五年级奥数第一讲：整除初步例题1，判断下面12个数的整除性。

23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407，91301301。

（1）哪些数能被4整除？--末尾2位数。

分析：3568、5880、198954、6512、864都是4的倍数，因为末尾2位数都是4的倍数。

（2）哪些数能被8整除？--末尾3位数。

分析：3568、5880、6512、864都是8的倍数，末尾三位数是8的倍数即可。

（3）哪些数能被25整除？---末尾2位数。

分析：8875、93625都是25的倍数，因为末尾2位数是25倍数。

（4）哪些数能被125整除？---末尾3位数。

分析：8875、93625，末尾三位数都是125的倍数。

（5）哪些数能被3整除？-----数字和是3的倍数。

分析：23487、6765、5880、198954、864、91301301都是3的倍数，因为数字和都是3的倍数。

（6）哪些数能被9整除？---数字和是9的倍数。

分析：198954、864，因为数字和是9的倍数。

（7）哪些数能被11整除？--截位判别法或奇偶位和差分析法。

分析：6765、6512、407是11的倍数。

（8）哪些数能被13整除？-截位判别法。

分析：91301301，末尾三位数和末尾三位数之前的数的差是13的倍数。

练习1：在数列3124，312，3823，45235，5289，5588，661，7314中。

（1）哪些数能被4整除？--末尾2位数。

分析：3124、312、5588的末尾两位数都是4的倍数，所以是4的倍数。

（2）哪些数能被3整除？---数字和。

分析：312、5289、7314都是3的倍数，因为数字和是3的倍数。

（3）哪些数能11整除？--截位判别法或奇偶位和差分析法。

分析：3124、5588是11的倍数。

例题2，173（）是一个四位数，在括号内依次输入三个数字，分别得到三个四位数，依次分别能被9，11，8整除。

问：（1）先后填入的三个数字分别是多少？（2）和是多少？（1）9的倍数：数字和是9的倍数，那么就是9的倍数。

1+7+3=11，分析：11+7=18，√。

第一次先7 。

11的倍数：奇偶位和差分析法来做。

奇数位和:( )+7,偶数位的和3+1=4，差=（）+7-4=（）+3=11的倍数，所以（）为8 。

8的倍数：末尾三位数是8的倍数。

73（）是8的倍数，用数字谜法来做，73÷8=9……1，1（）是8的倍数，（）=6，所以第三次填写6 ，答：7、8、6 。

(2)和是7+8+6=21 。

练习2：在23（）的方框内先后填入3个数字，分别组成3个三位数，使得它们依次能被3，4，5整除。

填入的三个数字依次分别是多少？分析：（1）23（）是3的倍数，那么数字和是3的倍数，数字和为5+（），所以（）=1、4、7三种。

（2）23（）是4的倍数，那么末尾两位数是4的倍数，那么3（）是4的倍数，那么3（）可以是2、6两种。

（3）23（）是5的倍数，那么个位数字为0或者5，所以（）=0或5两种。

答：填入的三个数字分别为：第一个为1、4或7；第二个为：2或者6，第三个为：0或者5 。

例题3：牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记录在一张纸上，但是那张纸破了两个洞，上面只剩下了“67（）8（）”，其中括号表示破了的洞，而且括号内原来各有一个数字。

