• Alfred Haar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似 的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后 来被命名为哈尔小波(Haar wavelets)
图1-3
小波变换
傅里叶变换与小波变换
• 频域分析具有很好的局部性，但空间域上没有局部化 功能。傅里叶变换反映的是图像的整体特征。傅里叶 变换使得局部信息在变换过程中丢失了。 • 与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局 部变换，它通过伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度 细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分， 能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号 的任意细节。
实例：哈尔小波变换
• 哈尔小波变换
– 在实例中的求均值和差值的过程实际上就是一维小波变 换的过程，现在用数学方法重新描述哈尔小波变换 • I(x)图像用V2中的哈尔基表示
I ( x) = 9φ02 ( x) + 7φ12 ( x) + 3φ22 ( x) + 5φ32 ( x)
实例：哈尔小波变换
• N×N哈尔变换矩阵的第i行包含了元素 hi(z)，其中z=0/N,1/n,2/n,…,(N-1)/N。当 N=4时，k,q和p值如下
• N=4时 k 0 1 2 3
1 1 2 0 1 1 − 2 0
p 0 0 1 1
1
q 0 1 1 2
⎡ ⎢ 1 ⎢ H4 = 4⎢ ⎢ ⎣
1 ⎤ −1 −1 ⎥ ⎥ 0 0 ⎥ ⎥ 2 − 2⎦
• 图像金字塔
– 高斯和拉普拉斯金字塔编码 先对图像用高斯脉冲响应(a*exp(-((x-b)/2c)^2) ) 或 5*5的高斯模板或作低通滤波，滤波后的结果从原图 像中减去，图像中的高频细节则保留在差值图像里； 然后，对低通滤波后的图像进行间隔采样，细节并不 会因此而丢失
3.3.1 多分辨率分析的背景知识
• I(x)图像用V1和W1中的函数表示 1 1矢量空间的基函数为 φ 1 ( x) 和 φ ( x) ，生成 生成V 1 矢量空间W1的小波函数为 ψ 11 ( x) 和ψ 0 ( x) ，I(x)可 表示为 1 1 1 1 1 1 I ( x ) = c0φ0 ( x) + c1φ11 ( x ) + d 0ψ 0 ( x ) + d11ψ 1 ( x )
给定尺度函数，则小波函数ψ ( x) 所在的空间跨越了相邻两 尺度子空间Vj和Vj+1的差异。令相邻两尺度子空间Vj和Vj+1 的差异子空间为Wj，则下图表明了Wj与Vj和Vj+1间的关系。
尺度及小波函数空间的关系
Ψ ( x )为一个基本小波或者母 小波 ( Mother Wavelet ), 将基本小波 Ψ (t )经过伸缩和平移后，可 以得到小波序列： Ψ j , k ( x ) = 2 j / 2 Ψ ( 2 j x − k )( j , k ∈ Z )
ϕ j , k ( x ) = 2 j / 2 ϕ (2 j x − k )
j ∈ z, k ∈ z
则 集 合 {ϕ j , k ( x )} 是 ϕ ( x )的 展 开 函 数 集 。 从 上 式 可 以 看 出 ， k 决 定 了 ϕ j , k ( x ) 在 x 轴 的 位 置 ， j决 定 了 ϕ j , k ( x )的 宽 度 ， 即 沿 x轴 的 宽 或 窄 的 程 度 ， 而 2 j / 2 控 制 其 高 度 或 幅 度 。 由 于
h0 h1
↓2
x ( n)
y0 (n)
↑2
h0 '
+
~
x ( n)
↓2
y1 ( n )
↑2
h1 '
双通道子带编码和重建
3.3.1 多分辨率分析的背景知识
• 子带编码和解码
子带图像编码的二维4频段滤波器组
小波分解树与小波包分解树 由低通滤波器和高通滤波器组成的树 原始信号，通过一对滤波器进行的分解叫做一级分 解。信号的分解过程可以迭代，即可进行多级分 解。
傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换的基础函数是正弦函数。 小波变换基于一些小型波，称为小波，具有变化的频率和 有限的持续时间。
– 1807: Joseph Fourier
• 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦 和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式
傅里叶展开
– 1909: Alfred Haar
ϕ j , k ( x )的 形 状 随 j 发 生 变 化 ， ϕ ( x ) 被 称 为 尺 度 函 数 。
j增大时，用于表示子空间函数的 ϕ j,k ( x ) 范围变窄，x有较小 变化即可分开。 随j增加 V j 增大，允许有变化较小的变量或较细的细节函数 包含在子空间中。
