• 即分别对挠度w求一阶、二阶和三阶导数，就可以求
得梁截面的转角=dw/dx、弯矩M=-EId2w/dx2和剪力
Q=-EId3w/dx3。
基床系数法的适用条件
• 基床系数法通常采用wenkler地基模型，wenkler地基 模型假定地基不能传递剪力，位移仅与竖向荷载有关， 导致地基应力不扩散。满足这种条件只有近于液体状 态的软弱土或基础下的可压缩持力层很薄而其下为不
倒梁法计算步骤：
（1）根据初步选定的柱下条形基础尺寸和作用荷载， 确定计算简图； （2）计算基底净反力及分布，按刚性基底线性分布进 行计算； （3）用弯矩分配法或弯矩系数法计算弯矩和剪力； （4）调整不平衡力。由于上述假定不能满足支座处静 力平衡条件，因此应通过逐次调整消除不平衡力； （5）继续用弯矩分配法或弯矩系数法计算内力，并重 复步骤（4），直至达到精度范围（一般不超过荷载 的20%）； （6）将逐次计算结果叠加，得到最终内力分布。
• 这就需要建立能较好反映地基特性又能便于分析不 同条件下基础与地基共同作用的地基模型。 • 定义：当土体受到外力作用时，土体内部就会产生 应力和应变，地基模型就是描述地基土应力和应变 关系的数学表达式。
• 合理地选择地基模型是基础设计中的一个重要问题，
要根据建筑物荷载的大小、地基性质以及地基承载 力的大小合理选择地基模型。 • 所选用的地基模型应尽可能准确地反映土体在受到 外力作用时的主要力学性状，同时还要便于利用已
Winkler地基模型
• 这种模型的地基反力图形与基础底面的竖向位移形 状是相似的。 • 如果基础的刚度非常大，基础底面在受荷后保持平 面，则地基反力按直线规律变化，这就与基底压力 简化计算方法完全一致。
Winkler地基模型
• 按照图示的弹簧体系，每根弹簧与相邻弹簧的压力 和变形毫无关系。这样，由弹簧所代表的土柱，在 产生竖向变形的时候，与相邻土柱之间没有摩阻力， 也即地基中只有正应力而没有剪应力。因此地基变 形只限于基础底面范围内。 • 问题：这种情况适合于什么土质？
例题：柱下条形基础的 荷载分布如图所示， 基础埋深1.5m，叠加 土承载力为160kPa。 试确定其底面尺寸并 用倒梁法计算基础梁 的内力。
（2）计算基础沿纵向的叠加净反力
q bp j N 270kN / m l
采用倒梁法将条形基础视为q作用下的三跨连续梁。
例题：柱下条形基础的 荷载分布如图所示， 基础埋深1.5m，叠加 土承载力为160kPa。 试确定其底面尺寸并 用倒梁法计算基础梁 的内力。
取基础的宽度b = 2.1m
N
例题：柱下条形基础的 荷载分布如图所示， 基础埋深1.5m，地基 土承载力为160kPa。 试确定其底面尺寸并 用倒梁法计算基础梁 的内力。
（2）计算基础沿纵向的地基净反力
q bp j N 270kN / m l
采用倒梁法将条形基础视为q作用下的三跨连续梁。
Winkler地基模型
• 试验资料和工程实例表明，在基底范围以外，通常 地面也发生沉降。事实上，各土柱互相影响，或者 说，土柱之间（即地基中）存在剪应力。正是由于 剪应力的存在，才使基底压力在地基中引起应力扩 散作用，并使基础地面以外的地面也发生沉降。
Winkler地基模型的适用条件
• 地基主要受力层为软土，由于软土的抗剪强度低， 因而能够承受的剪应力值很小。 • 在地基受力层范围内，低压缩性土层以上的高、中 压缩性土层的厚度不超过基础底面宽度之半。这时 地基中产生的附加应力集中现象，土中剪应力很小， 故扩散变形的能力很弱。 • 作用在基础（具有一定刚度）上的竖向荷载大，而 土的抗剪强度并不高。这时在基础下方出现塑性变 形区，从而使基底压力得到调整而趋于均匀，而刚 性较大的基础，沉降时其底面仍近乎一平面。 • 支承在桩上的柱下条形基础，可以认为桩群比较接 近于弹簧体系。
例题：柱下条形基础的 荷载分布如图所示， 基础埋深1.5m，叠加 土承载力为160kPa。 试确定其底面尺寸并 用倒梁法计算基础梁 的内力。
（4）计算调整荷载 • 由于支座反力与原柱荷载不相等，需进行调整，将差值折 算成分布荷载q： 850 945 q1 31.7 kN / m 1 6/ 3 1850 1755 q2 23.75kN / m 6/3 6/3 • 调整荷载的计算简图如上图。
（2）倒梁法
• 倒梁法的基本思路是：以柱脚为条形基础的固定铰 支座；将基础梁视作倒置的多跨连续梁，以地基净 反力及柱脚处的弯矩当做基础梁上的荷载，用弯矩 分配法或弯矩系数法来计算其内力。
（2）倒梁法
• 由于此时支座反力Ri与柱子的作用力Pi不相等，因 此应通过逐次调整的方法来消除这种不平衡力。 • 各柱脚的不平衡力为： P i = P i - Ri
可压缩地层的情况。因此，对于抗剪强度较低的软粘
