13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 4 米，黄鼠狼每次跳 2 米， 它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔 12 米设有一个陷井,当它们因数与倍数相关习题（1）一、填空题1．28 的所有因数之和是_____.2. 用 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法.3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是 28 的因数,十位数字与个位数 字的积是 24.这个两位数是_____.4. 李老师带领一班学生去种树 ,学生恰好被平均分成四个小组 ,总共种树 667 棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人.5. 两个自然数的和是 50,它们的最大公因数是 5,则这两个数的差是_____.6. 现有梨 36 个,桔 108 个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相 等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个.7. 一块长 48 厘米、宽 42 厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形 布片_____块.8. 长 180 厘米,宽 45 厘米,高 18 厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块 (不余料)_____块.9. 张师傅以 1 元钱 3 个苹果的价格买苹果若干个,又以 2 元钱 5 个苹果的价 格将这些苹果卖出,如果他要赚得 10 元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个.10. 含有 6 个因数的两位数有_____个.11．写出小于 20 的三个自然数，使它们的最大公因数是 1，但两两均不互 质，请问有多少组这种解12．和为 1111 的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少1 32 43 8之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米14. 已知 a 与 b 的最大公因数是 12,a 与 c 的最小公倍数是 300,b 与 c 的最 小公倍数也是 300,那么满足上述条件的自然数 a ,b ,c 共有多少组(例如:a =12、b =300、c =300，与 a =300、b =12、c =300 是不同的两个自然数 组)———————————————答 案——————————————————————答 案:1． 5628 的因数有 1,2,4,7,14,28,它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2. 4因为105的因数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.3.64因为28=2⨯2⨯7,所以28的因数有6个:1,2,4,7,14,28.在数字0,1,2,…，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，又6-4=2，8-3=5.故符合题目要求的两位数仅有64.4.28因为667=23⨯29,所以这班师生每人种的棵数只能是667的因数:1,23,29,667.显然,每人种667棵是不可能的.当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求.当每人种1棵树时,全班人数应是667-1=666,但666不能被4整除,不可能.所以,一班共有28名学生.5.40或20两个自然数的和是50,最大公因数是5,这两个自然数可能是5和45,15和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填40或20.[注]这里的关键是依最大公因数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35.6.36,1,3.要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的因数，又要是108的因数，即一定是36和108的公因数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公因数.36和108的最大公因数是36,也就是可分给36个小朋友.每个小朋友可分得梨:36÷36=1(只)每个小朋友可分得桔子:108÷36=3(只)所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.7.56剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以它是48与42的公因数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48与42的最大公因数.因为48=2⨯2⨯2⨯2⨯3,42=2⨯3⨯7,所以48与42的最大公因数是6.这样,最大正方形的边长是6厘米.由此可按如下方法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪7块,共可剪(48÷6)⨯(42÷6)=8⨯7=56(块)正方形布片.8.200根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除,即正方体的棱长是180,45和18的公因数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18的最大公因数.180,45和18的最大公因数是9,所以正方体的棱长是9厘米.这样,长180厘米可公成20段,宽45厘米可分成5段,高18厘米可分成2段.这根木料共分割成(180÷9)⨯(45÷9)⨯(18÷9)=200块棱长是9厘米的正方体.9.150根据3与5的最小公倍数是15,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元钱卖出15个苹果,这样,他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出150个苹果.13. 黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是 2 与12 的“最小公倍数” ， ÷ =9 次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是 4 和12 的 99 99 9 经过比较可知,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是 4 ⨯ 9=(米). 