第一章信号及其描述
1 试判断下述结论的正误。

（ 1 ）凡频谱是离散的信号必然是周期信号。

（ 2 ）任何周期信号都由频率不同，但成整倍数比的离散的谐波叠加而成。

（ 3 ）周期信号的频谱是离散的，非周期信号的频谱也是离散的。

（ 4 ）周期单位脉冲序列的频谱仍为周期单位脉冲序列。

（ 5 ）非周期性变化的信号就是随机信号。

（ 6 ）非周期信号的幅值谱表示的是其幅值谱密度与时间的函数关系。

（ 7 ）信号在时域上波形有所变化，必然引起频谱的相应变化。

（ 8 ）各态历经随机过程是平稳随机过程。

（ 9 ）平稳随机过程的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计持征。

（ 10 ）两个周期比不等于有理数的周期信号之和是周期信号。

（ 11 ）所有随机信号都是非周期信号。

（ 12 ）所有周期信号都是功率信号。

（ 13 ）所有非周期信号都是能量信号。

（ 14 ）模拟信号的幅值一定是连续的。

（ 15 ）离散信号即就是数字信号。

2 对下述问题，选择正确答案填空。

（ 1 ）描述周期信号的数学工具是( ) 。

A. 相关函数
B. 傅氏级数
C. 拉氏变换
D. 傅氏变换
（ 2 ）描述非周期信号的数学工具是( ) 。

A. 三角函数
B. 拉氏变换
C. 傅氏变换
D. 傅氏级数
（ 3 ）时域信号持续时间压缩，则频域中低频成分( ) 。

A. 不变
B. 增加
C. 减少
D. 变化不定
（ 4 ）将时域信号进行时移，则频域信号将会( ) 。

A. 扩展
B. 压缩
C. 不变
D. 仅有相移
（ 5 ）概率密度函数在( )域、相关函数是在( )域、功率谱密度函数是在( )域上来描述的随机信号
A. 时间
B. 空间
C. 幅值
D. 频率
3 指出题图 3 所示的信号时域波形时刻与时刻频谱（幅值谱）有无变化，并说明原因。

题 3 图题 6 图
4 判断下列序列是否是周期函数。

如果是，确定其周期。

（ 1 ）；（ 2 ）。

5 有一组合信号，系由频率分别为 724Hz 、 44Hz 、 5005410Hz 及 600Hz 的相同正弦波叠加而成。

求该信号的周期 T 。

6 求题 6 图所示，非对称周期方波信号的傅里叶级数，并绘出频谱图。

7 求题 7 图所示三角波信号的傅里叶级数，并绘出频谱图。

题 7 图题 8 图
8 求题 8 图所示锯齿波信号的傅里叶级数，并绘出频谱图。

9 求题 9 图所示锯齿波信号的傅里叶级数，并绘出频谱图。

题 9 图
10 求题 10 图所示半波余弦信号和半波正弦信号的傅里叶级数，绘出频谱图，并讨论它们的异同。

题 10 图
11 求题 11 图所示余弦全波整流信号的傅里叶级数，并绘出频谱图。

题 11 图题 12 图
12 求题 12 图所示周期指数函数信号的傅里叶级数，并绘出频谱图。

13 求题 13 图所示周期信号的傅里叶级数，并绘出频谱图。

题 13 图题 14 图
14 求题 14 图所示正弦信号经限幅后输出波形的傅里叶级数，并绘出频谱图。

15 已知周期信号的傅里叶系数是、、，试证明延时信号
的傅里叶级数是
其中：
16 求正弦信号的绝对均值和均方根值。

17 求题 17 图所示周期性等腰三角形信号的直流分量、基波有效值、信号有效值和信号平均功率。

题 17 图
18 设一周期为 2 π的周期信号可用傅里叶级数展开成
试证明：
(注：这个关系式称为瑞利定理，在计算周期函数的有效值时很有用，有效值就是上式的平方根值)。

