ab，∴a2+b2−c2＝ab，由余弦定理得，cosC=a2+b2−c22ab =12；又∵C∈(0, π)，∴C=π3；（2）由c＝2，C=π3，根据正弦定理得，a sinA =bsinB=csinC=2sinπ3=4√33，∴a+b=4√33(sinA+sinB)=4√33[sinA+sin(2π3−A)]＝2√3sinA+2cosA＝4sin(A+π6)；又∵△ABC为锐角三角形，∴{0<A<π20<2π3−A<π2，解得π6<A<π2；∴π3<A+π6<2π3，∴2√3<4sin(A+π6)≤4，综上，a+b的取值范围是(2√3, 4]．【考点】余弦定理【解析】(Ⅰ)化简(a+b+c)(a+b−c)＝3ab，利用余弦定理求得C的值；(Ⅱ)由正弦定理求出a+b的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出A的取值范围，从而求出a+b的取值范围．【解答】（1）△ABC中，(a+b+c)(a+b−c)＝3ab，∴a2+b2−c2＝ab，由余弦定理得，cosC=a2+b2−c22ab =12；又∵C∈(0, π)，（2）由c＝2，C=π3，根据正弦定理得，a sinA =bsinB=csinC=2sinπ3=4√33，∴a+b=4√33(sinA+sinB)=4√33[sinA+sin(2π3−A)]＝2√3sinA+2cosA＝4sin(A+π6)；又∵△ABC为锐角三角形，∴{0<A<π20<2π3−A<π2，解得π6<A<π2；∴π3<A+π6<2π3，∴2√3<4sin(A+π6)≤4，综上，a+b的取值范围是(2√3, 4]．【答案】S n＝2a n−2，当n＝1时，得a1＝2，当n≥2时，S n−1＝2a n−1−2，作差得a n＝2a n−1，(n≥2)所以数列{a n}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以a n=2n．设等差数列{b n}的公差为d，由a3＝b4−2b1，b6＝a4，所以8＝3d−b1，16＝5d+b1，所以3＝d，b1＝1，所以b n＝3n−2．T2n=(−b12+b22)+(−b32+b42)+⋯+(−b2n−12+b2n2)=3(b1+b2)+3(b3+b4)+...+3(b2n−1+b2n)，＝3(b1+b2)+3(b3+b4)+...+3(b2n−1+b2n)＝3(b1+b2+...+b2n)又因为b n＝3n−2，所以T2n=3×2n(b1+b2n)2=3n[1+3×(2n)−2]=18n2−3n．【考点】数列的求和【解析】（1）根据由S n求a n的方法可求{a n}的通项公式，由题意可得{b n}为等差数列，由条件求其公差d，可得结果；（2）由T=(−b2+b2)+(−b2+b2)+⋯+(−b2+b2)=3(b+b)+【解答】S n ＝2a n −2，当n ＝1时，得a 1＝2，当n ≥2时，S n−1＝2a n−1−2， 作差得a n ＝2a n−1，(n ≥2)所以数列{a n }是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以a n =2n ．设等差数列{b n }的公差为d ， 由a 3＝b 4−2b 1，b 6＝a 4，所以8＝3d −b 1，16＝5d +b 1， 所以3＝d ，b 1＝1， 所以b n ＝3n −2．T 2n =(−b 12+b 22)+(−b 32+b 42)+⋯+(−b 2n−12+b 2n 2)=3(b 1+b 2)+3(b 3+b 4)+...+3(b 2n−1+b 2n )，＝3(b 1+b 2)+3(b 3+b 4)+...+3(b 2n−1+b 2n )＝3(b 1+b 2+...+b 2n ) 又因为b n ＝3n −2， 所以T 2n =3×2n(b 1+b 2n )2=3n[1+3×(2n)−2]=18n 2−3n ．【答案】解：(1)设O 是AD 中点，△PAD 为正三角形， 则PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，又AD =AE =2，∠DAB =60∘， 所以△ADE 为正三角形，OE ⊥AD .以O 为原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系如图，则P(0, 0, √3)，E(0, √3, 0)，C(−2, √3, 0).设平面PEC 法向量为n →=(x, y, z)， PC →=(−2, √3, −√3)，PE →=(0, √3, −√3)， 则{n →⋅PC →=−2x +√3y −√3z =0,n →⋅PE →=√3y −√3z =0, 取y =1，得n →=(0, 1, 1)，同理得平面EDC 的法向量m →=(0, 0, 1)， 所以cos <m →，n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√22.DM →=DP →+PM →=(1−2λ,√3λ,√3−√3λ)，PE →=(0,√3,−3→λ)， 所以|cos <DM →,PE →>|=|DM →⋅PE→|DM →|⋅|PE →||=6√10λ2−10λ+4=√68， 所以λ=13或λ=23，所以存在点M 为线段PC 的三等分点． 【考点】二面角的平面角及求法 向量的共线定理 【解析】（1）设O 是AD 中点，△PAD 为正三角形，则PO ⊥AD ，PO ⊥平面ABCD ，推导出OE ⊥AD ，以O 为原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用同量法能求出二面角P −EC −D 的余弦值．（2）设PM →=λPC →(0≤λ≤1)，根据|cos <DM →,PE →>|=√68，求出λ即可判断M 的位置．【解答】解：(1)设O 是AD 中点，△PAD 为正三角形， 则PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，又AD =AE =2，∠DAB =60∘， 所以△ADE 为正三角形，OE ⊥AD .