（2） (1 x)n 1 Cn1x L Cnr xr L xn .
2．二项展开式的通项公式： T C a b r1
r nr r n
新疆 王新敞
奎屯
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3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对 r 的限制；求有理项时要注意到指数及
项数的整数性 新疆 王新敞 奎屯
二、讲解新课： 1 新疆 二项式系数表（杨辉三角）
§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质
教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图 1－5－1 提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合 情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 新疆
即 0 (Cn0 Cn2 L ) (Cn1 Cn3 L ) ， ∴ Cn0 Cn2 L Cn1 Cn3 L ，
即在 (a b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
说明：由性质（3）及例 1 知 Cn0 Cn2 L Cn1 Cn3 L 2n1 .
例 2．已知 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 L a7 x7 ，求： （1） a1 a2 L a7 ； （2） a1 a3 a5 a7 ； （3） | a0 | | a1 | L | a7 | . 解：（1）当 x 1 时， (1 2x)7 (1 2)7 1，展开式右边为
②
①②
得： 2(a1 a3 a5 a7 ) 1 37 ，∴
a1
a3
a5
a7
1 37 2
.
（3）由展开式知： a1, a3, a5 , a7 均为负， a0 , a2 , a4 , a8 均为正， ∴由（2）中①+② 得： 2(a0 a2 a4 a6 ) 1 37 ，
∴
a0
a2
a0 a1 a2 L a7
∴ a0 a1 a2 L a7 1 ，
当 x 0 时， a0 1，∴ a1 a2 L a7 11 2 ，
（2）令 x 1 ， a0 a1 a2 L a7 1
①
令 x 1 ， a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 37
a4
a6
1 37 2
，
∴| a0 | | a1 | L | a7 | a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
(a0 a2 a4 a6 ) (a1 a3 a5 a7 ) 37
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例 3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10 展开式中 x3 的系数新疆 王新敞 奎屯 解： (1 x) (1 x)2 L（1 x）10 (1 x)[1 (1 x)10 ] 1 (1 x)
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教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 新疆 王新敞 奎屯
授课类型：新授课 新疆 王新敞 奎屯
课时安排：2 课时 新疆 王新敞 奎屯
教学过程： 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例：
（1） (a b)n Cn0an Cn1anb L Cnr anrbr L Cnnbn (n N ) ，
例 5.已知 (
x2Biblioteka )n的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为
14；3，求展开式的常数项 新疆 王新敞
x2
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解：依题意
C
4 n
:
C
2 n
14
:
3
3C
4 n
14C
2 n
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!
n
k k
1
，
∴
Cnk
相对于
C k 1 n
的增减情况由
n
k k
1
决定，
n
k k
1
1
k
n
1 2
，
当 k n 1 时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 2
n
n1
n1
当 n 是偶数时，中间一项 Cn2 取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项 Cn 2 ， Cn 2 取得最大值．
定义域是{0,1, 2,L , n} ，例当 n 6 时，其图象是 7 个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵ Cnm Cnnm ）．
直线 r n 是图象的对称轴． 2
（2）增减性与最大值．∵ Cnk
n(n 1)(n 2)L k!
(n
k
1)
C k 1 n
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(a b)n 展开式的二项式系数，当 n 依次取1, 2, 3 …时，二项式系数表，表中每
行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
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2．二项式系数的性质：
(a b)n 展开式的二项式系数是 Cn0 ， Cn1 ， Cn2 ，…， Cnn ． Cnr 可以看成以 r 为自 变量的函数 f (r)
( x 1)11 ( x 1)
=
，
x
x x C ∴原式中 3 实为这分子中的
4 ，则所求系数为
7 11 新疆
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例 4.在(x2+3x+2)5 的展开式中，求 x 的系数新疆 王新敞 奎屯 解：∵ (x 2 3x 2)5 (x 1)5 (x 2)5 ∴在(x+1)5 展开式中，常数项为 1，含 x 的项为 C15 5x ， 在(2+x)5 展开式中，常数项为 25=32，含 x 的项为 C15 24 x 80x ∴展开式中含 x 的项为 1 (80x) 5x(32) 240x ， ∴此展开式中 x 的系数为 240新疆 王新敞 奎屯
（3）各二项式系数和：
∵ (1 x)n 1 Cn1x L Cnr xr L xn ，
令 x 1 ，则 2n Cn0 Cn1 Cn2 L
Cnr L
Cnn
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三、讲解范例：
例
1．在
(a
b)n
的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 新疆 王新敞
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证明：在展开式 (a b)n Cn0an Cn1anb L Cnr anrbr L Cnnbn (n N ) 中，令 a 1, b 1 ， 则 (11)n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 L (1)n Cnn ，