第三章 模型中误差项假定的诸问题第一节 广义最小二乘法前面的分析知道，多元线性回归的数学模型可以表示为：12233t t t k kt tY X X X ββββμ=+++⋅⋅⋅++（t=1,2,3,…,n ）其中t μ是随机误差项，它代表的是对于t Y 的变化，it X 不能解释的微小变动的全部。

用矩阵表示，则上述回归模型可以表示为：Y X U β=+其中，123n Y Y Y Y Y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭，123k βββββ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，213112232223111k k n nkn X X X X X X X X X X ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⎪= ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭，123n u u U u u ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭运用最小二乘准则，我们得到的参数的估计量为：()1''ˆX X X Y β-=对于随机误差项t μ，我们所做的假定有三个：零均值、同方差和非自相关。

这三个假定的矩阵表述为：()()()()()12300000n E u E u E U E u E u ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()()()()()11212122122222'2var cov ,cov ,cov ,var cov ,var cov ,cov ,var 100000001000000001000n n n n n u u uu n u u u u u u u u u u u U u u u u u I E UU σσσσσ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪= ⎪ ⎪⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 在上述假定条件下，我们得出的参数估计值具有最优线性无偏估计特性。

现实情况的偏离：1、随机扰动项均值不为零时，通过将随机扰动项与常数项结合，不会对估计产生影响。

2、同方差和非自相关假设不满足时，会对最小二乘估计产生重要影响。

因此，不满足假定条件的分析可以归结为同方差和非自相关的偏离。

用矩阵来表示为：()'2uE UUσ=Ω，其中，Ω为n 阶正定矩阵。

当正定对称矩阵已知时，可以通过对给出的模型做变换，使得变换后的模型满足标准线性回归模型的条件，进而，运用最小二估计准则，求出满足最优线性无偏估计特性的参数估计量。

假设有模型YX U β=+，其中随机扰动项不满足同方差和非自相关条件，即有()'2uE UU σ=Ω因此，不能直接用最小二乘估计准则进行估计。

现在，由于Ω为n 阶对称正定矩阵，故存在可逆矩阵D 使得下述式子成立：'DD Ω=对原有模型YX U β=+进行变换，即等式两边同时左乘矩阵1D -有：111Y X UD Y D X D U ββ---=+⇒=+令：111,,Y D Y X D X U D U ***---===。

从而，原有模型YX U β=+转换为：Y X U β***=+，新模型中的随机扰动项的协方差矩阵为：()()()()()()()()()()()()()'1111111212112111111''''''''''''u u u nn Var U E U U E D U D U E D UU D D E UU D D D D D I DD D D D DD D D D I σσσ***----------------=====Ω=Ω=⎛⎫Ω=⇒Ω= ⎪ ⎪⇒Ω=⎝⎭这样，就可以运用最小二乘法进行估计，并得出参数估计值：()1''ˆX X X Y β*-****=将111,,Y D Y X D X U D U ***---===代入得到： ()()()()()()()()()11''''11111'11'111'1'1ˆ''X X X Y D X D X D X D Y X DD XX D D YX X X Yβ*------****--------====ΩΩ因此，这里我们得出的ˆβ*称为参数的广义最小二乘估计量，很明显，ˆβ*具有最优线性无偏估计量特征。

上述在随机扰动项不满足假定条件的情况下，我们仍然能够得到参数的最优线性无偏估计量的关键是，误差项协方差矩阵 Ω已知，进而我们通过变换和处理使其化为满足假定条件的模型。