土地基、薄压缩层地基及建筑物较长而刚度较差等情 况，采用基床系数法比较合适。 • 根据该计算模型的假定，基础梁外地基变形为零，这 与实际情况不符合，因此，当需要考虑相邻荷载的影
响时，此法不适宜。
柱下条形基础
一、柱下条形基础的受力特点 • 柱下下条形基础的其纵、横两个方向均产生弯曲变 形，故在这两个方向的截面内均存在剪力和弯矩。 • 柱下条形基础的横向剪力和弯矩通常可考虑由翼板 的抗剪、抗弯能力承担，其内力计算与墙下条基相 同。 • 柱下条形基础纵向的剪力和弯矩则由一般基础梁承 担，基础梁的纵向内力通常可采用简化法（直线分 布法）或弹性地基梁法计算。
例题：柱下条形基础的 荷载分布如图所示， 基础埋深1.5m，叠加 土承载力为160kPa。 试确定其底面尺寸并 用倒梁法计算基础梁 的内力。
（3）用弯矩分配法计算梁的初始内力和支座反力 支座反力：
0 0 RA RD 270 675 945kN 0 0 RB RC 945 810 1755kN
• 由下图所示的wenkler地基上梁计算简图，用梁挠曲 微分方程和静力平衡条件，可得到微分方程：
d4 w EI 4 pb q dx
Wenkler地基梁挠曲基本微分方程
• 由下图所示的wenkler地基上梁计算简图，用梁挠曲 微分方程和静力平衡条件，可得到微分方程：
d4 w EI 4 pb q dx
例题：柱下条形基础的 荷载分布如图所示， 基础埋深1.5m，叠加 土承载力为160kPa。 试确定其底面尺寸并 用倒梁法计算基础梁 的内力。
（4）计算调整荷载 • 由于支座反力与原柱荷载不相等，需进行调整，将差值折 算成分布荷载q： 850 945 q1 31.7 kN / m 1 6/ 3 1850 1755 q2 23.75kN / m 6/3 6/3 • 调整荷载的计算简图如上图。
例题：柱下条形基础的 荷载分布如图所示， 基础埋深1.5m，地基 土承载力为160kPa。 试确定其底面尺寸并 用倒梁法计算基础梁 的内力。
解：（1）基础底面尺寸的确定 基础的总长度
l 2 1.0 3 6.0 20.0m
2 (850 1850) 基础的宽度 b 2.08m l ( f 20d ) 20 (160 20 1.5)
（2）倒梁法
• 倒梁法适用于上部结构刚度很大，各柱之间沉降差 异很小的情况。这种计算模式只考虑出现于柱间的 局部弯曲，忽略了基础的整体弯曲，计算出的柱位 弯矩与柱间最大弯曲较平衡，因而所得的不利截面 上的弯矩绝对值一般较小。
（2）倒梁法
• 倒梁法适用于上部结构刚度很大，各柱之间沉降差 异很小的情况。这种计算模式只考虑出现于柱间的 局部弯曲，忽略了基础的整体弯曲，计算出的柱位 弯矩与柱间最大弯曲较平衡，因而所得的不利截面 上的弯矩绝对值一般较小。
（2）倒梁法
• 将各支座的不平衡力均匀分布在相邻两跨的各1/3跨 度范围内，均匀分布的调整荷载按如下方法计算：
• 对边跨支座：
qi Pi 1 (l0 l1 ) 3
• 对中间支座：
qi Pi 1 1 ( li 1 li ) 3 3
（2）倒梁法
• 继续用弯矩分配法或弯矩系数法计算调整荷载qi 引起的内力和支座反力，并重复计算不平衡力，直 至其小于计算允许的最小值（此值一般取不超过荷 载的20%）。 • 将逐次计算的结果叠加，即为最终的内力计算结果。
二、基础梁的内力计算
• 当地基持力层土质均匀，上部结构刚度较好，柱距 相差不大（<20%），柱荷载分布较均匀，且基础
梁的高度大于1/6柱距时，地基反力可认为符合直线
分布，基础梁的内力可按简化的直线分布法计算。
当不满足上述条件时，宜按弹性地基梁法计算。
1、直线分布法
• 根据上部结构的刚度与变形情况，可分别采用静定 分析法和倒梁法。 （1）静定分析法 • 静定分析法是按基底反力的直线分布假设和整体静 力平衡条件求出基底净反力，并将其与柱荷载一起 作用于基础梁上，然后按一般静定梁的内力分析方 法计算各截面的弯矩和剪力。 • 静定分析法适用于上部结构为柔性结构，且基础本 身刚度较大的条形基础。本方法未考虑基础与上部 结构的共同作用，计算所得的不利截面上的弯矩绝 对值一般较大。
Winkler地基模型
• Winkler地基模型假定地基是由许多独立的且互不影
响的弹簧组成，即假定地基任一点所受的压力强度p
只与该点的地基变形s成正比，而p不影响该点以外的
变形。
Winkler地基模型
• 按这一假定，地基表面某点的沉降与其它点的压力 无关。故可把地基土体划分成许多竖直的土条，把 每条土柱看做一根独立的弹簧。如果在弹簧体系上 加载，则每根弹簧所受的压力，与该弹簧的变形成 正比。即：p=ks
基床系数法计算地基梁的内力
• 基床系数法以wenkler地基模型为基础，假定地基每
单位面积上所受的压力与其相应的沉降量成正比，
而地基是由许多互不联系的弹簧所组成，某点的地