习题课2 竖直面内的圆周运动一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型[导学探究] 如图1所示，长为L 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直面内做圆周运动．试分析：图1(1)当小球在最低点A 的速度为v 1时，求绳的拉力F T1. (2)当小球在最高点B 的速度为v 2时，求绳的拉力F T2. (3)小球过最高点的最小速度是多大？(4)假设绳拉球过最高点时最小速度小于gL ，则会产生什么样的后果？请总结绳拉球过最高点的条件．(5)有一竖直放置、内壁光滑的圆环，其半径为r ，质量为m 的小球沿它的内表面做圆周运动，分析小球在最高点A 的速度应满足什么条件？答案 (1)最低点：F T1＝mg ＋m v 21L(2)最高点：F T2＝m v 22L－mg(3)由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由F T2＋mg ＝m v 22L可知，当F T2＝0时，v 2最小，最小速度为v 0＝gL .(4)当v <gL 时，所需的向心力F n ＝m v 2L <mg .此时，重力mg 的一部分提供向心力，剩余的另一部分力会使小球向下偏离圆周轨道，即小球此时不能过最高点做圆周运动，这之前已经脱离圆周轨道了．绳拉球过最高点的条件是：v ≥gL .(5)与绳拉球模型相似，如图所示，在最高点A 时，有F N ＋mg ＝m v 2r ，当F N ＝0时，v 最小为v 0＝gr ，当v ＝v 0时，小球刚好能够通过最高点，当v <v 0时，球偏离轨道，不能过最高点．当v >v 0时，小球能够通过最高点．[知识深化] 轻绳模型(如图2所示)的最高点问题图21．绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力)． 2．在最高点的动力学方程F T ＋mg ＝m v 2r.3．在最高点的临界条件为F T ＝0，此时mg ＝m v 2r ，则v ＝gr .v ＝gr 时，拉力或压力为零． v >gr 时，小球受向下的拉力或压力． v <gr 时，小球不能达到最高点． 即轻绳模型的临界速度为v 临＝gr .例1 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，水的质量m ＝0.5 kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50 cm.(g 取10 m/s 2)图3(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位小数) (2)若在最高点水桶的速率v ＝3 m/s ，求水对桶底的压力大小． 答案 (1)2.24 m/s (2)4 N解析 (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小． 此时有：mg ＝m v 20l，则所求的最小速率为：v 0＝gl ≈2.24 m/s.(2)此时桶底对水有向下的压力，设为F N ，则由牛顿第二定律有：F N ＋mg ＝m v 2l ，代入数据可得：F N ＝4 N.由牛顿第三定律，水对桶底的压力：F N ′＝4 N.针对训练 如图4所示，用长为l 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )图4A ．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B ．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C ．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为glD ．小球过最低点时绳子的拉力可以小于小球重力 答案 C解析 小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A 错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则绳子的拉力为零，B 错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v ＝gl ，C 正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D 错误． 二、竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型[导学探究] 长为L 的轻杆一端固定着一质量为m 的小球，使小球在竖直面内做圆周运动．(如图5，重力加速度为g )图5(1)当小球在最高点B 的速度大小为v 1 时，求杆对球的作用力． (2)杆拉球过最高点的最小速度为多少？(3)试分析光滑圆管竖直轨道中(轨道半径为R )，小球过最高点时受管壁的作用力与速度大小的关系？