现实情况是误差项协方差矩阵 Ω未知。

因此，必须首先对Ω进行讨论。

第二节序列相关随机扰动项不满足同方差和非自相关条件，即有()'2u=ΩE UUσ。

如果Ω已知，我们仍然能够得到最优线性无偏估计量，在现实情况下，Ω通常未知，首先应该对其进行分析讨论。

因此，对随机扰动项假设不满足的条件的讨论分为两个方面：一个是同方差是否满足，一个是非自相关是否满足。

这两个方面用数学语言来说明，就是讨论误差项协方差矩阵Ω，因为，此矩阵上的主对角线上的元素是方差；非主对角线的元素是协方差，说明的就是误差项之间的关系。

本节先讨论误差项非自相关不满足的情况。

一、误差项之间产生序列相关的原因序列相关的定义：模型中随机误差项不满足关系式：()0Eμμ=t s这时称误差项之间存在着序列相关。

误差项存在自相关，主要有如下几个原因。

(1) 模型的数学形式不妥。

若所用的数学模型与变量间的真实关系不一致，误差项常表现出自相关。

比如平均成本与产量呈抛物线关系，当用线性回归模型拟合时，误差项必存在自相关。

(2) 惯性。

大多数经济时间序列都存在自相关。

其本期值往往受滞后值影响。

突出特征就是惯性与低灵敏度。

如国民生产总值，固定资产投资，国民消费，物价指数等随时间缓慢地变化，从而建立模型时导致误差项自相关。

(3) 回归模型中略去了带有自相关的重要解释变量。

若丢掉了应该列入模型的带有自相关的重要解释变量，那么它的影响必然归并到误差项u t 中，从而使误差项呈现自相关。

当然略去多个带有自相关的解释变量，也许因互相抵消并不使误差项呈现自相关。

二、序列相关存在时的回归分析结果与主要影响 1、序列相关的主要形式： 一阶自回归模型：1t t t t t tY X u u u αβρε-=++=+其中，t ε满足条件：()()()2200t tt s E E E εεεσεε===上述模型成为随机误差项的一阶自回归模型（？），是一种重要的自相关模型。

2、序列相关的表现形式：1t t t u u ρε-=+。

分三种情况：相关系数ρ的符号而定。

3、序列相关的回归分析()()12211221322312323123t t tt t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t u u u u u u u u u ρερρεεερερερερρεερερερερερερε--------------=+=++=++=+++=+++=++++又因为有：()()()2200t t t s E E E εεεσεε===所以有：()()231230t t t t t E u E ερερερε---=++++=()()()()231232222211t t t t t Var u Var εεερερερεσρρσρ---=++++=+++=-进一步，我们可以得到U 的协方差矩阵：212'221231...1...E() =........1n n uu n n n UU ρρρρρρσσρρρ-----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=Ω⎢⎥⎢⎥⎣⎦这里有()2221uεσσρ=-。

4、序列存在自相关时，如果继续采用最小二乘法，对模型的估计与检验到来以下的后果： 1、参数估计不再具有最小方差性；2、序列正相关时，即ρ为正值时，最小二乘法估计时的方差偏小，从而t 检验值变大，容易出现拒零假设，从而造成解释变量的人为保留，导致伪回归的危险增大。

3、t 检验和F 检验不能用。

三、序列自相关的检验 1、图示法图示法就是依据残差e t 对时间t 的序列图作出判断。

由于残差e t 是对误差项ut 的估计，所以尽管误差项u t 观测不到，但可以通过e t 的变化判断u t 是否存在自相关。

图示法的具体步骤是，(1) 用给定的样本估计回归模型，计算残差e t , (t = 1, 2, … T)，绘制残差图；(2) 分析残差图。

说明是属于：不存在自相关、存在正自相关、存在负自相关。

需要说明的是，经济变量由于存在惯性，所以经济变量的变化常表现为正自相关。

2、DW （Durbin-Watson ）检验法DW 检验是J. Durbin, G. S. Watson 于1950，1951年提出的。

它是利用残差e t 构成的统计量推断误差项u t 是否存在自相关。

使用DW 检验，应首先满足如下三个条件。

误差项u t 的自相关为一阶自回归形式。

因变量的滞后值y t-1不能在回归模型中作解释变量。

样本容量应充分大（T > 15） DW 检验步骤如下。

给出假设 H 0: ρ = 0 (u t 不存在自相关) H 1: ρ ≠ 0 (u t 存在一阶自相关) 用残差值 e t 计算统计量DW 。

21221()nt t t n t t e e DW e -==-=∑∑其中分子是残差的一阶差分平方和，分母是残差平方和。

把上式展开，得2211222212nnnt t t t t t t ntt e e e e DW e--====+-=∑∑∑∑.因为有2221221nnntt tt t t eee -===≈≈∑∑∑所以2111222221122222121nnnt t t t t t t t nn t t t t ee e e e DW ee ρ---∧===--==⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪≈=-=- ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭∑∑∑∑∑因为 ρ 的取值范围是 [-1, 1]，所以DW 统计量的取值范围是 [0, 4]。

ρ 与DW 值的对应关系见下表表 ρ 与DW 值的对应关系及意义ρ DWu t 的表现 ρ = 0 DW = 2 u t 非自相关 ρ = 1 DW = 0 u t 完全正自相关 ρ = -1 DW = 4 u t 完全负自相关0 < ρ < 1 0 < DW < 2 u t 有某种程度的正自相关 -1 < ρ < 02 < DW < 4u t 有某种程度的负自相关实际中DW = 0, 2, 4 的情形是很少见的。

当DW 取值在（0, 2），（2, 4）之间时，怎样判别误差项u t 是否存在自相关呢？推导统计量DW 的精确抽样分布是困难的，因为DW 是依据残差e t 计算的，而e t 的值又与x t 的形式有关。