类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚上的某一位置 Q ,然后立即返回校场Q ）,使得总路程 MP +PQ + QN 最短.OB 上的某一位置 Q .请为将军设计一条路线 （即选择点P 和Q ）,使得总路程 MP +PQ 最短.3、将军要检阅一队士兵，要求 （如图所示）：队伍长为a ,沿河0B 排开（从点P 到点Q ）;将 军从马棚M 出发到达队头P,从P 至Q 检阅队伍后再赶到校场 N .请问：在什么位置列队（即将军饮马问题flM 出发，先赶到河 0A 上的某一位置 P ,再马上赶到河 0BN .请为将军重新设计一条路线 （即选择点P 和【变式】如图所示，将军希望从马棚 M 出发, 先赶到河OA 上的某一位置P ,再马上赶到河AOA 边的距离之和最小P 到练习1、已知点A 在直线 直线I 上运动时，点 请说明理由.I 外，点P 为直线I 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在 P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ;若不存在，5已知/ MON 内有一点P , P 关于OM , ON 的对称点分别是 百和均,分别交OM, ON于点A 、B,已知耳时=15,则^ PAB 的周长为（6. 已知/ AOB ,试在/ AOB 内确定一点 P ,如图，使 P 到OA 、OB 的距离相等，并且到 N 两点的距离也相等.7、已知/ MON = 40°, P 为/ MON 内一定点，OM 上有一点 A , ON 上有一点B ,当△ PAB 的周长取最小值时，A. 15B 7.5 C. 10D. 24求/ APB 的度数.8.如图，在四边形 ABCD 中，/ A = 90°, AD = 4,连接 BD , BD 丄 CD,/ ADB =/ C 若 P 是BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为5、如图，已知/ AOB 内有一点P ,试分别在边 OA 和0B 上各找一点 E 、F ,使得△ PEF 的周 长最小。
试画出图形，并说明理由。
6、如图，直角坐标系中有两点 A 、B,在坐标轴上找两点 C D,使得四边形ABCD 的周长最小。
.A2、如图，在公路a 的同旁有两个仓库 A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到 库的距离和最短，这个中转站 M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？A 、B 两仓已知：A 、B 两点在直线I 的同侧， 在I 上求作一点M ，使得| AM BM |最小.如图，正方形 ABCD 中，AB 8, M 是DC 上的一点，且 DM 2 , N 是AC 上的一动 点，求DN MN 的最小值与最大值.MN7、如图，村庄 A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸 a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸 垂直的桥CD,问桥址应如何选择，才能使 A 村到B 村的路程最近？Jf g xp ，当X 为何值时，y 的值最小，并求出这个最小值.A(1, -3)、B(4, -1)、P(a,0)、N(a+2,0),当四边形 PABN 的周长最小ABCD 中，AB=CD=AD=2 / D=120°，点 E 、F 是底边 AD 与 BC 的中 EF 上找一点P ,使BP+AP 最短.9、在平面直角坐标系中, 时，求a 的值.10、如图，在等腰梯形 点，连接EF 在线段练习1、观察下列银行标志, O从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（A . 1个B . 2个 C. 3个D . 4个2、 以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A .等边三角形B .矩形C .等腰梯形3、 在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ）D .平行四边形£4、在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的个数为 (A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中, 两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是(A)对应点连线与对称轴垂直(C)对应点连线被对称轴垂直平分图甲口图乙( ) (B)对应点连线被对称轴平分(D)对应点连线互相平行6、对右图的对称性表述, 正确的是().A.轴对称图形 B .中心对称图形C.既是轴对称图形又是中心对称图形D.既不是轴对称图形又不是中心对称图形7、如图，△ A B' C是由△ ABC经过变换得到的，则这个变换过程是(A)平移(B)轴对称(C)旋转(D)平移后再轴对称ABCA'BB'BC&如图所示，四边形 OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3, 0), ( 0, 1 )，点D 是线段1BC 上的动点(与端点 B 、C 不重合)，过点D 作直线y = — — x + b 交折线OAB 于点E.2(1) 记^ ODE 的面积为S,求S 关于b 的函数关系式；(2) 当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形 OA 1B 1C 1,9、探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.