答案 (1)以竖直向下为正方向，设杆对球的作用力为F ，则有mg ＋F ＝m v 21L则F ＝m v 21L－mg当v 1＝gL 时，F ＝0当v 1>gL 时，F >0，表示杆对球的作用力方向向下，表现为拉力． 当0＜v 1<gL 时，F <0，表示杆对球的作用力方向向上，表现为支持力． (2)由(1)中的分析可知，杆拉球过最高点的最小速度为零． (3)以竖直向下为正方向，设管壁对球的作用力为F N .则有F N ＋mg ＝m v 2R即F N ＝m v 2R －mg当v ＝gR 时，F N ＝0，当v >gR 时，F N >0，即上管壁对球有向下的压力；当0<v <gR 时，F N <0，即F N 竖直向上，下管壁对球有向上的支持力． [知识深化] 轻杆和管道模型 1．最高点的最小速度如图6所示，轻杆上固定的小球和管道内运动的小球，由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v ＝0，此时小球受到的支持力F N ＝mg .图62．小球通过最高点时，杆或管道对小球的弹力情况(1)v >Rg ，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，F 随v 增大而增大． (2)v ＝Rg ，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F ＝0.(3)0<v <Rg ，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，F 随v 的增大而减小． 3．小球能过最高点的条件：v ＝0.例2 长L ＝0.5 m 的轻杆，其一端连接着一个零件A (可视为质点)，A 的质量m ＝2 kg.现让A 在竖直平面内绕O 点做匀速圆周运动，如图7所示．在A 通过最高点时，求下列两种情况下A 对杆的作用力大小(g ＝10 m/s 2)．图7(1)A 的速率为1 m/s ； (2)A 的速率为4 m/s. 答案 (1)16 N (2)44 N解析 以竖直向下为正方向，并以A 为研究对象，设其受到杆的作用力为F ， 则有mg ＋F ＝m v 2L.(1)代入数据v 1＝1 m/s ，可得F ＝m (v 21L －g )＝2×(120.5－10) N ＝－16 N ，即A 受到杆的支持力为16 N ．根据牛顿第三定律可得A 对杆的作用力为压力，大小为16 N.(2)代入数据v 2＝4 m/s ，可得F ′＝m (v 22L －g )＝2×(420.5－10) N ＝44 N ，即A 受到杆的拉力为44 N ．根据牛顿第三定律可得A 对杆的作用力为拉力，大小为44 N.例3 如图8所示，半径为L 的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P 时的速度为v ，则( )图8A ．v 的最小值为gLB ．v 若增大，球所需的向心力也增大C ．当v 由gL 逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小D ．当v 由gL 逐渐增大时，轨道对球的弹力逐渐减小 答案 B解析 由于小球在圆管中运动，故最高点速度可为零，A 错误；根据向心力公式有F n ＝m v 2r ，v 若增大，球所需的向心力一定增大，B 正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v ＝gL 时，轨道对小球的作用力为零，故v 由gL 逐渐减小时，轨道对球的弹力增大，C 错误；v 由gL 逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大，D 错误．故选B.1. (轻绳作用下物体的运动)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m 的轻绳的一端，系一个连同水的总质量为m ＝0.5 kg 的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图9所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s ，则下列说法正确的是(g ＝10 m/s 2) ( )图9A ．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B ．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C ．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D ．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 答案 B解析 水流星在最高点的临界速度v ＝gL ＝4 m/s ，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B.2．