2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义一、教材分析本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 二．教学目标1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
三、教学重点难点重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。
难点：平面向量数量积的概念四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。
有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1．学生的学习准备：预习学案。
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向3．量数量积的物理背景及其含义（三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念：1、给出有关材料并提出问题3FS，（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移α那么力F所做的功：W= |F| |S| cos。
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：αS量，①W（功）是量，F②（力）是（位移）是③S 量，。
④α是?）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗（3 期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 2、明晰数量积的定义数量积的定义：（1）??aabb b叫做，我们把数量cos已知两个非零向量︱︱与，它们的夹角为︱·︱?aaaabbbb，即：︱·︱·cos=与的数量积（或内积），记作：︱·︱）定义说明：（2ab?”代替。
①记法“”不可以省略，也不可以用“·”中间的“·②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小）提出问题4（3 的因素有哪些？期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不ab仅和向量的模有关，还和它们的夹角有关。
与）学生讨论，并完成下表：（4????°的范围°≤0°°≤0° <90< =90180 ab·的符aaaabbbb的夹角⊥，③与1 例：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②ab.·60°时，分别求是aabb同向，则它们的夹角θ解：①当与∥＝０°，时，若aabb｜·｜18｜∴cos0°＝3×6×1＝·；＝｜aｂθ＝180°，与反向，则它们的夹角若aabb｜｜｜cos180°＝3×6×（·-1）＝－＝｜18∴；ab⊥时，它们的夹角θ②当＝90°，ab∴·＝０；ab与③当60°时，有的夹角是1aabb9 ＝｜｜·｜cos60°＝3×6×＝｜2，因此，两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］评述：ab.180°两种可能∥时，有当0°或aaabbbb ttt的、，求使与|+变式：值，并求此时对于两个非零向量+|最小时的夹角。
探究二：研究数量积的意义 1.给出向量投影的概念：??ab如图，我们把│cos│cos）（││aabb在方向上）的投影，叫做向量方向上（在?b 记做：│︱=OB︱│cos12.提出问题：数量积的几何意义是什么？5aaaabb的方向上的投影期望学生回答：数量积在·等于的长度︱︱与?b。
的乘积 cos︱︱．3. 研究数量积的物理意义。
请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积探究三：探究数量积的运算性质：1、提出问题6aabb·︱×︱︱的大小，你有什么结论？比较︱︱与︱、明晰：数量积的性质2都是非零向量，反向时同向时，︱︱；、与或特别地︱︱= ︱aabb︱︱×︱︱≤︱·、︱ 33.数量积的运算律：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适（、提出问题1）7用？预测：学生可能会提出以下猜想：aabb = ··①caacbb) (=·（②·）ccacabb··） =+·+ ③（）2 （、分析猜想：猜想①的正确性是显而易见的。
猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一关于猜想②的正确性，请同学们先来讨论：定相等吗？ac共线的向量，显然在期望学生回答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量ac不共线的情况下猜测②是不正确的。
与向量向量、明晰：数量积的运算律：）3（cab已知向量、、和实数λ，则： = aaaaabbbbb=λ（（·)=λ·）（2）aabb°，求的夹角为=4, 、（师生共同完成）已知︱=6︱60，︱与︱例2aabb）-3）（·+2（，并思考此运算过程类似于实数哪种运算？aaaaaabbbbbb.+2.-3-6.. -3）（（+2=）·解：4 4×4×6×0.5-6× =36-3×= -72评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律aaabbb222 )=(·++21变式：（）+aaabbb22）()=(+- )·2—（（四）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识络并对所学内容进行简单的反馈纠正。
（课堂实录）（五）发导学案、布置预习。
在下一节课我们一起来学习数量积那么，我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义，的坐标运算。
模。
夹角。
这节课后大家可以先预习这一部分，着重分析坐标的作用教师课后及时批阅本节的延伸拓并对本节课巩固提高。
设计意图：布置下节课的预习作业，展训练。
九、板书设计几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。
通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。