①若直线与折线 OAB 的交点在OA 上时，即此时 E (2b , 0)1 1--S= — OE • CO= — X 2b X 1 = b2②若直线与折线此时E ( 3， bl ),D (2b —2, 1)【答案】(1) 若直线经过点 若直线经过点 若直线经过点 由题意得B (3, 1). b = 32b= § 2b = 1A (3, 0)时，则B ( 3, 1 )时，则C (0 , 1 )时，则31<bW -，如图 25-a ,3 5 OAB 的交点在BA 上时，即一< b < -，如图2由题意知，DM // NE , DN// ME ，•四边形DNEM 为平行四边形 根据轴对称知，/ MED =/ NED又/ MDE =/ NED, •/ MED =/ MDE , • MD = ME ,；平行四边形 过点D 作DH 丄OA ,垂足为H ,i由题易知，tan / DEN=—, DH = i , • HE = l ,l设菱形DNEM 的边长为a ,则在RtA DHM 中，由勾股定理知:ll l5a(l a ) i ，- a -5• - S 四边形 DNEM = NE • DH =—4•••矩形OA i B i C i 与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为•- S = S 矩一($△ OCD + & OAE + &DBE )i3 - [-(lb -i) l i 5 iX i + — X(5-lb ).(l b )+ - X 3(b3)] = |b b ll llb b l 3 2 5 2 (l )如图 形OABC 的重叠部分的面积即为四边形 本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！ 3，设O i A i 与CB 相交于点M , OA 与GB i 相交于点N , DNEM 的面积。
则矩形OA i B i C i 与矩DNEM 为菱形.io .如图，在平面直角坐标系中，△ABC (-i,3 )。
(i )画出△ ABC 关于x 轴对称的^ A i B i C i , (l )画出△ ABC 绕原点O 顺时针方向旋转(3)将^ A l B l C l 平移得到^ A 3B 3C 3，使点的三个顶点的坐标分别为A ( 0,i ),B (-i,i ), C，点C l 的对应点是C 3 (4, -i ),在坐标系中画出^并写出点C i 的坐标；90°后得到的^ A i B i C i ,并写出点 C 的坐标；， A l的对应点是A 3,点B l 的对应点是B 3A 3B 3C 3，并写出点 A 3, B 3的坐标。
【答案】(1)C1(-1,-3) (2)C2(3,1) (3)A3(2,-2),B3(2,-1) 11、分别按下列要求解答：(1)在图1中,将^ ABC先向左平移5个单位,再作关于直线AB的轴对称图形，经两次变换后得到△ A1B1 C.画出△ A1B1C1；.(2)在图2中,△ ABC经变换得到△ A2B2C2.描述变换过程【答案】(1)如图.(2)将^ ABC先关于点A作中心对称图形，再向左平移2个单位，得到△ A2B2C2.(变换过程不唯一)12径CD上找一点P,使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.径CD 上找一点P ,使BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值. 12、(1)观察发现如题26(a)图，若点A , B 在直线I 同侧，在直线I 上找一点P ,使AP+BP 的值最小.做法如下：作点 B 关于直线I 的对称点B ，连接AB ，与直线I 的交点就是所求的点 P 再如题26(b)图，在等边三角形 ABC 中，AB=2,点E 是AB 的中点，AD 是高，在 AD 上 找一点P ,使BP+PE 的值最小.做法如下：作点 B 关于AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这 点就是所求的点⑵实践运用已知O O 的直径CD 为4, AD 的度数为60°,点B 是A D 的中点，在直P,故BP+PE 的最小值为 A fi 题18(a)图 2 题18(b)图 如题26(c)图,题18(c)图(3)拓展延伸如题26(d)图，在四边形 ABCD 的对角线AC 上找一点P ,使/ APB=/APD.保留 作图痕迹，不必写出作法.所以/ AEB=15°,因为B 关于CD 的对称点所以/ BOE=60°, 所以△ OBE 为等边三角形， 所以/ OEB=60°, 所以/ OEA=45° 又因为OA=OE , 所以△ OAE 为等腰直角三角形,所以 AE=2j2.AC 于P 即可,13、如图所示，A 、B 两村之间有一条河，河宽为 要使AB 两村路程最近，请确定修桥的地点。
连接 OA 、OB 、OE ，连接AE 交CD与一点P , AP+BP 最短，因为 ，点B 是A D 的中点,a ,现要在河上修一座垂直于河岸的桥， (I (n)桥建在何处才能使 AB 两村到桥的距离相E , 0 I 0 fAD 的度数为60° (3)找B 关于AC 对称点E ,连DE 延长交C？。