《计算方法》练习题一练习题第1套参考答案 一、填空题1. 14159.3=π的近似值3.1428,准确数位是( 210- )。
2.满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R ())((!2)(b x a x f --''ξ )。
3.设)}({x P k 为勒让德多项式,则=))(),((22x P x P (52)。
4.乘幂法是求实方阵(按模最大 )特征值与特征向量的迭代法。
5.欧拉法的绝对稳定实区间是( ]0,2[-)。
二、单选题1.已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε,则=)(ab ε(C )。
A .)()(b a εε B.)()(b a εε+ C.)()(b b a a εε+ D.)()(a b b a εε+ 2.设x x x f +=2)(,则=]3,2,1[f ( A )。
A.1 B.2 C.3 D.4 3.设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3113,则化A为对角阵的平面旋转=θ( C ). A.2π B.3π C.4π D.6π 4.若双点弦法收敛,则双点弦法具有(B )敛速.A.线性 B.超线性 C.平方 D.三次5.改进欧拉法的局部截断误差阶是( C ).A .)(h o B.)(2h o C.)(3h o D.)(4h o 三、计算题1.求矛盾方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2423212121x x x x x x 的最小二乘解。
22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ϕ,由0,021=∂∂=∂∂x x ϕϕ得:⎩⎨⎧=+=+9629232121x x x x , 解得149,71821==x x 。
2.用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰211dx x,并估计误差。
⎰≈++++≈21697.0]217868581[81x dx , 9611612)(2=⨯≤M x R 。
3.用列主元消元法解方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++426453426352321321321x x x x x x x x x 。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1142242644223214264426453426352 回代得:Tx )1,1,1(-= 4.用雅可比迭代法解方程组:(求出)1(x)。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----131410*********x x x因为A为严格对角占优阵,所以雅可比法收敛。
雅可比迭代公式为:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=+=+++ ,1,0,)1(41)3(41)1(41)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1m x x x x x x x m m m m m m m 。
取T x )1,1,1()0(=计算得: T x )5.0,25.1,5.0()1(=。
5.用切线法求0143=+-x x 最小正根(求出1x )。
.因为0875.0)5.0(,01)0(<-=>=f f ,所以]5.0,0[*∈x ,在]5.0,0[上,06)(,043)(2≥=''<-='x x f x x f 。
由0)()(0≥''x f x f ,选00=x ,由迭代公式: ,1,0,4314231=-+--=+n x x x x x n n n n n 计算得:25.01=x 。
四、证明题1. 证明:若)(x f ''存在,则线性插值余项为:1010),)((!2)()(x x x x x x f x R <<--''=ξξ。
2. 对初值问题:⎩⎨⎧=-='1)0(10y yy ,当2.00≤<h 时,欧拉法绝对稳定。
1.设))()(()()()(),)()(()(10110x t x t x k t L t f t g x x x x x k x R ----=--=,有x x x ,,10为三个零点。
应用罗尔定理,)(t g ''至少有一个零点ξ,!2)()(,0)(!2)()(ξξξf x k x k f g ''==-''=''。
2.由欧拉法公式得:0~1~y y ohy y nn n --=-。
当2.00≤<h 时,则有00~~y y y y n n -≤-。
欧拉法绝对稳定。
练习题第2套参考答案 一、填空题1. 71828.2=e 具有3位有效数字的近似值是( 21102-⨯,)。
2.用辛卜生公式计算积分⎰≈+101x dx()。
3.设)()1()1(--=k ij k a A第k 列主元为)1(-k pk a ,则=-)1(k pka ( 21x =, )。
4.已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2415A ,则=1A ( ())(434)1(232)1(1313331m m m x a x a x a b a ---++ , )。
