1. （0 – 1）分布，其分布律为 P X 0 1 p, P X 1 p 解： E ( X ) 0 ( 1 p ) 1 p p
E( X ) 0 (1 p ) 1 p p
2 2 2
D ( X ) E ( X ) E ( X ) p p p (1 p )
2
2
2
故
D ( X ) E ( X ) E ( X )
常用离散分布的数学期望
0-1 分布的数学期望 = p 二项分布 b(n, p)的数学期望 = np
几何分布Ge(p) 的数学期望 = 1/p
泊松分布 P() 的数学期望 =
常用离散分布的方差
2 2 2
2
二项分布 设 X 服从参数为 n、p 的二项分布，其分布律为
n k n k P X k p (1 p ) , k k 0 , 1 ,, n
有
E ( X ) np , D ( 数为 的泊松分布，其分布律为
例2.4.1 设X ~ b(2, p)， Y ~ b(4, p)，
已知 P(X1) = 8/9， 求 P(Y1). 解: 由 P(X1) = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9. 所以 1/ 9 = P(X=0) =(1p)2， 从而解得: p = 2/3.
由此得： P(Y1) = 1 P(Y=0)
泊松定理
定理2.4.1 (二项分布的泊松近似)
在n重伯努里试验中，记 pn 为一次试验中 成功的概率. 若 npn ，则
k n k n k e pn (1 pn ) k! k
上面我们提到
二项分布
单击图形播放/暂停
n很大, p 很小
泊松分布
ESC键退出
例2.4.7 有10 000名同年龄且同社会阶层的人参加了某保 险公司的一项人寿保险。每个投保人在每年初交纳200元 保费，而在这一年中若投保人死亡，则受益人获10 000元 的赔偿费。根据生命表知这类人的年死亡率为0.001。试求 保险公司在这项业务上 （1）亏本的概率； （2）至少获利500 000元的概率。
0 , 当 e 正面 , X X (e ) 1 , 当 e 反面 .
则随机变量 X 服从 (0-1) 分布.
其分布律为
X
pk
0 1
1
1 2
2
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布刻画.
P X k
e
k
, k 0,1,, 0
k!
X的数学期望为
E (X )
k 0
e
k
e
k!
( k 1) !
k 1
k 1
e
e
又可算得
E (X )
2
k
k 0
2
e
k
k!
( k 1) !
k 1
2.4.3 超几何分布
P( X k )
M N M k n k N n
,
记为 X ~ h(n, N, M).
超几何分布对应于不返回抽样模型 ： N 个产品中有 M 个不合格品， 从中抽取n个，不合格品的个数为X .
2.4.4 几何分布
泊松分布的图形
泊松分布的背景及应用
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.
在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.
k
.
1)
当 是 正 整 数 时 , P{ X = } P { X 1}为 最 大 值 ,
和 1是 最 大 可 能 出 现 次 数 .
2) 当 不 是 正 整 数 时 , 令 k = [ ], P{ X = k }为 最 大 值 , k = [ ]是 最 大 可 能 出 现 次 数 .
X 服从 8的泊松分布，则有
n
8
k 8
由附录的泊松分布表知
k 0 12 k 0
11
8
k
k 0
e k！
0.90
e k ！
k
8
0.888 0.90 ， 0.936 0.90 .
e k！
8
8
只要在月底进货12件(假定上个月没有存货)，就可 以90%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销 。
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
例2.4.5 商店的历史销售记录表明，某种商品每月 的销售量服从参数为 8的泊松分布。为了以90%以上 的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该 商品多少件？ 解 设商店每月销售某种商品X件，月底的进货量为n件，
按题意要求为 P X n 0.90
P8 3
#13
设随机变量X的概率密度函数为 x 1 co s , p(x) 2 2 0, 0 x ; 其 他.
2
对 X 独 立 重 复 观 察 4次 ,Y 表 示 观 察 值 大 于 /3的 次 数 ,求 Y 的数学期望.
注 意 点（2）
负二项随机变量是独立几何随机变量之和.
做一系列的伯努利试验，如果将首个成功出 现时的试验次数记为X1 ，第二个成功出现时的试 验次数（从第一次成功之后算起）记为X2 ，…， 第r个成功出现时的试验次数记为Xr , 则Xi 独立同 分布，且Xi ~ Ge(p). 此时有 X= X1 + X2 +…+ Xn ~ Nb(r,p).
k r, r 1,
记为X ~ Nb(r, p). X 为独立重复的伯努里试验中，
“第 r 次成功”时的试验次数.
注 意 点（1）
二项随机变量是独立 0-1 随机变量之和. n重伯努利试验可看作由n个相同的、独立 进行的伯努利试验组成，若将第i个伯努利试 验中成功的次数记为Xi ~ b(1,p) (i=1,…,n), n重 伯努利试验成功的总次数X= X1 + X2 +…+ Xn ， 它服从b(n,p) .
k 1 k 1
k e
k
( k 1) e ( k 1) ! ( k 1) ! k 1 k 1 k2 = e e k2 (k 2) !
e
e e
= 1- (1p)4 = 80/81.
4 泊松分布
若随机变量 X 的概率分布为
P( X k )
k
e ,
k 0, 1, 2,
k!
则称 X 服从参数为 的泊松分布,
记为 X ~ P().
若 X 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 ,则 P{ X k } P { X k 1}
P( X k ) (1 p)k 1 p, k 1, 2,
记为 X ~ Ge(p)
X 为独立重复的伯努里试验中，
“首次成功”时的试验次数.
几何分布具有无记忆性，即：
P( X > m+n | X > m ) = P( X > n )
负二项分布(巴斯卡分布)
k 1 P( X k ) (1 p)k r pr , r 1
3
二项分布
记为 X ~ b(n, p).
X为n重伯努里试验中“成功”的次数,
当n=1时， b(1, p) 为 0-1分布.
二项分布的图形
一批产品的合格率为0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 则取得合格品件数 X 服从二项分布. 试验次数为 n=4, “成功”即取得合格品的概率为 p=0.8, 所以, X ~ b(4, 0.8) 思考： 若 Y 为不合格品件数，Y ？ Y ~ b(4, 0.2)
0-1 分布的方差 = p(1p) 二项分布 b(n, p)的方差 = np(1p) 几何分布Ge(p) 的方差 = (1p)/p2 泊松分布 P() 的方差=
1、设火炮连续向目标射击 n 发炮弹，每发炮弹命中 的概率为 p，则炮弹命中数的数学期望是 .
2、 袋中装有 N 只球， 但其中白球数为随机变量， 只知其数学期望为 n， 试求从该袋中摸一球为白 球的概率.
3、某产品的次品率为 0.1，检验员每天检查 4 次， 每次随机的取 10 件产品进行检验， 如发现其中的次 品数多于 1，就去调整设备，以 X 表示一天中调整 设备的次数，试求 E（X）
4、 某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p(0<p<1), 各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时 即停机检修，设开机后第一次停机时已生产了的产品 个数为 X，则 E（X）= ，D（X）=
§2.4 常用离散分布
1.退化分布
若随机变量X取常数值C的概率为1,即 P(X C ) 1 则称X服从退化分布.
2.两点分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为
X pk
0 1 p
1 p
则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.记为X~b(1,p)
例 抛一枚均匀硬币 , 令
