二次函数知识点汇总一、二次函数概念：1 ．二次函数的概念 ： 一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。

这里需要 强调 ：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2 ． ⑵是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

的符号 开口方向 顶点坐标对称轴 性质向上轴时，随 的增大而增大；时， 随 的增大而减小；时， 有最小值 ．向下轴时， 随 的增大而减小；时， 随 的增大而增大；时， 有最大值 ．2. 的性质： （上加下减）的符号 开口方向 顶点坐标对称轴 性质向上轴时， 随 的增大而增大；时， 随 的增大而减小；时， 有最小值 ．向下轴时， 随 的增大而减小；时， 随 的增大而增大；时， 有最大值 ．3. 的性质： （左加右减） 的符号 开口方向 顶点坐标对称轴 性质向上X=h时， 随 的增大而增大；时， 随 的增大而减小；时， 有最小值 ．向下X=h时， 随 的增大而减小；时， 随 的增大而增大；时， 有最大值 ．4. 的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标对称轴 性质向上X=h时， 随 的增大而增大；时， 随 的增大而减小；时， 有最小值 ．向下X=h时， 随 的增大而减小；时， 随 的增大而增大；时， 有最大值 ．三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上 “ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移 ” ．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴沿轴平移 : 向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）四、二次函数 与 的比较从解析式上看， 与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ，其中．五、二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ， 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点 .六、二次函数的性质1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，，为常数，）；2. 顶点式：（，，为常数，）；3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然．⑴当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；⑵当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．2. 一次项系数在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．⑴在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．⑵在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；2. 关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；3. 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180 °）关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是．5. 关于点对称关于点对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1 . 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况 .图象与轴的交点个数：① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.② 当时，图象与轴只有一个交点；③ 当时，图象与轴没有交点 .当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．2 . 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 .抛物线与 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与 轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与 轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根 .⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 本身就是所含字母 的二次函数；下面以 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以 为自变量的二次函数 的图像经过原点， 则的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过 (0,3) ， (4,6) 两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。

4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线（a ≠ 0 ）与 x 轴的两个交点的横坐标是－ 1 、 3 ，与 y轴交点的纵坐标是－（ 1 ）确定抛物线的解析式；（ 2 ）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 .5 ．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例 1 （ 1 ）二次函数的图像如图 1 ，则点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（ 2 ）已知二次函数 y=ax 2 +bx+c （a ≠ 0 ）的图象如图 2 所示， • 则下列结论：① a 、 b 同号；②当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；③ 4a+b=0 ；④当 y=-2 时， x的值只能取 0. 其中正确的个数是（）A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个(1) (2)【点评】弄清抛物线的位置与系数 a ， b ， c 之间的关系，是解决问题的关键．例 2 . 已知二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象与 x 轴交于点 (-2 ， O) 、 (x 1 ， 0) ，且1<x 1 <2 ，与 y 轴的正半轴的交点在点 (O ， 2) 的下方．下列结论：① a<b<0 ；② 2a+c>O ；③ 4a+c<O ；④ 2a-b+1>O ，其中正确结论的个数为 ( )A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D ． 4 个答案： D会用待定系数法求二次函数解析式例 3 . 已知：关于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+c=3 的一个根为 x=-2 ，且二次函数y=ax 2 +bx+c 的对称轴是直线 x=2 ，则抛物线的顶点坐标为 ( )A(2 ， -3) B.(2 ， 1) C(2 ， 3) D ． (3 ， 2)答案： C例 4 、（ 2006 年烟台市）如图（单位： m ），等腰三角形 ABC 以 2 米 / 秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到 AB 与 CD 重合．设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 y m 2 ．（ 1 ）写出 y 与 x 的关系式；（ 2 ）当 x=2 ， 3.5 时， y 分别是多少？（ 3 ）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴 .例 5 、已知抛物线 y= x 2 +x- ．（ 1 ）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（ 2 ）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A 、 B ，求线段 AB 的长．【点评】本题（ 1 ）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（ 2 ）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．例 6 . 已知：二次函数 y=ax 2 -(b+1)x - 3a 的图象经过点 P(4 ， 10) ，交 x 轴于，两点，交 y 轴负半轴于 C 点，且满足 3AO=OB ．(1) 求二次函数的解析式； (2) 在二次函数的图象上是否存在点 M ，使锐角∠ MCO> ∠ ACO? 若存在，请你求出 M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．(1) 解：如图∵抛物线交 x 轴于点 A(x 1 ， 0) ， B(x2 ， O) ，则 x 1 · x 2 =3<0 ，又∵ x 1 <x 2 ，∴ x 2 >O ， x 1 <O ，∵ 30A=OB ，∴ x 2 =-3x 1 ．∴ x 1 · x 2 =-3x 1 2 =-3 ．∴ x 1 2 =1.x 1 <0 ，∴ x 1 =-1 ．∴． x 2 =3 ．∴点 A(-1 ， O) ， P(4 ， 10) 代入解析式得解得 a=2 b=3∴．二次函数的解析式为 y-2x 2 -4x-6 ．(2) 存在点 M 使∠ MC0< ∠ ACO ．(2) 解：点 A 关于 y 轴的对称点A ’ (1 ， O) ，∴直线 A ， C 解析式为 y=6x-6 直线 A'C 与抛物线交点为 (0 ， -6) ， (5 ， 24) ．∴符合题意的 x 的范围为 -1<x<0 或 O<x<5 ．当点 M 的横坐标满足 -1<x<O 或 O<x<5 时，∠ MCO> ∠ ACO ．例 7 、“已知函数的图象经过点 A （ c ，－ 2 ），求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3 。