•
小波函数
3.3.2 多分辨率展开
类似的： • N=2时
1 H2 = 2
⎡1 1 ⎤ ⎢1 − 1⎥ ⎣ ⎦
• 哈尔变换
哈尔基函数对图像的多分辨率分解
3.3.2 多分辨率展开
•
函数的伸缩和平移
给定一个基本函数 ϕ ( x ) ,则 ϕ ( x ) 的伸缩和平移公式可 记为：
ϕa ,b ( x) = ϕ (ax − b)
3.3.2 多分辨率展开
实例：哈尔小波变换
表 哈尔变换过程
分辨率 4 2 1
平均值 [9 7 3 5] [8 4] [6]
细节系数 [1 -1] [2]
–把由4个像素组成的一幅图像用一个平均像素值和三个细节系数表 示，这个过程称为哈尔小波变换(Haar wavelet transform)，也称 哈尔小波分解(Haar wavelet decomposition)。这个概念可以推广 到使用其他小波基的变换。 –特点：(1) 变换过程中没有丢失信息，因为能够从所记录的数据中 重构出原始图像。(2) 对这个给定的变换，可从所记录的数据中重 构出各种分辨率的图像。(3) 通过变换之后产生的细节系数的幅度 值比较小，为图像压缩提供了一种途径，如去掉微不足道的系数。
小波分解树(wavelet decomposition tree)用 下述方法分解形成的 树：对信号的高频分 量不再继续分解，而 对低频分量连续进行 分解，得到许多分辨 率较低的低频分量
小波分解树
小波包分解树(wavelet packet decomposition tree) 用下述方法分解形成的树：不仅对信号的低频分 量连续进行分解，而且对高频分量也进行连续分 解，这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分 量，而且也可得到许多分辨率较低的高频分量
实例：哈尔小波变换
• 步骤2：求差值(differencing)。为能从2个像素组成 的图像重构由4个像素组成的原始图像，就需要存 储一些图像的细节系数(detail coefficient)
– 方法是把像素对的第一个像素值减去这个像素对的平均 值，或者使用这个像素对的差值除以2
原始图像用两个均值和两个细节系数表示为 [8 4 1 -1] • 步骤3：重复步骤1和2，把由第一步分解得到的图 像进一步分解成分辨率更低的图像和细节系数。其 结果： [6 2] 整幅图像平均值加前一步细节表示为 [6 2 1 -1]
3.3.1 多分辨率分析的背景知识
• 图像金字塔
– 金字塔算法
一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降 低的图像集合 金字塔的底部是待处理图像 的高分辨率表示，而顶部是 低分辨率近似。当向金字塔 的上层移动时，尺寸和分辨 率就降低。 一个金字塔图像结构
金 字 塔 结 构
3.3.1 多分辨率分析的背景知识
升采样的方法
512
高斯和拉普拉斯金字塔
3.3.1 多分辨率分析的背景知识
• 子带编码和解码
–在子带编码中，一幅图像被分解成一系列限带分量的集 合，称为子带，它们可以重组在一起无失真地重建原始图 像。因为所得到的子带带宽要比原始图像的带宽小，子带 可以进行无信息损失的抽样，通过对这些子带的内插、滤 波和叠加就可以重建原始图像。
1 , z ∈ [ 0,1] N
h0 ( z ) = h00 ( z ) =
⎧ 2 p 2 (q − 1) / 2 p ≤ z < (q − 0.5) / 2 p ⎪ 1 ⎪ p2 (q − 0.5) / 2 p ≤ z < q / 2 p hk ( z ) = hpq ( z ) = ⎨ −2 N⎪ 其它,z ∈ [0,1] 0 ⎪ ⎩
W j = span { ψ
j ,k
(x )}
W j 称为尺度为j的小波空间（细节空间）。
哈尔尺度函数
考虑单位高度、单位宽度的 尺度函数：
⎧1 0 ≤ x < 1 ϕ (x ) = ⎨ 其它 ⎩0
V0展开函数都属于限信号的均值和差值 – [例1. 1] 假设有一幅分辨率只有4个像素P0、P1、P2、P3 的一维图像，对应的像素值或称图像位置的系数分别 为： [9 7 3 5] 计算该图像的哈尔小波变换系数 • 步骤1：求均值(averaging)。计算相邻像素对的平均 值，得到一幅分辨率比较低的新图像，它的像素数目 变成了2个，即新的图像的分辨率是原来的1/2，相应 的像素值为 ： [8 4]
拉普拉斯金字塔编码策略
f k ( x, y ), k = 0,1,..., log 2 N − 1
H k ( x, y ), k = 0,1,..., log 2 N − 1
称为近似值金字塔； 称为残差金字塔；
• 图像的解码过程以相反的次序进行。从最后一幅图像 fn(x,y)开始，对每一幅抽样图像 fk(x,y)都进行一个增频 采样并与g(x,y)卷积进行内插。 • 增频采样是在采样点之间插入零的过程，所得结果被 添加到下一幅（前一幅）图像fk-1(x,y)上，再对所得图 像重复执行这一过程，这个过程能无误差地重建出原 始图像。