基于数学形态学的图像噪声处理摘要本文首先介绍了数学形态学的发展简史及其现状，紧接着详细的阐述了数学形态学在图像处理和分析中的理论基础。
并从二值数学形态学出发着重研究了数学形态学的膨胀、腐蚀、开运算、闭运算等各种运算和性质，然后根据已有的运算，接着引入了形态滤波器设计、形态学图像处理的实用算法。
由于在图像的获取中存在各种可能的噪声，比如高斯噪声、瑞利噪声、伽马噪声、指数噪声、均匀噪声以及椒盐等噪声，由于这些噪声的普遍存在，因此，利用数学形态学的腐蚀、膨胀、开启、闭合设计出了一种比较理想的（闭和开）形态学滤波器，并且用MATLAB语言编写程序，反复的使用这种开闭、闭开来处理图像中存在的噪声，其效果比较满意。
关键词:数学形态学图像处理腐蚀膨胀滤波Studies on Mathematical Morphologyfor Image Processing ABSTRACTIn this paper ,we first introduced the brief history and development of mathematical morphology some general theory of mathematical morphology analysis and many experiment results are ter ,from the aspect of morphology of dual value, special emphasis on various operations and properties including dilation, erosion,open operation and close operation etc.In addition, morphology analysis method of the dual value image is also discussed and the practical and improved operations of the morphological image processing such as electric filter design, marginal pattern testing are introduced. As the image of the acquisition in the range of possible noise, such as Gaussian noise, Rayleigh noise, Gamma noise, Uniform noise Salt and Pepper noise and so on. As the prevalence of such noise, so using mathematical morphology of erosion,dilation, opening, closing designed a more ideal (open and closed morphological filter, And repeated to use opening and closing, closing and opening handle image processing in the noise. It is satisfied with its results.And the simulation results is more satisfactory after the use of MATLAB language programming.Keyword：mathematical morphology image processing erosion dilationelectric目录一绪论 11.1 数学形态学发展简史 11.2 数学形态学与数字图像处理 11.3 本文的研究内容及安排 2 二数学形态学的基本运算 32.1 基本概念 32.2 二值腐蚀和膨胀 32.2.1 二值腐蚀运算 32.2.2 二值膨胀运算 42.2.3 腐蚀和膨胀的代数性质 52.3 二值开运算和闭运算 62.3.1 二值开运算 72.3.2 二值闭运算 92.4 小结 10 三使用形态学滤波器处理噪声 113.1 噪声模型 113.1.1 一些重要噪声的概率密度函数 113.1.2 噪声的参数的估计 16 3.2 滤波器的设计 173.3 滤波器对图像噪声的处理 193.4 小结 20结论 21谢辞 22参考文献 23附录 24一绪论1.1数学形态学发展简史数学形态学作为一门新兴的图像处理与分析学科，1964年由法国的G.Mathern和J.Serra在积分几何的基础上首次创立。
70年代初，采用数学形态学的学者们开拓了图像分析的一个新的领域。
经过十多年的理论与实践探索，G.Mathern和J.Serra等人在研究中认识到，对图像先作开运算接着再作闭运算，可以产生一种幂等运算;采用递增尺寸的交变开闭序列作用于图像，可有效地消除图像的噪声，1982年他们正式提出了形态学滤波器的概念。
90年代数学形态学有两个显著的发展趋势，第一个是致力于运动分析，包括编码与运动景物描述;第二个是算法与硬件结构的协调发展，用于处理数值函数的形态学算子的开发与设计。
