一、RLC串联谐振电路 串联谐振电路
表示RLC串联谐振电路，图12－15(b)是它 串联谐振电路， 图12－15(a)表示 － 表示 串联谐振电路 － 是它 的相量模型， 的相量模型，由此求出驱动点阻抗为
图12－15 －
ɺ U Z ( jω ) = ɺ I 1 = R + j(ωL − ) =| Z ( jω ) | ∠θ (ω ) ωC (12 − 24)
ɺ ɺ IS IS ɺ ɺ U = = = RI S Y G (12 − 42)
电路谐振时电压达到最大值，此时电阻、 电路谐振时电压达到最大值，此时电阻、电感和电容 中电流为（见下页） 中电流为（见下页）
ɺ ɺ ɺ I R = GU = I S ɺ = − j R I = − jQI ɺ ɺ U S S ω0 L jω 0 L ɺ ɺ ɺ ɺ I C = jω 0 CU = jω 0 RCI S = jQI S ɺ IL =
相当于虚短路)， 由于 u(t)=uL(t)+uC(t)=0 (相当于虚短路 ，任何时刻进 相当于虚短路 入电感和电容的总瞬时功率为零， 入电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和 。 电容与电压源和电阻之间没有能量交换。 电容与电压源和电阻之间没有能量交换。电压源发出的功 率全部为电阻吸收， 率全部为电阻吸收，即pS(t)=pR(t)。 。
其中
1 2 | Z ( jω ) |= R + (ωL − ) ωC 1 ωL − ωC ) θ (ω ) = arctan( R
2
(12 − 25)
(12 − 26)
1. 谐振条件 当 ωL − 1 = 0 ，即 ω=
1 LC
ωC
时，θ(ω)=0,
|Z(jω)|=R,电压 与电流 相位相同，电路发生谐振。 电压u(t)与电流 相位相同，电路发生谐振。 与电流i(t)相位相同 电压 也就是说， 也就是说，RLC串联电路的谐振条件为 串联电路的谐振条件为
解：(l)电压源的角频率应为 电压源的角频率应为
ω = ω0 =
1 LC
=
1 10−4 ×10−8
rad/s = 106 rad/s
(2)电路的品质因数为 电路的品质因数为
Q=
则
ω0L
R
= 100
U L = U C = QU S = 100 ×10V = 1000V
二、RLC并联谐振电路 并联谐振电路
加到4倍，这将造成电压UL=UC增加一倍。若电容 C减少到 加到 倍 这将造成电压 增加一倍。 减少到 l/4( Q增加一倍 ， 增加一倍)， 增加一倍
2 总能量不变，而电压 W = CU总能量不变，而电压UL= UC增 C
加一倍。总之， 、 和 的改变造成 加一倍。总之， R、L和 C的改变造成 数与U 变化的倍数相同。 数与 L= UC变化的倍数相同。
R S
ɺ ɺ 即 U L + U C = 0 ，且电感电压或电容电压的幅度为电压源
电压幅度的Q倍 电压幅度的 倍，即
U L = U C = QU S = QU R
电压谐振。 电压谐振。
(12 − 36)
若Q>>1,则UL=UC>>US=UR，这种串联电路的谐振称为 则
3.谐振时的功率和能量 谐振时的功率和能量 设电压源电压为u 设电压源电压为 S(t)=Usmcos(ω0t)，则： ，
2
(12 − 39)
(12 − 40)
1.谐振条件 谐振条件
1 = 0 时, Y(jω)=G=1/R，电压 和电流 和电流i(t) ，电压u(t)和电流 ωL 同相，电路发生谐振。因此， 同相，电路发生谐振。因此，RLC并联电路谐振的条件是 并联电路谐振的条件是
当 ωC −
ω = ω0 =
式中 ω0 = 电路相同。 电路相同。
图 12-19(a) 所 示 RLC 并 联 电 路 ， 其 相 量 模 型 如 图 1219(b)所示。 所示。 所示
图12－19 －
驱动点导纳为
ɺ I Y ( jω ) = ɺ U 1 = G + j(ωC − ) =| Y ( jω ) | ∠θ (ω ) ωL (12 − 38)
其中
1 2 | Y ( jω ) |= G + (ωC − ) ωL 1 ωC − ωL ) θ (ω ) = arctan( G
§12－3 谐振电路 －
含有电感、电容和电阻元件的单口网络， 含有电感、电容和电阻元件的单口网络，在 某些工作频率上， 某些工作频率上，出现端口电压和电流波形相位 相同的情况时，称电路发生谐振。 相同的情况时，称电路发生谐振。能发生谐振的 电路，称为谐振电路。 电路，称为谐振电路。谐振电路在电子和通信工 程中得到广泛应用。本节讨论最基本的 程中得到广泛应用。本节讨论最基本的RLC串联 串联 和并联谐振电路谐振时的特性。 和并联谐振电路谐振时的特性。
(8 − 33)
(8 − 34)
ω 0L 1 ρ Q= = = R ω 0 RC R