知道。

每个工人工资一样，工资还都是整数元。

求45个工人的总工资可能是多少元？分析：工资是45个人的工资，且每个人工资一样，所以工资总钱数是45的倍数。

为什么这么说？工资总钱数÷45=每个人的工资。

-----被除数为整数，除数也是整数，商也是整数，所以这个是整除，即：总钱数是45的倍数。

问题是：45的倍数特征我们没有学过呢！！！怎么办？要把45分成：①有倍数特征的②各不相同的③任何两个数之间都只能共同除以1的几个数相乘的形式。

45=5×9--------5有倍数特点，9也有倍数特点，5和9不相同，5和9只能共同除以1。

45=5×3×3----不行的，因为不满足各不相同的数。

且3和3除了可以共同除以1以外还可以共同除以3，都不行。

所以45只可以分成5×9，所以这个总工资是45的倍数，其实就是5的倍数也同时是9的倍数。

67（）8（）是45的倍数，即是5的倍数也是9的倍数。

是5的倍数，个位为0或者5 。

（1）个位是0时。

67（）80，数字和6+7+8+0=21，数字和要是9的倍数，9×3-21=6，所以为67680。

（2）个位是5时。

数字和为6+7+8+5+（）=26+（）=9的倍数，所以（）=1，所以67185 。

所以总工资为67680元和67185元。

一定要记住，如何把一个很大的数分成几个有倍数特点的小的数相乘。

①有倍数特点，②各不相同，③任何两个数之间只能共同除以1。

④可以分成2个或者2个以上的数相乘都可以。

练习3：四位数3（）3（）能被36整除，那么这个四位数可能是多少？分析：36没有学过倍数特点。

36分成哪些数相乘。

36=4×9----√的。

因为4和9都有倍数特点，4和9各不相同，4和9只能共同除以1，4可以除以1、2、4。

9可以除以1、3、9、共同除以只能是1.所以是正确的。

所以这个四位数是4的倍数也是9的倍数。

3（）3（）是4的倍数也是9的倍数。

①4的倍数，说明3（）两位数是4的倍数，可以是：32或36。

当四位数为：3（）32时，数字和为3+3+2+（）=8+（），（）=1，所以四位数为3132 。

当四位数为：3（）36时，数字和为3+（）+3+6=12+（）=9的倍数，所以（）=6。

所以四位数为3636 。

所以四位数为3132或者3636 。

例题4：一天王经理去电信为公司安装一部电话，服务人员告诉他，目前只有形如“1234（）6（）8”的号码可以申请，也就是说，括号内号码可以随意选择。

其余数字不可以改动。

王经理打算申请一个能同时被8和11整除得号码。

请问：他申请的号码可能是多少？分析：先考虑8的倍数，末尾三位数6（）8是8的倍数。

608是8的倍数，之后每次都是加10，所以加40才是8的倍数，648和688三种。

（1）1234（）608时。

奇数位和：8+6+4+2=20偶数位和：0+（）+3+1=（）+4奇数位和比偶数位和多11，所以（）=20-11-4=512345608 。

-----这个是第一个符合条件的电话号码。

（2）1234（）648时奇数位和：8+6+4+2=20偶数位和：4+（）+3+1=8+（）奇数位和比偶数位和11，所以（）=1，所以电话号码：12341648。

---第二种可能。

（3）1234（）688时奇数位和：20偶数位和：8+3+1+（）=12+（）奇数位和与偶数位和差只能为0，所以（）=8，电话号码为：12348688-----第三种可能的电话。

电话共有3种可能性。

12345608、12341648、12348688。

练习4：七位数22（）333（）能被44整除，那么这个七位数是多少？分析：44的倍数特征我们没有学过，所以把44分成具有以下特点的几个数相乘的形式，①有倍数特点②各不相同③两两互质（即任何2个数都只能同时除以1）。

44=4×11------这种分法是对的，因为4和11都是有倍数特点的，同时4和11各不相同，而且4和11只有共同除以一个数1，即互质关系。

七位数22（）333（）是44的倍数即是4和11的公倍数，即是4的倍数也是11的倍数。

（1）、先考虑是4的倍数。

那么末尾两位数必须是4的倍数，即3（）是4的倍数，那么末尾（）=2或者6 。

22（）333（）=22（）333（2）、22（）333（6）两种。

（2）、再考虑这个数是11的倍数。

奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，那么就是11的倍数。

1、当22（）333（2）时，奇数位数字和为：2+3+（）+2=7+（）；偶数位的数字和为：3+3+2=8，差必须是11的倍数，所以（）=1则差为0，所以七位数为：22（1）333（2）。

2、当22（）333（6）时，奇数位数字和为：6+3+（）+2=11+（）；偶数位的数字和为：3+3+2=8，作差，差必须为11，所以（）=8，所以七位数为：22（8）333（6）。

所以得到符合条件的7位数为：2213332或者2283336 。

例题5：在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的最小的数是多少？最大是多少？分析：设五位数为ABCDE。

因为45=5×9，所以是5的倍数也是9的倍数。

（1）是5的倍数，所以个位数字E=0或5;（2）因为数字和必须是9的倍数.1、当个位数字为0时，数字和最小为0+1+2+3+4=10，数字和是9的倍数，所以数字和最小为9×2=18，所以个位数字为0时，符合条件的9的倍数的五位数最小为：12（）（）0=12690；2、当个位数字为5时，数字和最小为0+1+2+3+5=11，数字和是9的倍数，所以数字和最小为9×2=18，符合五位数最小为：10（3）（9）5 。

所以最小的五位数为10395。

最大的五位数是多少？1、个位数字为0时，（）（）（）（）0=987（）0=98730最大。

2、个位数字为5时，（）（）（）（）5=987（）5=987（7）5不成立，重复了数字7，986（）5=986（8）5重复了也不行。

985（）5重复了不行。

984（）5=98415成立。

因为98730＞98415，所以最大为98730 。

技巧：越高位数字越大，数越大，逐步讨论比较。

练习5：用1到9这9个数字组成的9位数（每个数字只用一次）。

这个九位数是99的倍数，问这个九位数最小是多少？最大是多少？分析：99=9×11，所以是9的倍数也是11的倍数。

（1）9的倍数：因为数字和1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，45÷9=5，所以无论如何排列都是9的倍数。

（2）11的倍数。

设奇数位数字和为A，偶数位数字和为B，那么A+B=45，A-B=0、11、22、33或44。

之前学过和差问题，A和B两数之和为45，A和B两数之差为0、那么较大数A=（45+0）÷2=22.5不是整数，不成立。

同理：A=（45+11）÷2=28，所以B=45-28=17 成立。

A=（45+22）÷2=33.5不是整数，不成立。

A=（45+33）÷2=39，B=45-39=6,因为偶数位的数字和至少为：1+2+3+4=10＞6所以不成立。

A=（45+44）÷2=89÷2=44.5不是整数，不成立。