19 求单边指数信号的频谱
20 求题 20 图所示符号函数和单位阶跃函数的频谱。

题 20 图
21 求题 21 图所示半波余弦脉冲信号的频谱。

题 21 图题 22 图
22 求题 22 图所示高斯脉冲（钟形脉冲）信号的频谱。

23 求以下信号的频谱。

24 已知信号 x(t)的频谱是 X(f)，利用傅里叶变换的有关性质求下列信号的频谱。

（ 1 ）；（ 2 ）；
（ 3 ）；（ 4 ）；
（ 5 ）；（ 6 ）。

25 求信号的傅里叶变换，并绘出其频谱图（ a>0 ，
b>0 ， t>0 ）。

26 已知信号的频谱为，求其在整个时间轴上的积分。

27 求题 27 图所示截断的余弦信号的频谱，并讨论τ的大小（τ=T ，τ>T ，τ <T ）对频谱的影响。

题 27 图
28 求题 28 图所示单周正弦脉冲的频谱。

题 28 图
29 已知信号及其频谱如图 29 所示，现用其与振荡信号
相乘，在这个关系中，信号叫做调制信号，振荡
信号叫做载波。

求调幅信号的傅里叶变换，并画示意图表示
调幅信号及其频谱。

又问，若时将会出现什么情况，此处，是
信号中的最高频率成分的频率。

题 29 图题 30 图
30 求指数衰减振荡信号的频谱。

31 已知三角形脉冲信号（题 31a 图）的频谱为
，用其调制载波信号得三角形调幅信号
（题 31b 图）和（题 31c 图）。

求调幅信号和的
频谱和。

a) b) c)
题 31 图
32 求题 32 图所示截底三角形脉冲的频谱。

题 32 图
33 求题 33 图所示锯齿脉冲和的频谱。

a) b)
题 33 图
34 求题 34 图所示脉冲信号 、 和 的傅里叶变换并作频谱图。

试说明三信号的频谱间有何关系。

a) b) c)
题 34 图
35 求题 35 图所示信号（包络为三角脉冲，载波为对称方波）的频谱。

题 35 图 题 36 图
36 求题 36 图所示三矩形脉冲信号的频谱。

37 题 37 图所示信号
是由 n 个脉冲组成的脉冲串，其中第一个脉冲的
频谱密度为 ，试证明 的频谱密度函数为。

题 37 图
38 已知信号的频谱为，示于题 38a 图，求题 38b 图所示频谱
对应的信号。

a) b)
题 38 图
39 信号与之间的关系如题 39 图所示，已知的频谱为
，求信号的频谱。

题 39 图
40 利用傅里叶变换的积分特性求题 40 图所示信号的频谱。

本题的解答
能否由的频谱乘以得到？为什么？
题 40 图
41 周期信号与非周期信号间的关系如题 41 图所示，已知信号
的频谱，求信号的频谱。

题 41 图
42 将以非周期信号以周期 T 进行重复构成一周期信号。

试证明该非周期信号的连续频谱（频谱密度的模）和相应的周期信号的离散频谱的包络在形式上相同，而仅在标度上（即比例系数）上有区别。

再以单个矩形脉冲的频谱和该脉冲所构成的周期性矩形脉冲信号的频谱为例说明之。

43 求正弦信号的均值、均方根和概率密度函
数。

44. 试指出下列信号哪些为能量信号？哪些为功率信号？或者两者都不是。

(1) ；
(2) ；
(3)
； (4) ；
(5) ；
(6) 。

45 判断上题中的信号哪些是周期信号？若为周期信号，试确定其周期T 。

第一章 信号及其描述（答案）
1. 判断题
（1） × 考虑准周期信号。

（2） × 频率比值为有理数。

（3） ×
（4） × 是周期脉冲序列。

（5） × 根据随机信号的定义判断。

（6） × 表示的是幅值谱密度与频率的函数关系。

（7） √
（8） √
（9） √
（10）×
（11）× 随机初相位的正弦信号是周期信号。

（12）√
（13）×
（14）×
（15）×
2. 选择题
(1) B (2) C (3) B (4) D (5) B A D
3. 无变化
4. (1) 不是周期函数。

(2) 是周期函数，周期为 0.1 秒。

5. 周期为 0.25s 。

6. 频谱图略。

7. 略。

8. 频谱图略。

9 ～ 43 略。

44. (1)功率信号 (2)能量信号 (3)功率信号 (4)能量信号 (5)功率信号 (6)两者都不是
45. (1) 是周期信号，周期 T=1 秒； (5) 是周期信号，周期 T=0.1 秒。