10. 16含有 6 个因数的数,它的质因数有以下两种情况:一是有 5 个相同的质因数连 乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用 M 表示含有 6 个因数 的数，用 a 和 b 表示 M 的质因数，那么M = a 5 或 M = a 2 ⨯ b因为 M 是两位数，所以 M = a 5 只有一种可能 M =25，而 M = a 2 ⨯ b 就有以下 15 种情况：M = 2 2 ⨯ 3, M = 2 2 ⨯ 5, M = 2 2 ⨯ 7 ，M = 2 2 ⨯ 11, M = 2 2 ⨯ 13, M = 2 2 ⨯ 17 ，M = 2 2 ⨯ 19, M = 2 2 ⨯ 23, M = 32 ⨯ 2 ，M = 32 ⨯ 5, M = 32 ⨯ 7, M = 32 ⨯ 11 ，M = 5 2 ⨯ 2, M = 5 2 ⨯ 3, M = 7 2 ⨯ 2 .所以,含有 6 个因数的两位数共有 15+1=16(个) 11. 三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公因数只 能分别是 2,3 和 5,这种自然数有 6,10,15 和 12,10,15 及 18,10,15 三组. 12. 四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和 ,也就是说它们的最大 公因数应该是 1111 的因数.将 1111 作质因数分解,得 1111=11 ⨯ 101 最大公因数不可能是 1111,其次最大可能数是 101.若为 101,则将这四个数分别 除以 101,所得商的和应为 11.现有 1+2+3+5=11, 即存在着下面四个数 101,101 ⨯ 2,101 ⨯ 3,101 ⨯ 5, 它们的和恰好是 101 ⨯ (1+2+3+5)=101 ⨯ 11=1111, 它们的最大公因数为 101. 所以 101 为所求. 3 3 99 4 8 4 即跳了 99 11 1 3 4 4 2 8 “最小公倍数” ，即跳了 ÷ =11 次掉进陷井. 2 2 2 1 214. 先将 12、300 分别进行质因数分解：12=22 ⨯ 3300=22⨯3⨯52(1)确定a的值.依题意a只能取12或12⨯5(=60)或12⨯25(=300).(2)确定b的值.当a=12时,b可取12,或12⨯5,或12⨯25；当a=60,300时，b都只能取12.所以,满足条件的a、b共有5组：a=12a=12a=12a=60a=300b=12,b=60,b=300,b=12,b=12.(3)确定a,b,c的组数.对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：52，52⨯2，52⨯22，52⨯3，52⨯2⨯3，52⨯22⨯3，即25，50，100，75，150，300.所以满足条件的自然数a、b、c共有5⨯6=30（组）13. 用 、 、1 分别去除某一个分数，所得的商都是整数.这个分数 “ “因数与倍数相关习题（2）一、 填空题1．把 20 个梨和 25 个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下 2 个，而苹果还 缺 2 个，一共有_____个小朋友.2. 幼儿园有糖 115 颗、饼干 148 块、桔子 74 个，平均分给大班小朋友；结 果糖多出 7 颗，饼干多出 4 块，桔子多出 2 个.这个大班的小朋友最多有_____ 人.3. 用长 16 厘米、宽 14 厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用 这样的木板_____块.4. 用长是 9 厘米、宽是 6 厘米、高是 7 厘米的长方体木块叠成一个正方体， 至少需要这种长方体木块_____块.5. 一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔 3、5、9、15、10 分 钟发一次，第一次同时发车以后，_____分钟又同时发第二次车.6. 动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12 粒；如只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如只分给第三群，则每只猴子 可得 20 粒.那么平均给三群猴子,每只可得_____粒.7. 这样的自然数是有的:它加 1 是 2 的倍数,加 2 是 3 的倍数,加 3 是 4 的倍 数,加 4 是 5 的倍数,加 5 是 6 的倍数,加 6 是 7 的倍数,在这种自然数中除了 1 以外最小的是_____.8． 能被 3、7、8、11 四个数同时整除的最大六位数是_____.9. 把 26,33,34,35,63,85,91,143 分成若干组,要求每一组中任意两个数的 最大公因数是 1, 那么至少要分成_____组.10. 210 与 330 的最小公倍数是最大公因数的_____倍.二、解答题11．公共汽车总站有三条线路，第一条每 8 分钟发一辆车，第二条每 10 分 钟发一辆车，第三条每 16 分钟发一辆车，早上 6：00 三条路线同时发出第一辆 车.该总站发出最后一辆车是 20:00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.12. 甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数,商是 12.如果甲乙两数 的差是 18,则甲数是多少乙数是多少5 15 1 28 56 20最小是几14. 有 15 位同学,每位同学都有编号,他们是 1 号到 15 号,1 号同学写了一 个自然数,2 号说： 这个数能被 2 整除”，3 号说： 这个数能被他的编号数整除.1 号作了检验:只有编号连续的二位同学说得不对,其余同学都对,问:(1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数(2)如果告诉你,1 号写的数是五位数,请找出这个数.———————————————答案——————————————————————答案:1.9若梨减少2个,则有20-2=18(个);若将苹果增加2个,则有25+2=27(个),这样都被小朋友刚巧分完.