1 例7
原 理 ： 两 点 之 间 ， 线 段 最 短
在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B， 在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．
针对训练6 针对训练7
1 例8
原 理 ： 垂 线 段 最 短
在∠MON的外部有一点A，在OM上找一点B， 在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．
1 例9
原 理 ： 垂 线 段 最 短
从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至 今．
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【问题原型】将军饮马 造桥选址
1 2 【涉及知识】两点之间线
【解题思路】找对称点，
段最短，垂线段最短；
3 实现折转直
三角形两边三边关系；
轴对称；平移；
将军饮马问题ຫໍສະໝຸດ 1常见模型1 两定一动型：
例1
在定直线l上找一 个动点P，使动 点P到两个定点A 与B的距离之和最 小，即PA+PB最小.
5. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的
动点，则|PA－PB|的最大值为( B )
A. 3
B. 4
C.5
D. 5
第5题图
返回
2 针对训练6
6. 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，
且OP＝6，则△PMN的周长最小值为( C )
之
间
，
线
段
最
短
2
用模型战试题
每一个试题都是模型，每一种模型都有方法
综合训练
针对训练1
2
1. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB 边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为( B ) A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 2
第1题图
返回
2 针对训练2
两动一定型 2
例7
在∠MON的内部 有一点A，在OM上找 一点B，在ON上找一 点C，使得△BAC周长
最短．
例8
在∠MON的内部 有点A和点B，在 OM上找一点C，在 ON上找一点D，使 得四边形ABCD周 长最短．
例9
在∠MON的内部 有一点A，在OM上 找一点B，在ON上 找一点C，使得AB ＋BC最短．
THANK YOU
透过现象→看本质
2020
中考数学专题：将军饮马模型
(制作人：郑娥梅)
【传说】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学 和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程 去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去 河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短 ？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决 了它．
A. 4
B. 5
C.6
D.7
第6题图
2 针对训练7
7. 如图，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分 别是AB，OA上的动点，当△CDE周长最小时，点D坐标为__2_75__, 2_74__．
第7题图
返回
2 针对训练8
8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点G，H分别是边BC、 CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为_2__5___1_0_．
在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B， 在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．
两定两动型最值 3
例10
在∠MON的 内部有点A和 点B，在OM 上找一点C， 在ON上找一 点D，使得四 边形ABCD周 长最短．
例11
已知A、B是两个定 点，在定直线l上找 两个动点M与N，且 MN长度等于定长d（ 动点M位于动点N左 侧），使 AM+MN+NB的值最 小.
A. 3 B. 2 3 C. 3 1 D. 3 2
第3题图
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2 针对训练4
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一 点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为( A ) A. 13 B. 13 C. 7 D.3
2
第4题图
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2 针对训练5
A. AB
B. DE
C. BD
D. AF
1 综合训练
3. 如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝ 3，若点M，N分别是射线
OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是____。
1 综合训练
︵
︵
︵
4.如图，AB是⊙O的直径，AB＝8 cm，AC＝CD＝BD，M是AB上一动点，CM＋
针对训练5
1 例5
的原 点理 到： 线线 段段 两垂 端直 的平 距分 离线 相上 等
在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点 A与B的距离之差最小，即∣PA-PB∣最小.
1 例6
的原 点理 到： 线线 段段 两垂 端直 的平 距分 离线 相上 等
在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点 A与B的距离之差最小，即∣PA-PB∣最小.
例12 （造桥选址）
1 例10 在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C
原
，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短
理 ：
．
两
点
针对训练8
之
间
，
线
段
最
短
1
例11
提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移 已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点
最原 小理 值：
M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点 N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
第8题图
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1 综合训练
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为AB的中点，M、N是CD上的两 动点，且MN＝1，则EM＋EN的最小值为____。
1 综合训练
2. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个 动点，则下列线段的长等于AP＋EP最小值的是 ____。
例6
在定直线l上找一个 动点P，使动点P到 两个定点A与B的距 离之差最小，即PAPB最小.
1 例1
原 理 ： 两 点 之 间 线 段 最 短 。
在定直线l上找一个动点P，使动点P到两定点A 与B的距离之和最小，即PA+PB最小
针对训练1
1 例2
原 理 ： 两 点 之 间 线 段 最 短 。
在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点 A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.
2. 如图，Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一 点P，使PA＋PE值最小，则这个最小值为( D ) A. 5 B. 2 3 C. 3 D. 2 5
第2题图
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2 针对训练3
3. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AB边上的一点，且 AE＝1，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为C( )
DM的最小值是________．
1 综合训练
5. 如图，在直角坐标系中，A(－3，－1)，B(－1，－3)，若D是x轴上一动点，C是y 轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值是________．
6
1 综合训练
3 方法总结：
此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正方 形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景，但都有 一个“轴对称性”的图形共同点，解题时只有从变化 的背景中提取出“将军饮马问题”的数学模型，再通 过找定直线的对称点把同侧线段和转换为异侧线段 和，利用“两点之间线段最短”，实现“折”转“直”即 可解决。有时问题是求三角形周长或四边形周长的 最小值，一般此时会含有定长的线段，依然可以转 化为“将军饮马问题”。
针对训练2
针对训练3
1 例3
边原 之理 差： 小三 于角 第形 三任 边意
两
在定直线l上找一个动点p，使动点p到两个定点 A与B的距离之差最大，即|PA-PB |最大
针对训练4
1 例4
边原 之理 差： 小三 于角 第形 三任 边意
两
在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点 A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大
为两
A B+MN
’ ’
点 之 间
，
线
段
最
短
，
1 例12
将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台
原
观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地
理 ： 两
修浮桥，可使得将军每日的行程最短？ 直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个
点
点D，使得CD⊥l2, 且AC＋BD＋CD最短．
例4
在定直线l上找一个 动点C，使动点C到 两个定点A与B的距 离之差最大，即|PAPB |最大
例2
在定. 直线l上找 一个动点P，使动 点P到两个定点A与 B的距离之和最小 ， 即PA+PB的和最小.
例5
在定直线l上找一个 动点P，使动点P到 两个定点A与B的距 离之差最小，即PAPB最小.
例3
在定直线l上找一个 动点C，使动点C到 两个定点A与B的距 离之差最大，即|PAPB |最大