感抗或容抗与电阻之比。 感抗或容抗与电阻之比。
(8 − 35)
Q 称为串联谐振电路的品质因数，其数值等于谐振时 称为串联谐振电路的品质因数，
图12－16 －
从以上各式和相量图可见， 从以上各式和相量图可见，谐振时电阻电压与电压源 ɺ U 电压相等， 电感电压与电容电压之和为零， 电压相等， ɺ ＝U 。电感电压与电容电压之和为零，
电感和电容吸收的瞬时功率分别为： 电感和电容吸收的瞬时功率分别为：
pL (t ) = −QU m I Sm cos ω 0t cos(ω 0t + 90 ) = QUI S sin( 2ω 0t ) pC (t ) = − pL (t ) = −QUI S sin( 2ω 0t )
图12－21 并联电路谐振时的能量交换 －
1 LC
来确定。 ，完全由电路参数L和C来确定。 完全由电路参数 和 来确定
谐振时电感和电容中总能量保持常量， 谐振时电感和电容中总能量保持常量，并等于电感中 的最大磁场能量，或等于电容中的最大电场能量，即 的最大磁场能量，或等于电容中的最大电场能量，
US 2 2 W = WL + WC = CU C = LI L = L R
能量在电感和电容间的这种往复交换， 能量在电感和电容间的这种往复交换，形成电压和电 流的正弦振荡， 流的正弦振荡，这种情况与 LC串联电路由初始储能引起 串联电路由初始储能引起 的等幅振荡相同(见第九章二阶电路分析 。 的等幅振荡相同 见第九章二阶电路分析)。其振荡角频率 见第九章二阶电路分析
ω0＝
其中
(12 − 43) (12 − 44) (12 − 45)
1
R C Q= = Rω 0 C = R ω0L L
(12 − 46)
称为RLC并联谐振电路的品质因数，其量值等于谐振 并联谐振电路的品质因数， 称为 并联谐振电路的品质因数 时感纳或容纳与电导之比。电路谐振时的相量图如图 时感纳或容纳与电导之比。电路谐振时的相量图如图1220(b)所示。 所示。 所示
1 L ρ = ω0 L = = ω 0C C
(12 − 29)
2. 谐振时的电压和电流 RLC串联电路发生谐振时，阻抗的电抗分量 串联电路发生谐振时， 串联电路发生谐振时
导致
1 X =ω0 L − =0 ω0 C
Z ( jω 0 ) = R
压源， 压源，则电路谐振时的电流为
(12 − 30)
即阻抗呈现纯电阻，达到最小值。 即阻抗呈现纯电阻，达到最小值。若在端口上外加电
1
1 LC
(12 − 41)
称为电路的谐振角频率。 串联 LC 称为电路的谐振角频率。与RLC串联
2.谐振时的电压和电流 谐振时的电压和电流 RLC并联电路谐振时，导纳Y(jω0)=G=1/R，具有最小 并联电路谐振时，导纳 ， 并联电路谐振时
ɺ 值。若端口外加电流源 I S ，电路谐振时的电压为
Q=
1 R
L 变化的倍 C
电路如图12-18所示。已知 u S (t ) = 10 2 cosωt V 所示。 例12-7 电路如图 所示 为何值时，电路发生谐振。 求: (l) 频率ω为何值时，电路发生谐振。 (2)电路谐振时 UL和UC为何值。 电路谐振时, 为何值。 电路谐振时
图12－18 －
由于i(t)=iL(t)+iC(t)=0 (相当于虚开路 ，任何时刻进入 相当于虚开路)， 由于 相当于虚开路 电感和电容的总瞬时功率为零， 电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和电 。 容与电流源和电阻之间没有能量交换。 容与电流源和电阻之间没有能量交换。电流源发出的功率 全部被电阻吸收， 全部被电阻吸收，即pS(t)=pR(t) 。 能量在电感和电容间往复交换(图 － ， 能量在电感和电容间往复交换 图12－21)，形成了电 压和电流的正弦振荡。 压和电流的正弦振荡。其情况和 LC并联电路由初始储能 并联电路由初始储能 引起的等幅振荡相同， 引起的等幅振荡相同，因此振荡角频率也是 ω0 = 串联谐振电路相同。 串联谐振电路相同。
ɺ ɺ US US ɺ I= = Z R
(12 − 31)
电流达到最大值，且与电压源电压同相。此时电阻、 电流达到最大值，且与电压源电压同相。此时电阻、 电感和电容上的电压分别为
R ɺ = 1 I = − j 1 U = − jQU ɺ ɺ ɺ UC S S jω 0 C ω 0 RC
其中Βιβλιοθήκη ɺ ɺ ɺ U R = RI = U S (8 − 32) ɺ = j ω L I = j ω 0 L U = j QU ɺ ɺ ɺ UL 0 S S
图12－20 －
由以上各式和相量图可见，谐振时电阻电流与电流源 由以上各式和相量图可见， ɺ ɺ 电感电流与电容电流之和为零， 电流相等 I = I 。电感电流与电容电流之和为零，