北京工业大学经管学院期末试卷《离散数学》（A）学号姓名：成绩一、单项选择题（每题2分，共18分）1．令P：今天下雪了，Q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不．滑”可符号化为（D）A．P→Q B．P∨QC．P∧Q D．P∧Qp→q，蕴涵式，表示假设、条件、“如果，就”。

“→”与此题无关2. 关于命题变元P和Q的极大项M1表示( C )。

书P1520，此题换作p、q更容易理解A.┐P∧QB.┐P∨Q p∨┐q 01 1 M1∨┐Q∧┐Q3.设R（x）：x是实数；S（）：x小于y。

用谓词表达下述命题：不存在最小的实数。

其中错误的表达式是：（D）4.在论域{}中与公式（x∃）A（x）等价的不含存在量词的公式是（B）A.)b()a(A∨AA)a(A∧ B. )b(C. )b()b(A→AA)a(A→ D. )a(5．下列命题公式为重言式的是（C）A．Q→（P∧Q）B．P→（P∧Q）C．（P∧Q）→P D．（P∨Q）→Q牢记→真假条件，作为选择题可直接代入0、1，使选项出现1→0，排除。

熟练的可直接看出C不存在1→0的情况6. 设｛1，2，3｝，｛｝，下列二元关系R为A到B的函数的是( A )A. ｛<1>,<2>,<3>｝B. ｛<1>,<2>｝C. ｛<1>,<1>,<2>,<3>｝D. ｛<1>,<2>,<3>,<1>｝7.偏序关系具有性质（D）背A.自反、对称、传递B.自反、反对称C.反自反、对称、传递D.自反、反对称、传递8.设R 为实数集合，映射:,R R σ→2()21,x x x σ=-+-则σ 是( D ).(A) 单射而非满射 (B) 满射而非单射 (C) 双射 (D) 既不是单射也不是满射. 书P96.设函数f ：A→B（1）若，则f 是满射的【即值域为B 的全集，在本题中为R ，该二次函数有最高点，不满足】（2）若对于任何的x 12∈A , x 1≠x 2,都有f(x 1)≠f(x 2)，则称f 是单射的【即真正一一对应，甚至不存在一个y 对应多个x 。

显然，本题为二次函数，不满足】（3）若f 既是满射的，又是单射的，则称f 是双射的【本题中两个都不满足，既不是单射也不是满射】二、填空题（每空2分，共22分）１.设Q 为有理数集，笛卡尔集×Q ，*是S 上的二元运算，∀<a, b>,<x, y>∈S,<a, b>*<x, y>=<, >, 则*运算的幺元是<1,0>。

∀<a, b>∈S, 若a≠0，则<a, b>的逆元是<1>。

书P123定义２.在个体域D 中，公式)x (xG ∀的真值为假当且仅当某个G(x)的真值为假，公式)x (xG ∃的真值为假，当且仅当所有G(x)的真值都为假。

３.给定个体域为整数域，若F （x ）：表示x 是偶数，G （x ）：表示x 是奇数；那么，)x (G )x ()x (F )x (∃∧∃是一个 永真式 ；而))x (G )x (F )(x (∧∃是一个 永假式 。

４.设{}{}===)R (r ,c ,b ,b ,a R A ,c ,b ,a A 则上的二元关系　{<>,<>,<>,<>,<>,<>} ；s(R)= {<>,<>,<>,<>} 。

书P89、P85.自反闭包：r(R) = R U R 0={<>,<>} U {<>,<>,<>,<>} ={<>,<>,<>,<>,<>,<>}对称闭包：s(R) = R U R -1 = {<>,<>} U {<>,<>} = {<>,<>,<>,<>}传递闭包：t(R) = 2 3U……５. 设{1,2,3}{}，则从X 到Y 的不同的函数共有8个.书P96，B 上A 的概念：设Ａ、Ｂ为集合，所有从Ａ到Ｂ的函数构成集合ＢA ，读作“B 上A”如果 = m ， = n ，m 、n 不全是0，则 =即，若题中给出集合A 有m 个元素，B 有n 个元素，可直接用 计算出A 到B 的函数个数。

本题中为23 = 8６.设,,G 是群*∈，则（1）-1= a ，（*）-1= 1 * 1 。

书P139公式7. 设{1，2，3}，f ：X→X ，g ：X→X ，{<1, 2>,<2,3>,<3,1>},{<1,2>,<2,3>,<3,3>}，则ο{<1,3>,<2,1>,<3,1>}，ο{<1,3>,<2,3>,<3,2>}。

