翻折问题•解答题（共1小题）1. （2014?西城区一模）阅读下列材料：问题：在平面直角坐标系xOy中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置.已知OB=10 ,BC=6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD （含端点）交于点E,与边OB （含端点）或其延长线交于点F,求点A的坐标.折痕EF所在直线对应的函数表达式为：y=kx+n （k v 0, n%）,于是有E （0, n）, F （^,k0）,所以在Rt△ EOF中，得到tan/ OFE= - k，在Rt△ AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长（如图1）请回答：（1）如图1，若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标；（2）在图2中，已知点O落在边CD上的点A处，请画出折痕所在的直线EF （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；参考小明的做法，解决以下问题：（3）将矩形沿直线y= - -x+n折叠，求点A的坐标；（4）将矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出k的取值范围.考点：一次函数综合题.分析：（1）如图1，在Rt△ EOF中，得到tan/ OFE= - k，在Rt△ AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长；（2）作OA的中垂线即可；（3）如图，设直线y=-吉x+n，则E点的坐标为（0，n），F点的坐标为（2n，0），OE=n，OF=2n，由△ AEF ◎△ OEF 可知OE=AE=n，AF=OF=2n，由/ EAF=90。

可知/ 1+ / 3=90°从而求得/ 1 = / 2,得出△ DEA GAF所以詈愕，由FG=CB=6FA GF 解得DA=3，从而求得A点的坐标.（4）根据图象和矩形的边长可直接得出k的取值范围，小明在解决这个问题时发现：要求点A的坐标，只要求出线段AD的长即可，连接OA，设V八解解：（1）如图1若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标为（^3，6）；答：（2）如图所示:T EF 解析式为y= - —x+n ,E 点的坐标为(0, n ), /• OE=n••• F 点的坐标为(2n , 0), ••• OF=2n•/ △ AEF 与厶OEF 全等， • OE=AE=n ， AF=OF=2n •/ 点 A 在 DC 上，且/ EAF=90 ° • / 1 + / 3=90 ° 又•/ / 3+ / 2=90 ° • / 1 = / 2在厶DEA 与厶GAF 中，fZl=Z2ADE 二厶GF• △ DEAGAF (AA )AE_DA FA = GFFG=CB=6n_ DA6• DA=3• A 点的坐标为（3, 6）.(3)如图，过点F 作FG 丄DC 于GV八(4)- 1 g-丄.3•••矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边0B上，(1)当E点和D点重合时，k的值为-1，(2)当F点和B点重合时，k的值为-2;点评：这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会.2. （2015?杭州模拟）将弧BC沿弦BC折叠，交直径AB于点D,若AD=8 , DB=10，则BC的长是（）A . 6.7 B. 16 C. 2 巧D. 4.口考点：翻折变换（折叠问题）.分析：如图，作辅助线；首先运用圆周角定理的推论，证明AC=DC，此为解决该题的关键性结论；其次证明DE=4，进而得到BE=14 ;证明△ ABC为直角三角形，运用射影定理求出BC,即可解决问题.解答：解：如图，连接CD、AC ,过点C作CE丄AB于点E;••• W「，••• / CAB= / DCB+ / DBC ,•/ / ADC= / DCB+ / DBC ,•/ CAB= / ADC , AC=DC ;•/ CE丄AD ,•AE=DE=4 , BE=4+10=14 ;•/ AB为半圆的直径，•/ ACB=90 °由射影定理得：BC 2=AB ?BE ,•BC=6 . 故选A.点评：该题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质等几何知识点来分析、判断、解答.3. （2015?杭州模拟）如图，将正方形对折后展开（图④ 是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能得到一个直角三角形，且它的一个锐角等于30°这样的图形有（）考点：翻折变换（折叠问题）分析：如图②，首先运用翻折变换的性质、平行线的性质证明/ FBE= / EBG （设为a）,此为解题的关键性结论；再次证明/ ABD= / FBE= a,求出沪30°如图④，首先运用翻折变换的性质证明/ MAB=60 °求出/ BAC=60 °进而得到/ACB=,30°即可解决问题.解答: 解：如图②，由题意得：AD // CF, AC=BC•DF=BF , EF为直角△ BDE斜边上的中线，•EF=BF, / FBE=/ FEB ；而EF // BC,•/ FEB= / EBG , / FBE= / EBG （设为a）；由题意得：/ ABD= / FBE= a,而/ ABG=90 °二3a=90° 0=30 °如图④，由题意得：AN=AB=2AM , / AMB=90••• / ABM=30 ° / MAB=60 °i由题意得：/ NAC= / BAC=」’…=60 °2• / ACB=90 °- 60 °30 °综上所述，有一个锐角为30。