(轨道约束下小球的运动)如图10所示，过山车的轨道可视为竖直平面内半径为R 的圆轨道．质量为m 的游客随过山车一起运动，当游客以速度v 经过圆轨道的最高点时( )图10A ．处于超重状态B ．向心加速度方向竖直向下C ．速度v 的大小一定为gRD ．座位对游客的作用力为m v 2R答案 B解析 游客经过最高点时，加速度方向竖直向下．处于失重状态，A 错，B 正确；由牛顿第二定律得F N ＋mg ＝m v 2R，分析知C 、D 错误．3．(球在管形轨道中的运动)如图11所示，小球m 在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是( )图11A ．小球通过最高点时的最小速度是RgB ．小球通过最高点时的最小速度为零C ．小球在最高点时，管道只能对小球产生向上的作用力D ．小球在最高点时，管道只能对小球产生向下的作用力 答案 B解析 圆形管道外侧、内侧都可以对小球产生弹力，小球在最高点时管道既可对小球产生向上的作用力，也可产生向下的作用力，小球最小速度可以是零，故B 正确．4．(杆拉球在竖直面内的运动)质量为0.2 kg 的小球固定在长为0.9 m 的轻杆一端，杆可绕过另一端O 点的水平轴在竖直平面内转动．(g ＝10 m/s 2)求： (1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？(2)当小球在最高点的速度分别为6 m /s 和1.5 m/s 时，球对杆的作用力． 答案 (1)3 m/s (2)6 N ，方向竖直向上 1.5 N ，方向竖直向下解析 (1)当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mg ＝m v 20R，解得v 0＝3 m/s.(2)v 1＞v 0，由牛顿第二定律得：mg ＋F 1＝m v 21R ，由牛顿第三定律得：F 1′＝F 1，解得F 1′＝6 N ，方向竖直向上．v 2＜v 0，由牛顿第二定律得：mg －F 2＝m v 22R，由牛顿第三定律得：F 2′＝F 2，解得：F 2′＝1.5 N ，方向竖直向下．课时作业一、单选题1．长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v 0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点．则下列说法中正确的是( ) A ．小球过最高点时速度为零B ．小球开始运动时绳对小球的拉力为m v 20LC ．小球过最高点时绳对小球的拉力为mgD ．小球过最高点时速度大小为gL 答案 D2．秋千的吊绳有些磨损，在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千( ) A ．在下摆过程中 B ．在上摆过程中 C ．摆到最高点时 D ．摆到最低点时答案 D解析 当秋千摆到最低点时速度最大，由F －mg ＝m v 2l 知，吊绳中拉力F 最大，吊绳最容易断裂，选项D 正确．3．手握绳的一端，绳的另一端系着盛有水的小水桶，使该水桶在竖直平面内做圆周运动，如图1所示．在水桶经过最高点时( )图1A ．速度一定为零B ．水和桶均不受重力C ．因桶口朝下，必有水流出D ．虽桶口朝下，但水不会流出 答案 D4．如图2所示，质量为m 的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动．圆环半径为R ，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是( )图2A ．小球对圆环的压力大小等于mgB ．重力mg 充当小球做圆周运动的向心力C ．小球的速度大小等于零D ．小球的向心加速度大于g 答案 B解析 因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A 错误；此时小球只受重力作用，即重力mg 充当小球做圆周运动的向心力，满足mg ＝m v 2R＝ma n ，即v ＝gR ，a n ＝g ，选项B 正确，C 、D 错误．5.如图3所示，长为l 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v ，下列说法不正确的是( )图3A ．v 的最小值为glB ．v 由零逐渐增大，向心力也增大C ．当v 由gl 逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大D ．当v 由gl 逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大 答案 A解析 由于是轻杆，即使小球在最高点速度为零，小球也不会掉下来，因此v 的最小值是零，A 错；v 由零逐渐增大，由F n ＝m v 2l 可知，F n 也增大，B 对；当v ＝gl 时，F n ＝m v 2l＝mg ，此时杆恰对小球无作用力，向心力只由其自身重力提供；当v 由gl 逐渐增大时，则m v 2l ＝mg＋F ，故F ＝m v 2l －mg ，杆对球的力为拉力，且逐渐增大；当v 由gl 逐渐减小时，杆对球的力为支持力，此时，mg －F ′＝m v 2l ，F ′＝mg －m v 2l ，支持力F ′逐渐增大，杆对球的拉力、支持力都为弹力，所以C 、D 也对，故选A.6.