5.已知迭代法:),1,0(),(1 ==+n x x n n ϕ 收敛,则)(x ϕ'满足条件( 0()0f x > )。
二、单选题1.近似数21047820.0⨯=a 的误差限是( C )。
A.51021-⨯ B.41021-⨯ C.31021-⨯ D.21021-⨯ 2.矩阵A满足( .D ),则存在三角分解A=LR 。
A .0det ≠A B. )1(0det n k A k <≤≠ C.0det >A D.0det <A3.已知Tx )5,3,1(--=,则=1x( B )。
A.9 B.5 C.-3 D.-54.已知切线法收敛,则它法具有( .A )敛速.A.线性 B.超线性 C.平方 D.三次 5.设)}({x P k 为勒让德多项式,则=))(),((53x P x P ( B )。
A.52 B.72 C.92D.112三、计算题1.已知)(x f 数表:求抛物插值多项式,并求)5.0(f 近似值。
利用反插值法得211(0)(0)(04)(04)(02) 1.75224f N ==⨯+-⨯++=2.已知数表:求最小二乘一次式。
由方程组:01014648614102a a a a +=⎧⎨+=⎩,解得:013,6a a ==,所以x x g 63)(*1+=。
3.已知求积公式:)21()0()21()(21110f A f A f A dx x f ++-≈⎰-。
求210,,A A A ,使其具有尽可能高代数精度,并指出代数精度。
10118881[]0.4062282910113dx I x =≈++++≈+⎰,21|()|0.001321216768M R f ≤=≈⨯ 。
4.用乘幂法求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=410131014A 的按模最大特征值与特征向量。
因为2211123,1,4a a a πθ====1002222310400013000302222003002001001A ⎡⎤⎤-⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以:1122334,,223,(0,1,0)2,(22TTT X X X λλλ======-5.用予估-校正法求初值问题:⎩⎨⎧=-='1)0(2y yx y 在4.0)2.0(0=x 处的解。
应用欧拉法计算公式:n n n y x y 1.12.01+=+ ,1,0=n ,10=y 。
计算得121.1, 1.23y y ==。
四、证明题1.设)(A ρ是实方阵A的谱半径,证明:A A ≤)(ρ。
1. 因为A=(A-B)+B,A A B B ≤-+, 所以A B A B -≤-,又因为B=(B-A)+A, B B A A ≤-+ 所以B A B A A B -≤-=-B A A B -≤-2.证明:计算)0(>a a 的单点弦法迭代公式为:nn n x c acx x ++=+1, ,1,0=n 。
50x a -=的实根,将54(),'()5f x x a f x x =-=代入切线法迭代公式得:51441(4),0,1,...55n n n n n nx a ax x x n x x +-=-=+=。
《计算方法》练习题二练习题第3套参考答案 一、填空题1.近似数30.6350010a =⨯的误差限是(210- )。
2.设|x|>>1,=( ()1G ρ<, ),计算更准确。
3.用列主元消元法解:121223224x x x x +=⎧⎨+=⎩,经消元后的第二个方程是(111n n n n x x an x x x --+++=),2,1( =n , )。
4.用高斯—赛德尔迭代法解4阶方程组,则(1)3m x += ( 1.2, )。
5.已知在有根区间[a,b]上,'(),''()f x f x 连续且大于零,则取0x 满足( 2(,)22n n n nf x y k ++ ),则切线法收敛。
二、选择题1.已知近似数a 的()10/0r a ε=,则3()r a ε=( c )。
A. 10/0B. 20/0C. 30/0D. 40/0 2.设{()}K T X 为切比雪夫多项式,则22(().())T X T X =(b )。
A.0 B4π. C.2πD. π 3.对6436A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦直接作三角分解,则22r =( d )。
A. 5 B. 4 C.3 D. 24.已知A=D-L-U ,则雅可比迭代矩阵B=( c )。
A. 1()D L U -+ B. 1()D L U -- C. 1()D L U -- D. 1()D U L -- 5.设双点弦法收敛,则它具有( a )敛速。
A. 线性B.超线性C.平方D. 三次 三、计算题1. 已知()f x 数表用插值法求()0f x =在[0,2]的根。
3sin 0.5828510π≈≈,22()0.5821052400R π-≤≈⨯。
2.已知数表求最小二乘一次式。
2.222(,)(4)(3)(26)x y x y x y x y ϕ=+-+--+--,由0,0x yϕϕ∂∂==∂∂ 得6219235x y x y -=⎧⎨-=⎩,解得:474,147x y ==。
3.用n=4的复化辛卜生公式计算积分102dxx +⎰,并估计误差。
3.由221110482n -≤⨯解得3n ≥,取n=3, 复化梯形公式计算得:1011661[]0.4067262783dx x ≈+++≈+⎰。