的直角三角形有两个,及其应用问题；牢固掌握翻折变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键.4. （2015?沂源县校级模拟）如图，对折矩形纸片ABCD，使BC与AD重合，折痕为EF,把纸片展平；再一次折叠纸片，使BC与EF重合，折痕为GH，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在GH上的点N处，并使折痕经过点B,折痕BM交GH于点I .若AB=4cm , 则GI 的长为（）主要考查了翻折变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点考点：翻折变换（折叠问题）.分析：如图，首先由翻折变换的性质证明BN=BA=4 , MN=MA （设为入）；由勾股定理求得BQ ^iS ;在直角△ MNP 中，由勾股定理列出关于 入的方程，求出X;运用△ BGI BAM ，列出关于 GI 的比例式，即可解决问题.解答：解：如图，分别过点 M 、N 作MP 丄GH 、NQ 丄BC 于点P 、Q ;贝U MP=AG=3 , NQ=BG=1 , GN=BQ , GP=MA ; 由题意得：BN=BA=4 , MN=MA （设为X ）, 由勾股定理得：BQ= ■ - -,••• PN= 一 ■- X;由勾股定理得:入J/（届-入）2, 解得：X ■';5 |由题意得：GI // AM , ••• △ BGI BAM , •里型丄• GI==g :45故选D .JIVJA£-UFGQC点评：该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点及其应用问题；解 题的关键是作辅助线，构造直角三角形，灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等知识 点来分析、判断、解答.7. （ 2014?路南区三模）如图， AB 是半圆O 的直径，且 AB=8 ,点C 为半圆上的一点，将 此半圆沿BC 所在的直线折叠，若圆弧 BC 恰好过圆心O ,则下列说法：C—mD .1 I ------ c m5①/ ABC=30 ° °②弧AC的长与弧OC的长相等;③弦BC的长为4 -;④阴影部分的面积是其中正确的个数是（A 9— A . 1考点：翻折变换（折叠问题）；弧长的计算；扇形面积的计算. 专题：计算题.分析：过点0作0D 丄BC 于E,交半圆0于D 点，连接CD ，如图，根据垂径定理由 0D 丄BC 得BE=CE ，再根据折叠的性质得到ED=EO ，则OE^OB ，则可根据含30度的直角2三角形三边的关系得 / OBC=30 °即/ ABC=30 °利用互余和等腰三角形的性质得 / BOD= / COD=60 °则可判断 △ OCD 为等边三角形，所以 / ODC=60 ° 然后根据弧长计算可计算出弧OC 的长 J n,弧AC 的长 j n,即弧AC 的长与弧OC [g 帀的长相等；在Rt △ OBC 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得 BE=. 1OE=2.「;， 则有BC=4 :;;由于OC=OB ，则弓形OC 的面积=弓形OB 的面积，然后根据扇形的 面积公式和S 阴影部分=S 扇形OAC 计算得到 ④ 正确.解答：解：过点O 作OD 丄BC 于E ,交半圆O 于D 点，连接CD ，如图，•/ OD 丄 BC , ••• BE=CE ,•••半圆O 沿BC 所在的直线折叠，圆弧 BC 恰好过圆心O , • ED=EO , • OE 』OB ,• / OBC=30 °即/ ABC=30 °所以①正确； • / BOD= / COD=60 ° , • △ OCD 为等边三角形， • / ODC=60 ° •弧 OC 的长= ="，•/ / AOC=60 °•弧AC 的长与弧OC 的长相等，所以 ②正确； 在 Rt △ OBC 中，OE=2, / OBE=30 ° ° • BE= -「；OE=2 ,• BC=2BE=4 .二,所以③ 正确； •/ OC=OB ,•弓形OC 的面积=弓形OB 的面积， •兀■梓 g• S 阴影部分=S 扇形OAC = … =二n,所以④ 正确.故选D .•弧AC 的长=180点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状 和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了弧长公式和扇形的面积公式. 二•解答题(共1小题)9. ( 2014?绵阳)如图1，矩形ABCD 中，AB=4 , AD=3，把矩形沿直线 AC 折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ,连接DE . (1) 求证：△ DEC ◎△ EDA ; (2 )求DF 的值；(3)如图2,若P 为线段EC 上一动点，过点 P 作厶AEC 的内接矩形，使其定点 Q 落在线 段AE 上，定点M 、N 落在线段AC 上，当线段PE 的长为何值时，矩形PQMN 的面积最大？考点：四边形综合题. 专题：压轴题.分析：(1)由矩形和翻折的性质可知AD=CE , DC=EA ,根据SSS”可求得△ DEC 也△ EDA ;(2) 根据勾股定理即可求得.(3) 由矩形PQMN 的性质得PQ // CA ，所以— -Hi,从而求得PQ ,由PN // EG , 得出丄=J ,求得PN ，然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得.|CE EG解答：(1)证明：由矩形和翻折的性质可知：AD=CE , DC=EA ,在厶ADE 与厶CED 中，AD=CE DE=EDDC=EA••• △ DEC ◎△ EDA ( SSS); (2)解：如图1,•/ / ACD= / BAC , / BAC= / CAE , • / ACD= / CAE , • AF=CF ,[设DF=x，贝U AF=CF=4 - x,在Rt△ ADF 中，AD 2+DF2=AF2,2 2即 3 +x = (4 - x) 解得：x=工，8即DF=t8(3)解：如图2,由矩形PQMN的性质得PQ// CA .・—CE~CA又••• CE=3,人0寸壮2+耳严=5设PE=x ( O v x v 3),则，即PQ=^ 3~ 5 3过E作EG丄AC于G ,贝U PN/ EG ,•世F_PN・CE= EG又 5 Rt△AEC中, EG?AC=AE?CE，解得EG=f设矩形PQMN的面积为S,2则S=PQ?PN= -22+4X= -£) +3 ( O v x v 3)3 3 2所以当x=：即PE』时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3.2 2点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理.3-xPN丁岂，5即PN丄(3 - x),C。