如图4所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R ，人体重为mg ，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )图4A ．0 B.gR C.2gR D.3gR答案 C解析 由题意知F ＋mg ＝2mg ＝m v 2R，故速度大小v ＝2gR ，C 正确．7．如图5所示，质量为m 的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端点O 做圆周运动．当小球运动到最高点时，即时速度为v ＝ 12Lg ，L 是球心到O 点的距离，则球对杆的作用力为( )图5A.12mg 的拉力 B.12mg 的压力 C ．零 D.32mg 的压力 答案 B解析 当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg ＝m v ′2R，解得：v ′＝gL ，所以 12gL <gL 时，杆对球是支持力，即mg －F N ＝m v 2L ，解得F N ＝12mg ，由牛顿第三定律得，球对杆是压力，故选B.8．某飞行员的质量为m ，驾驶飞机在竖直面内以速度v 做匀速圆周运动，圆的半径为R ，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对飞机的作用力在最低点比最高点大( )A ．mgB ．2mgC ．mg ＋m v 2RD ．2m v 2R答案 B解析 在最高点有：F 1＋mg ＝m v 2R ，解得：F 1＝m v 2R －mg ；在最低点有：F 2－mg ＝m v 2R，解得：F 2＝mg ＋m v 2R.所以F 2－F 1＝2mg ，B 正确． 9.如图6所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R . 现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v 0，则下列说法中错误的是( )图6A ．若v 0＝gR ，则小球对管内壁无压力B ．若v 0>gR ，则小球对管内上壁有压力C ．若0 <v 0<gR ，则小球对管内下壁有压力D ．不论v 0多大，小球对管内下壁都有压力答案 D解析 在最高点，只有重力提供向心力时，由mg ＝m v 20R解得v 0＝gR ，此时小球对管内壁无压力，选项A 正确．若v 0＞gR ，则有mg ＋F N ＝m v 20R，表明小球对管内上壁有压力，选项B 正确．若0＜v 0＜gR ，则有mg －F N ＝m v 20R，表明小球对管内下壁有压力，选项C 正确．综上分析，选项D 错误，故选D.10.半径为R 的光滑半圆球固定在水平面上(如图7所示)，顶部有一小物体A ，现给它一个水平初速度v 0＝Rg ，则物体将( )图7A ．沿球面下滑至M 点B ．沿球面下滑至某一点N ，便离开球面做斜下抛运动C ．沿半径大于R 的新圆弧轨道做圆周运动D ．立即离开半圆球做平抛运动答案 D解析 当v 0＝gR 时，所需向心力F n ＝m v 20R＝mg ，此时，物体与半球面顶部接触但无弹力作用，物体只受重力作用，故做平抛运动．二、非选择题11．如图8所示，长为L ＝0.5 m 的轻杆OA 绕O 点在竖直平面内做匀速圆周运动，A 端连着一个质量m ＝2 kg 的小球，g 取10 m/s 2.图8(1)如果小球的速度为3 m/s ，求在最低点时杆对小球的拉力为多大．(2)如果在最高点杆对小球的支持力为4 N ，求杆旋转的角速度为多大．答案 (1)56 N (2)4 rad/s解析 (1)小球在最低点受力情况如图甲所示：合力等于向心力：F A －mg ＝m v 2L解得：F A ＝56 N(2)小球在最高点受力情况如图乙所示：则：mg －F B ＝mω2L解得：ω＝4 rad/s.12．在杂技节目“水流星”的表演中，碗的质量m 1＝0.1 kg ，碗内部水的质量m 2＝0.4 kg ，拉碗的绳子长l ＝0.5 m ，使碗在竖直平面内做圆周运动，如果碗通过最高点的速度v 1＝9 m /s ，g ＝10 m/s 2，求碗在最高点时绳的拉力大小及水对碗的压力大小．答案 76 N 60.8 N解析 对水和碗：m ＝m 1＋m 2＝0.5 kg ，F T1＋mg ＝m v 21l ，F T1＝m v 21l－mg ＝⎝⎛⎭⎫0.5×810.5－0.5×10N ＝76 N ，以水为研究对象，设最高点碗对水的压力为F 1，则F 1＋m 2g ＝m 2v 21l，解得F 1＝60.8 N ，水对碗的压力F 1′＝F 1＝60.8 N ，方向竖直向上．。