以O 为原点，OA 为x 轴，OE 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系如图，则P(0, 0, √3)，E(0, √3, 0)，C(−2, √3, 0).设平面PEC 法向量为n →=(x, y, z)， PC →=(−2, √3, −√3)，PE →=(0, √3, −√3)， 则{n →⋅PC →=−2x +√3y −√3z =0,n →⋅PE →=√3y −√3z =0, 取y =1，得n →=(0, 1, 1)，同理得平面EDC 的法向量m →=(0, 0, 1)， 所以cos <m →，n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√22.DM →=DP →+PM →=(1−2λ,√3λ,√3−√3λ)，PE →=(0,√3,−3→λ)， 所以|cos <DM →,PE →>|=|DM →⋅PE→|DM →|⋅|PE →||=6√10λ2−10λ+4=√68， 所以λ=13或λ=23，所以存在点M 为线段PC 的三等分点． 【答案】由已知a ＝2，ca=√22可得c =√2，∴ a 2−b 2＝2，即4−b 2＝2， ∴ b 2＝2， ∴ 椭圆方程为x 24+y 22=1．当直线AB 与点x 轴重合时，点M 与点A 重合，此时MA →=0→， ∴ MA →⋅MB →=0，当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x ＝ty +1，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 由{x =ty +1x 24+y 22=1得(t 2+2)y 2+2ty −3＝0，显然△>0， ∴ y 1+y 2=−2t t 2+2，y 1y 2=−3t 2+2，∴ MA →⋅MB →=(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2＝(ty 1+3)(ty 2+3)+y 1y 2＝(t 2+1)y 1y 2+3t(y 1+y 2)+9，＝(t 2+1)−3t 2+2+3t ⋅−2tt 2+2+9， =−9t 2−3t 2+2+9=15t 2+2≤152，∴ MA →⋅MB →取得最大值为152，此时t ＝0，直线l 为x ＝1，此时A(1, √62)，B(1, −√62)，∴ |AB|=√6，|MN|＝3，∴ S =12|MN|⋅|AB|=12×3×√6=3√62【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（2）当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x ＝ty +1，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，根据韦达定理和向量的数量积，可求出MA →⋅MB →取得最大值为152，此时t ＝0，直线l 为x ＝1，即可求出三角形的面积 【解答】由已知a ＝2，ca=√22可得c =√2，∴ a 2−b 2＝2，即4−b 2＝2， ∴ b 2＝2， ∴ 椭圆方程为x 24+y 22=1．当直线AB 与点x 轴重合时，点M 与点A 重合，此时MA →=0→， ∴ MA →⋅MB →=0，当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 的方程为x ＝ty +1，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 由{x =ty +1x 24+y 22=1得(t 2+2)y 2+2ty −3＝0，显然△>0， ∴ y 1+y 2=−2t t 2+2，y 1y 2=−3t 2+2，∴ MA →⋅MB →=(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2＝(ty 1+3)(ty 2+3)+y 1y 2＝(t 2+1)y 1y 2+3t(y 1+y 2)+9，＝(t 2+1)−3t 2+2+3t ⋅−2tt 2+2+9， =−9t 2−3t 2+2+9=15t 2+2≤152，∴ MA →⋅MB →取得最大值为152，此时t ＝0，直线l 为x ＝1，此时A(1, √62)，B(1, −√62)，∴ |AB|=√6，|MN|＝3， ∴ S =12|MN|⋅|AB|=12×3×√6=3√62【答案】函数f(x)＝x 2−alnx ，可得f ′(x)=2x −ax=2x 2−a x，故当a ≤0时，f ′(x)≥0，所以函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x)>0，得x >√2a2，所以函数f(x)在(√2a2,+∞)上单调递增；令f ′(x)<0，得x <√2a 2，所以函数f(x)在(0,√2a2)上单调递减．综上，当a ≤0时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；①当a ＝2时，由（1）知，函数f(x)在[1e ,1)上单调递减，在(1, e]上单调递增．故f(x)min ＝f(1)＝1，又因为f(1e )=1e 2+2<3，5.29＝2.72−2<f(e)＝e 2−2<2.82−2＝5.84，故f(x)max =f(e)=e 2−2，②由于，e 2−2＝f(e)≥f(x n )≥f(x 1)+f(x 2)+...+f(x n−1)≥(n −1)f(1)＝n −1， 故n ≤e 2−1<7．由于x ∈[1e ,e]时，f(x)∈[1, e 2−2]， 取x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝x 5＝1，则f(x 1)+f(x 2)+⋯+f(x 5)=5<e 2−2， 故n 的最大值为6． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】（1）求出f ′(x)=2x −ax=2x 2−a x，通过当a ≤0时，当a >0时，判断函数的单调性即可．（2）①当a ＝2时，利用函数的导数，求出f(x)min ＝f(1)＝1，f(x)max =f(e)=e 2−2，②推出n 2≤e 2−1<7．取x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝x 5＝1，推出结果即可． 【解答】函数f(x)＝x 2−alnx ，可得f ′(x)=2x −ax =2x 2−a x，故当a ≤0时，f ′(x)≥0，所以函数f(x)在(0, +∞)上单调递增； 当a >0时，令f ′(x)>0，得x >√2a2，所以函数f(x)在(√2a 2,+∞)上单调递增；令f ′(x)<0，得x <√2a2，所以函数f(x)在(0,√2a2)上单调递减．综上，当a ≤0时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增； 当a >0时，函数f(x)在(√2a 2,+∞)上单调递增，在(0,√2a2)上单调递减． ①当a ＝2时，由（1）知，函数f(x)在[1e ,1)上单调递减，在(1, e]上单调递增．故f(x)min ＝f(1)＝1，又因为f(1e )=1e 2+2<3，5.29＝2.72−2<f(e)＝e 2−2<2.82−2＝5.84，故f(x)max =f(e)=e 2−2，②由于，e 2−2＝f(e)≥f(x n )≥f(x 1)+f(x 2)+...+f(x n−1)≥(n −1)f(1)＝n −1， 故n ≤e 2−1<7．由于x ∈[1e ,e]时，f(x)∈[1, e 2−2]， 取x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝x 5＝1，则f(x )+f(x )+⋯+f(x )=5<e 2−2，【答案】依题意，因为0.01×5+0.02×5+0.04×5＝0.35<0.5，而0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×5＝0.65>0.5，所以中位数位于[15, 20)之间，所以中位数为15+0.5−0.350.06=17.5．依题意，消费金额在20千元以上的频率为：0.04×5+0.03×5＝0.35，所以网购迷”人数为100×0.35＝35人，非网购迷的人数为100−35＝65人． 所以补全的列联表如下：所以K 2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(15×20−45×20)260×40×35×65≈6.593．所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”；根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，P(ξ＝0)=(1−12)2(1−23)2=136，P(ξ＝1)=c 21×(12)2×(1−23)2+(12)2C 21×23×(1−23)=16P(ξ＝2)=(12)2×(1−23)2+C 21(12)2×C 21×13×(1−13)+(12)2×(23)2=1336， P(ξ＝3)=C 21×(12)2×(23)2+(12)2×C 21×23×(1−23)=13，P(ξ＝4)=(12)2×(23)2=19． 所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望E(ξ)=16+2×1336+3×13+4×19=73．【考点】离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）根据中位数在中间位置，即该数前的数出现频率为0.5，结合频率分布直方图估计即可；（2）根据题意，补充完整列联表，根据表中数据，计算出K 2的值，查临界值表判断即可；（3）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23，甲、试卷第21页，总21页 1，2，3，4，分别计算出各个取值对应的概率，即可得到随机变量ξ的分布列，求出期望即可．【解答】依题意，因为0.01×5+0.02×5+0.04×5＝0.35<0.5，而0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×5＝0.65>0.5，所以中位数位于[15, 20)之间，所以中位数为15+0.5−0.350.06=17.5．依题意，消费金额在20千元以上的频率为：0.04×5+0.03×5＝0.35，所以网购迷”人数为100×0.35＝35人，非网购迷的人数为100−35＝65人．所以补全的列联表如下：所以K 2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(15×20−45×20)260×40×35×65≈6.593．所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”；根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，P(ξ＝0)=(1−12)2(1−23)2=136，P(ξ＝1)=c 21×(12)2×(1−23)2+(12)2C 21×23×(1−23)=16 P(ξ＝2)=(12)2×(1−23)2+C 21(12)2×C 21×13×(1−13)+(12)2×(23)2=1336， P(ξ＝3)=C 21×(12)2×(23)2+(12)2×C 21×23×(1−23)=13，P(ξ＝4)=(12)2×(23)2=19． 所以随机变量ξ的分布列为： 所以ξ的数学期望E(ξ)=16+2×1336+3×13+4×19=73．。