由此可知小朋友人数是18与27的最大公因数.所以最多有9个小朋友.2.36根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因数.所以,这个大班的小朋友最多有36人.3.56所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数,也就是长方形木板的长和宽的公倍数,又要求最少需要多少块,所以正方形木板的边长应是14与16的最小公倍数.先求14与16的最小公倍数.2161487故14与16的最小公倍数是2⨯8⨯7=112.因为正方形的边长最小为112厘米,所以最少需要用这样的木板112⨯11216⨯14=7⨯8=56(块)4．5292与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小公倍数是126.所以,至少需要这种长方体木块126⨯126⨯1269⨯6⨯7=14⨯21⨯18=5292(块)[注]上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广.将平面问题推广为空间问题是数学家喜欢的研究问题的方式之一.希望引起小朋友们注意.5.90依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15和10的最小公倍数.因为3,5,9,15和10的最小公倍数是90,所以从第一次同时发车后90分钟又同时发第二次车.6.5依题意得花生总粒数=12⨯第一群猴子只数=15⨯第二群猴子只数=20⨯第三群猴子只数由此可知,花生总粒数是12,15,20的公倍数,其最小公倍数是60.花生总粒数是60,120,180,……，那么第一群猴子只数是5，10，15，……第二群猴子只数是4，8，12，……第三群猴子只数是3，6，9，……所以，三群猴子的总只数是12，24，36，…….因此,平均分给三群猴子,每只猴子所得花生粒数总是5粒.7.421依题意知,这个数比2、3、4、5、6、7的最小公倍数大1,2、3、4、5、6、7的最小公倍数是420，所以这个数是421.8.999768由题意知,最大的六位数是3,7,8,11的公倍数,而3,7,8,11的最小公倍数是1848.因为÷48=541……231，由商数和余数可知符合条件的最大六位数是1848的541倍，或者是999999与231的差.所以,符合条件的六位数是999999-231=999768.9.3根据题目要求,有相同质因数的数不能分在一组,26=2⨯13,91=7⨯13,143=11⨯13,所以,所分组数不会小于3.下面给出一种分组方案:甲数 ⨯乙数 倍 ⨯ 约 (1)26，33，35；(2)34，91；(3)63，85，143.因此,至少要分成 3 组.[注]所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如 15=3 ⨯ 5，21=3 ⨯ 7， 35=5 ⨯ 7，3，5，7 各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组.除了上述分法之外,还有多种分组法,下面再给出三种:(1)26,35；33，85，91；34，63，143.(2)85,143,63；26，33，35；34，91.(3)26,85,63；91，34，33；143，35.10. 77根据“甲乙的最小公倍数⨯ 甲乙的最大公因数=甲数 ⨯ 乙数”，将 210 ⨯ 330 分 解质因数，再进行组合有210 ⨯ 330= ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ 1= ⨯ ⨯ ⨯ ⨯ 1=（2 ⨯ 3 ⨯ 5） ⨯ （2 ⨯ 3 ⨯ 5 ⨯ 7 ⨯ 11）因此，它们的最小公倍数是最大公因数的 7 ⨯ 11=77（倍）.11. 根据题意,先求出 8,10,16 的最小公倍数是 80,即从第一次三车同时发 出后,每隔 80 分钟又同时发车.从早上 6:00 至 20:00 共 14 小时,求出其中包含多少个 80 分钟.60 ⨯ 14 ÷ 80=10…40 分钟由此可知,20:00 前 40 分钟,即 19:20 为最后一次三车同时发车的时刻.12. 甲乙两数分别除以它们的最大公因数,所得的两个商是互质数.而这两 个互质数的乘积,恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数所得的商 ——12.这一结论的根据是:(我们以“约”代表两数的最大公因数，以“倍”代表两数的最小公倍数)甲数 ⨯ 乙数=倍 ⨯ 约= ，所以： 约 ⨯ 约 约 ⨯ 约⨯ ÷ =a ÷ =b ÷ 1 =c ⨯ =a ⨯ =b ⨯ =c 28,56,20 的最大公因数,因此,符合条件的最小分数: = = 26甲数 乙数 倍 甲数 乙数 ⨯ = ， =12 约 约 约 约 约将 12 变成互质的两个数的乘积：①12=4 ⨯ 3，②12=1 ⨯ 12先看①,说明甲乙两数：一个是它们最大公因数的 4 倍，一个是它们最大公 因数的 3 倍.甲乙两数的差除以上述互质的两数(即 4 和 3)之差,所得的商,即甲乙两数的 最大公因数.18 ÷ (4-3)=18甲乙两数,一个是:18 ⨯ 3=54，另一个是：18 ⨯ 4=72.再看②,18 ÷ (12-1)=1 7 ,不符合题意,舍去. 1113.依题意,设所求最小分数为 M N ,则即 M 5 M 15 M 1 N 28 N 56 N 20 M 28 M 56 M 20 N 5 N 15 N 21其中 a ,b ,c 为整数.因为 M N是最小值,且 a ,b ,c 是整数,所以 M 是 5,15,21 的最小公倍数,N 是M 105 1 N 4 414. (1)根据 2 号~15 号同学所述结论,将合数 4,6,…，15 分解质因数后， 由 1 号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论.4=22,6=2 ⨯ 3,8=23,9=32,10=2 ⨯ 5,12=22 ⨯ 3,14=2 ⨯ 7,15=3 ⨯ 5由此不难断定说得不对的两个同学的编号是 8 与 9 两个连续自然数(可逐次 排除,只有 8 与 9 满足要求).(2)1 号同学所写的自然数能被 2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15 这 12 个数 整除,也就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是⨯⨯⨯⨯⨯3=60060因为60060是一位五位数,而这12个数的其他公倍数均不是五位数,所以1号同学写的五位数是60060.。