目前国内许多有效的图像处理系统有的是基于数学形态学方法原理设计的，有的是把数学形态学算法纳入其基本软件，并以其运算速度作为系统性能的重要标志之一1.2数学形态学与数字图像处理在现实生活中，数字图像处理经常需要利用计算机去研究将连续图像数字化，例如，识别签名或者票据、识别细胞图片或X光照片、解释和破译各种遥感照片、检查各种工业制品的表面质量、识别指纹等等。
为了能将图像输入到计算机内，需要对图像进行数字化，得到所谓数字图像。
数字图像处理的主要内容或目的包括以下几个部分:①对图像质量加以改善，使图像更加清晰，有助于提高目视效果，或者从图像中检测出所需要的部分;②对图像进行描述和分析，通过描述图像的几何、拓扑性质、纹理性质等来提取图像的各种特征，以便利用这些特征进行对图像的理解和识别;③图像理解，由投影图重建三维图像以及对三维场景的分析等等。
数学形态学可以看作是一种特殊的数字图像处理方法和理论，以图像的形态特征为研究对像。
它通过设计一整套变换(运算、概念和算法，用以描述图像的基本特征。
简言之，数学形态学中的各种变换、运算、概念和算法的目的，在于描述一图像的基本特征或基本结构，亦即一图像的各个元素或者各个部分之间的关系。
数学形态学作为一种用于数字图像处理和识别的新理论和新方法，它的理论虽然很复杂，被称为“惊人数学”，但它的基本思想却是简单而完美的。
数学形态学的基于集合的观点是极其重要的。
这意味着:①它的运算由集合运算(如并、交、补等来定义;②所有的图像都必须以合理的方式转换为集合。
1.3本文的研究内容及安排本文首先从数学形态学的基本理论入手，对数学形态学在图像处理中的理论基础进行了详尽的分析和讨论。
接着把数学形态学的基本运算运用到二值图像中去，通过组合，形成了一些形态学分析算法和一系列形态学处理算法，这些算法主要包括膨胀、腐蚀、开、闭等运算，并对这些算法进行了深入的研究。
全文共分三章:第一章介绍了数学形态学的发展状况以及其在数字图像处理中所应用概况;第二章详尽介绍了数学形态学的基本运算及其基本性质; 第三章用形态学滤波器去处理图像噪声。
二数学形态学的基本运算2.1基本概念2.2二值腐蚀和膨胀二值图像是指那些灰度只取两个可能值的图像，这两个灰度值通常取为O和1。
习惯上认为取值1的点对应于景物中的点，取值为0的点构成背景。
这类图像的集合表示是直接的。
考虑所有1值点的集合(即物体X，则X与图像是一一对应的。
我们感兴趣的也恰恰是X集合的性质。
如何对集合X进行分析呢?数学形态学认为，所谓分析，即是对集合进行变换以突出所需要的信息。
其采用的是主观“探针”与客观物体相互作用的方法。
“探针”也是一个集合，它由我们根据分析的目的来确定。
术语上，这个“探针”称为结构元素。
选取的结构元素大小及形状不同都会影响图像处理的结果。
剩下的问题就是如何选取适当的结构元素以及如何利用结构元素对物体集合进行变换。
为此，数学形态学定义了两个最基本的运算称为腐蚀和膨胀。
2.2.1二值腐蚀运算腐蚀是表示用某种“探针”(即某种形状的基元或结构元素对一个图像进行探测，以便找出图像内部可以放下该基元的区域。
它是一种消除边界点，使边界向内部收缩的过程。
可以用来消除小且无意义的物体。
腐蚀的实现同样是基于填充结构元素的概念。
利用结构元素填充的过程，取决于一个基本的欧氏空间概念—平移。
我们用记号表示一个集合A沿矢量x平移了一段距离。
(2-1集合A被B腐蚀，表示为，其定义为:(2-2其中A称为输入图像，B称为结构元素。
A B由将B平移x仍包含在A内的所有点x组成。
如果将B看作模板，那么，A B则由在将模板平移的过程中，所有可以填入A内部的模板的原点组成。
根据原点与结构元素的位置关系，腐蚀后的图像大概可以分为两类:(1如果原点在结构元素的内部，则腐蚀后的图像为输入图像的子集，如图2-1所示。
(2如果原点在结构元素的外部，则腐蚀后的图像可能不再输入图像的内部，如图2-2所示。
图2-1 腐蚀类似于收缩图2-2 腐蚀不是输入图像的子集腐蚀除了用填充形式表示外，还有一个更重要的表达形式:A B =∩{A－b:b∈B} (2-3这里腐蚀可以通过将输入图像平移-b(b属于结构元素，并计算所有平移的交集而得到。
2.2.2二值膨胀运算膨胀是腐蚀运算的对偶运算，可以通过对补集的腐蚀来定义。
我们以Xc表示集合X的补集，Bv表示B关于坐标原点的反射。
那么，集合A被B膨胀，表示为X B，其定义为:(2-4在图2-3中，B为一个包含原点的圆盘，利用B对A进行膨胀的结果是使A扩大了。
因为膨胀是利用结构元素对图像补集进行填充，因而它表示对图像外部滤波处理。
而腐蚀则表示对图像内部作滤波处理。
图2-3 利用圆盘膨胀如果结构元素为一个圆盘，那么，膨胀可填充图像中的小孔(相对于结构元素而言比较小的孔洞，及在图像边缘处的小凹陷部分。
而腐蚀可以消除图像中小的成分，并将图像缩小，从而使其补集扩大。
膨胀还可以通过相对结构元素的所有点平移输入图像，然后计算并集得到,可用如下表达式描述：A B= U{A+b:b∈B} (2-5此方程定义的膨胀，历史上称为珑nkowski和。
本文对要测试的原始图像(如图2-4分别进行了腐蚀运算和膨胀运算得到的结果如图2-5,2-6所示。
图2-4 原始图像图2-5 腐蚀图像图2-6膨胀图像2.2.3腐蚀和膨胀的代数性质膨胀满足两个最基本的运算关系，一个是交换律，另一个是结合律。