书P82-83合成：ο = {<>∧}需要说明的是，这里的合成ο是左复合，即G 先作用，然后将F 复合到G 上。

之前的答案“有误”，因为采用了右复合。

这两种合成定义所计算的合成结果是不相等的，但两个定义都是合理的，只要在体系内部采用同样的定义就可以了。

总之，在咱们的离散里牢记左复合。

三、计算题（每题9分，共36分）1. 设集合A ＝{1, 2, 3,4,5}，A 上的关系R ＝{<1, 1>,<1, 2>,<2, 2>,<3, 2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}(1) 画出R 的关系图；(2) 问R 具有关系的哪几种性质(自反、对称、传递、反对称).自反性、传递性书P87表格，根据关系图可直接判断性质……(3) 给出R 的传递闭包。

{<1, 1>,<1, 2>,<2, 2>,<3, 2>,<3, 3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}R 2 = ο = {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}R 3 = R 2οR = {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>} ……所以，t(R) = {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}2. 集合{}上的二元运算*的运算表如下，求出它的幺元，零元，及逆元。

* a b c d ea b a c c cb a bcd ec c c c c cd e d c b ae d e c d b幺元：b零元：c逆元：1 1 , 1 1书P123定义3．求合式公式→((P→Q)∧┐(┐Q∨┐P))的主析取范式及成真赋值。

A = P→((┐P∨Q)∧(Q∧P))= P→((┐P∨Q)∧(Q∧P))= P→((┐P ∧Q∧P)∨(Q∧Q∧P))= P→(Q∧P)= ┐P∨(Q∧P)= (┐P∧(Q∨┐Q))∨(Q∧P)= (∧Q)∨(┐P∧┐Q)∨(P∧Q)= (┐P∧┐Q)∨(┐P∧Q)∨(P∧Q)= m0∨m1∨m3成真赋值为00，01，114．求在1到1000000之间有多少个整数既不是完全立方数，也不是完全平方数？完全平方数的个数：10002 =1000000，所以有1000个（即1到1000）完全立方数的个数：1003 =1000000，所以有100个（即1到100）既是完全平方数又是完全立方数的重复部分：106 =1000000，所以有10个（即16到106）所以既不是完全立方数，也不是完全平方数的整数有：1000000-(1000+100-10) = 998910四、证明题（每题8分，共24分）1．若公司拒绝增加工资，则罢工不会停止，除非罢工超过三个月且公司经理辞职。

公司拒绝增加工资，罢工又刚刚开始。

罢工是否能停止？（给出相应推理的证明过程）2．给出关系不满足对称性的条件并证明。

∃<>∈R∧<>∉R⇔∃<>∈R∧<>∉R⇔┐∀(<>∈R∧<>∈R)3．如果关系R和S为X上的等价关系，证明：R∩S也是X上的等价关系。

(1)自反设∀x∈X【推<>∈R∩S】∵R和S为X上的等价关系∴R和S均为X上的自反关系∵x∈X∴<>∈R, <>∈S∴<>∈R∩S∴R∩S在X上是自反的(2)对称设∀<>∈R∩S【推<>∈R∩S】∵<>∈R∩S∴<>∈R,<>∈S∵R和S为X上的等价关系∴R和S均为X上的对称关系∴<>∈R,<>∈S∴<>∈R∩S∵此时<>∈R∩S∴R∩S在X上是对称的【<>∈R∩S时，必有<>∈R∩S】(3)传递设∀<>∈R∩S，∀<>∈R∩S【推<>∈R∩S】∵<>∈R∩S∴<>∈R,<>∈S∵<>∈R∩S∴<>∈R,<>∈S∵R和S为X上的等价关系∴R和S均为X上的传递关系∴<>∈R,<>∈S∴<>∈R∩S∵此时<>∈R∩S，<>∈R∩S∴R∩S在X上是传递的【<>∈R∩S，<>∈R∩S时，必有<>∈R∩S】综上所述，R∩S在X上是自反、对称、传递的∴R∩S为X上的等价关系书P90等价关系：自反、对称、传递偏序关系：自反、反对称、传递因此要证明某关系在非空集合上是等价关系或偏序关系，一般需分为三个性质分别证明，同时，题目条件中若给出等价关系或偏序关系，也可分为三部分选择使用。