数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。
比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。
．2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义课前预习学案一、预习目标：预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；二、预习内容： 1.平面向量数量积（内积）的定义：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别2.“投影”的概念：作图3． 4.向量的数量积的几何意义：．两个向量的数量积的性质：5abb. 同向的单位向量为两个非零向量，设e是与、bb e = e1?? =aabb = ? 2???aab. 是为两个非零向量，设e、与同向的单位向量aa?e = e?=aaaaaabbbb同向时，与当= ? = 当3?与反向时，?= 特别的?2aaa?||a? ||或= cos?4?aabb| ||| 5? |?| ≤三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标说出平面向量的数量积及其几何意义；1 学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；2. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；3.学习重难点：。
平面向量的数量积及其几何意义二、学习过程创设问题情景，引出新课：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结1、提出问题1 果是什么？：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按、提出问题22 照怎样的顺序研究了这种运算的？、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向3 量数量积的物理背景及其含义探究一：数量积的概念：1、给出有关材料并提出问题3FS，1（）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移W=所做的功：F那么力）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：（S（功）是量，①W量，（力）是②F③S（位移）是量，是α。
④? ）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗（3 2、明晰数量积的定义）数量积的定义：1（．??aabb叫做，我们把数量︱已知两个非零向量︱cos与︱·︱，它们的夹角为?aaaabbbb︱︱︱·︱与的数量积（或内积）·，记作：cos·=，即：2）定义说明：（ab?①记法“·”代替。
”中间的“·”不可以省略，也不可以用““规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
②：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小4（3）提出问题的因素有哪些？（4）学生讨论，并完成下表：????°0°=90°<180≤0的范围°≤ <90°ab·的符aaaabbbb的夹角｜＝３，｜⊥｜＝６，当①与∥，②：已知｜例1 ，③ab.60°时，分别求·是解：变式：aaabbbb的夹角.值，并求此时最小时的| . 对于两个非零向量、，求使+t|t与+t探究二：研究数量积的意义 1.给出向量投影的概念：??ab cos（│cos）如图，我们把│││aabb在在方向上（叫做向量方向上）的投影，?b│︱记做：OB=︱│cos1提出问题5：数量积的几何意义是什么？2.3. 研究数量积的物理意义请同学们用一句话来概括功的数学本质：探究三：探究数量积的运算性质aabb︱×︱·6︱的大小，你有什么结论？：比较︱︱与︱1、提出问题、明晰：数量积的性质23.数量积的运算律（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？（2）、明晰：数量积的运算律：cab、、和实数λ，则：已知向量= aaaaabbbbb）（)=λ（2）（λ·）·）（1=·λ（··caccabb··+ ）·+=（3）（aabb°，求，︱︱的夹角为=6=4, 60、例2与（师生共同完成）已知︱︱aabb+2，并思考此运算过程类似于实数哪种运算？）·（（）-3 解：aaabbb变式：222·1（）+2(++)=aaabbb22—(-)=+ )·）（2(（三）反思总结四)当堂检测(o aaabbb·，求与|=5，的夹角||=4，θ=120 . 1 .已知|o aaaabbbb) ((+2| |=6，||=4-3，60与的夹角为)·求已知2..aaaabbbb +k互相垂直与. -k，，3 .已知||=3 ||=4 且与不共线，k为何值时，向量aaaabbbb时，分60°的夹角是与，③⊥，②∥｜＝６，当①｜＝３，｜已知｜4.ab·. 别求aaaaabbbbb2；|，求5.°已知∥|+|=1，|，求||=·；(2)若，(1)、若的夹角为６０aaabb. 与的夹角(3)与若垂直，求-ab. nm6.设、n-3是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量+=2mnm与的夹角=2课后练习与提高aaaabbb2 ( -的夹角是（) 与||=1，|垂直，则|= ，且）与已知1. ４５° A.60°B.30° C.135° D.?aaabbb与之间的夹角为），那么向量m，| |=1=，-42.已知|的模为（|=233D.12A.2B.2C.6aaaabbbb +)与）( 3.已知-、是非零向量，则)|垂直的（|=||是( A.充分但不必要条件必要但不充分条件 B. 既不充分也不必要条件 D.C.充要条件?aaaabbbb. |= 4.已知向量-、的夹角为，||=2，||=1，则| + |·|3aabb轴正方向上的单位+16jyx轴、是直角坐标系中，其中5.已知i+-8=2i、j，j-=-8i ab·. 向量，那么= aaaabbbb２______.＝-c)，c，|已知6.与⊥、c60°、的夹角均为，且|=1，||=2||=3则(+2。