1. Gabor变换 由于Fourier变换存在着不能同时进行时间－频率 局部分析的缺点，曾出现许多改进的方法。1946年 D.Gabor提出一种加窗的Fourier变换方法，它在非 平稳信号分析中起到了很好的作用。是一种有效的 信号分析方法，而且与当今的小波变换有许多相似 之处。
(1). Gabor变换的定义
由于 e jt 1 ，因此，频谱 F(ω) 的任一频 率成份的值是由时域过程 f(t) 在 －∞, +∞ 上的贡 献决定的，而过程 f(t) 在任一时刻的状态也是由 F(ω) 在整个频域 －∞, +∞ 的贡献决定的。
该性质可由 δ(t) 函数来理解，即时域上的 一个冲激脉冲在频域中具有无限伸展的均匀频 谱。f(t) 与 F(ω) 间的彼此的整体刻划，不能 反映各自在局部区域上的特征。
解决了Fourier变换不能解决的许多困难 问题。小波变换联系了应用数学、物理 学、计算机科学、信号与信息处理、图 像处理、地震勘探等多个学科。
数学家认为，小波分析是一个新的数学 分支，它是泛函分析、Fourier分析、样
调分析、数值分析的完美结晶；
信号和信息处理专家认为，小波分析是时间－－ 尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号 分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据 压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研 究都取得了有科学意义和应用价值的成果；
在实际过程中,时变信号是常见的，如语音信号、 地震信号、雷达回波等。在这些信号的分析中，希 望知道信号在突变时刻的频率成份，显然利用 Fourier变换处理这些信号，这些非平稳的突变成份 往往被Fourier变换的积分作用平滑掉了。因此，不 能用于局部分析。在实际应用中，也不乏不同的时 间过程却对应着相同的频谱的例子。
Morlet这一根据经验建立的公式当时并未得到 数学家的认可，幸运的是A.Caldron的发现、 Hardy空间原子分解的深入研究已为小波变换 的诞生作了理论上的准备。
后来，J.o.Stromberg构造了第一个小波基。 1986年著名的数学家Y.Meyer构造了一个真正 的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波 基的统一方法－－多尺度分析。
数字图像处理学
第3章 图像处理中的正交变换
（第五讲）
3. 6 小波变换
3.6.1 概述 小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速 发展的新领域，经过近20年的探索研究，重要的 数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。 与Fourier 变换、Gabor变换相比小波变换是空间 （时间）和频率的局部变换，因而能有效地从信 号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对 函数或信号进行多尺度的细化分析，
能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦 到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困 难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法 上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显 微镜”。
小波的概念是由法国的从事石油勘测信号处理的地 球物理学家J.Morlet于1984年提出的。他在分析地 震波的时频局部特性时,希望使用在高频处时窗变窄, 低频处频窗变窄的自适应变换。但Fourier变换很难 能满足这一要求，随后他引用了高斯余弦调制函数， 将其伸缩和平移得到一组函数系，它后来被称之为 “Morlet小波基”。
有人认为，除了微分方程的求解之外， 原则上能用Fourier分析的地方均可以用 小波分析，有时甚至能得到更好的结果。
与Fourier变换、Gabor变换相比，小波变换是 时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩 平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化， 最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，
从此，小波分析开始了蓬勃发展的阶段。值得 一提的是比利时女数学家I.Daubechies的 “Ten lectures on Wavelet”一书对小波的普 及应用起了重要的推动作用。
1986年S.Jafferd、Y.Meyer与从事信号处理的 S.mallat合作指出小波正交基的构造可纳入一个统 一框架，引入多分辨分析的概念，统一了前人构造 的具体小波，并给出了多分辨分析的构造正交小波 基的一般化方法。S.Mallat还提出了小波变换的快 速分解与重构算法，现在称之为Mallat算法。
从物理意义上理解，一个周期振动信号可看成是 具有简单频率的简谐振动的叠加。Fourier展开 正是这一物理过程的数学描述。即：
F () f (t)e jt dt
f (t) 1 F ()e jt d
2
（3—197） (3—198)
Fourier变换的特点是域变换，它把时域和频 域联系起来，把时域内难以显现的特征在频域 中十分清楚地显现出来。频谱分析的本质就是 对 F(ω) 的加工与处理。基于这一基本原理， 现代谱分析已研究与发展了多种行之有效的高 效、多分辨率的分析算法。
为解决此类问题又产生了所谓双正交小波基理 论。在实际应用中，人们还构造了周期小波和 多元小波等。近年来小波分析已深入到非线性 逼近、统计信号处理等领域。由此可见，小波 理论及应用正在逐步发展与完善。
3.6.2 时－频分析 信号分析的主要目的是寻找一种简单有效的信号变换 方法，以便突出信号中重要特性，简化运算的复杂度。 大家熟知的Fourier变换就是一种刻划函数空间，求解 微分方程，进行数值计算的主要方法和有效的数学工具。 它可把许多常见的微分、积分和卷积运算简化为代数运 算。
在Gabor变换中，把非平稳过程看成是一系列短 时平稳信号的叠加，而短时性是通过时间上加窗 来实现的。整个时域的覆盖是由参数τ的平移达 到的。
该算法在小波分析中的作用相当于FFT在 Foruier变换中的地位。后来，该方法成功地 88年I.Daubechies首先构造了紧支集光 滑小波。从此，小波分析理论得到了系统化。
虽然小波正交基用途广泛，但也存在着不足。 1）、小波正交基的结构复杂； 2）、具有紧支集的小波正交基不可能具有对称性。 因此，它用作滤波器不可能有线性相位，从而产生 信号重构失真。