广州大学2005-2006 学年第二学期试卷
课程 数学分析 考试形式（闭卷，考试）
数学与信息科学学院 05级1～7班 学号 姓名
一、填 空 题 （每小题3分 ， 共15分） 1. ()F x =
dt e x
t ⎰
2
的凸性区间为______________________ 。

2. 函数 12322
3
+-=x x y 的极大值点=0x _______________ 。

3. =-⎰2
)1sgn(dx x __________________________。

4. 计算无穷积分：
=⎰+∞
dx x x
1
sin 12
2
π
___________________ 。

5、求级数的和：=+∑
∞
=1
)
1(1
n n n _________________ 。

二、单项选择题 （每小题3分 ，共15分）
1、若)(x f 为恒正连续函数，则___________ ≡ 0 。

A 、
⎰dx x f dx
d
)( ； B 、 ⎰)(x df ；
C 、 ⎰
1
)(dt t f dx
d ； D 、
⎰
x
dt t f dx
d 0
)(；
2、若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则)12(+x f 的一个原函数为________ 。

A 、)12(+x F ；
B 、
2
1
)12(+x F ； C 、2)12(+x F ； D 、不存在。

3. 在区间[ - 1 , 1 ] 上不可积的函数为 ________。

A 、狄利克雷函数 D(x)；
B 、取整函数 [x]；
C 、符号函数 sgn x ；
D 、绝对值函数 x 。

4、若n a 满足 时,级数∑∞
=1n n a 收敛。

A 、0lim =∞
→n n a ； B 、n a 2
1
n ≤
(n=1,2,…)； C 、=∞
→n n n a lim λ< 1 ； D 、λ=+∞→n
n n a a 1
lim
< 1 。

5、利用M 判别法证明函数项级数∑∞
=1
2
cos n n nx
在),(+∞-∞上一致收敛时可作优级数的为 。

A 、∑∞
=11n n ； B 、∑∞
=121
n n ；
C ∑∞
=1
cos n nx ； D 、∑
∞
=1
cos n n
nx 。

三、计算题（共24分，每小题均为6分）
1、求极限2
1
)(cos lim x x x →
2、计算积分dx x x ⎰+))(ln 1(1
2
3 、 计算积分：dx x e
⎰
1
ln
4 、 计算积分：⎰
+
4
1x
dx
四、判断收敛性 ( 每小题4分, 共 8 分 ) 1. 判断无穷积分⎰+∞
+0
4
1
x xdx 的收敛性。

2. 判断级数∑
∞
=+-12
1
)1(n n n 的绝对收敛与条件收敛性。

五、应用题（每小题6分，共12分）
1、半径为1的球内有一圆锥,其顶点在球心而底面圆周在球面上。

当圆锥
高为多少时，其体积最大。

2、求由抛物线2y
x=与直线y
x=所围成的平面图形面积。

六、证明题 （共26分）
1、叙述并证明闭区间套定理。

(6分)
2、证明不等式：1->x x e xe ( x > 0 ) (6分)
3、 (1) 若正项级数∑∞=1
n n a 收敛，证明：级数∑∞=12
n n a 亦收敛。

(2) 若∑∞
=1
n n a 为
一般级数时，举一例说明∑∞
=1
n n a 收敛,但
∑∞
=1
2n n
a
发散。

(6分)
4、2
211
)(x
n x f n ⋅+=
，(x > 0 ) ； (1) 求极限函数)(lim )(x f x f n n ∞
→=，(x > 0 ) ；
(2) 证明：函数列{})(x f n 在区间[)∞+，1 上一致收敛； (3) 函数列{})(x f n 在区间 (]10， 上不一致收敛。

(8分)。