相似三角形的存在性（讲义）
知识点睛
1.存在性问题的处理思路
①分析不变特征
分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征．
②分类、画图
结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类，画出符合题意的图形．
通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．
③求解、验证
围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．
注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.相似三角形的存在性不变特征及特征下操作要点举例：
一般先从角（不变特征）入手，分析对应关系后，作出符合题意图形，再借助不变特征和对应边成比例列方程求
解．常见特征如一组角对应相等，这一组相等角顶点为确定对应点，结合对应关系分类后，作出符合题意图形，一般利用对应边成比例列方程求解．
精讲精练
1.如图，将长为8cm，宽为5cm的矩形纸片ABCD折叠，使
点B落在CD边的点E处，压平后得到折痕MN，点A的对称点为点F，CE=4cm．若点G是矩形边上任意一点，则当△ABG与△CEN相似时，线段AG的长为．
2.如图，抛物线y=-1x2+10x-8经过A，B，C三点，BC⊥OB，
33
AB=BC，过点C作CD⊥x轴于点D．点M是直线AB上方的抛物线上一动点，作MN⊥x轴于点N，若△AMN与△ACD 相似，则点M的坐标为．
3.如图，已知抛物线y=3x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三
4
点，点A的坐标为(-1，0)，过点C的直线y=3
4t
x-3与x轴
交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB 于点H．若PB=5t，且0＜t＜1．
（1）点C的坐标是，b=，c=．（2）求线段QH的长（用含t的代数式表示）．
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有符合条件的t 值；若不存在，说明理由．
4.如图，抛物线y=-1x2+3x+2与x轴交于A，B两点，与y
22
轴交于点C，点D(1，m)在抛物线上，直线y=-x-1与抛物线交于A，E两点，点P在x轴上，且位于点B的左侧，若以P，B，D为顶点的三角形与△ABE相似，则点P的坐标为
．
5.如图，已知抛物线过点A(0，6)，B(2，0)，C(7，5)．
2（1）求抛物线的解析式．
（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC
的交点，F与E关于D对称．求证：∠CFE=∠AFE．
（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6.如图，抛物线y=ax2+bx经过两点A(-1，1)，B(2，2)．过点B
作BC∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点D．连接OA，OB，OC，AC，点N在坐标平面内，且△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应），则点N的坐标为
．
7.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=3x2
+
33x-73 848
与x轴交于点A，B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点．点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．（1）求点A，B，D的坐标．
（2）求证：四边形BFCE是平行四边形．
（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．
①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；
②直．接．回．答．这样的点P共有几个？
23⎨【参考答案】
1.
15，20，25或2543432.
(5，-7)或(11，1)24243.（1）(0，-3)；-9；-3；4⎧4-8t （0<t ≤1）（2）QH =⎪2；1⎪8t -4（⎩2
<t <1）（3）符合条件的t 值有-1+，
732或25．324.
(-22，0)或(13，0)575.（1）抛物线的解析式为y =
1
x 2-4x +6；2（2）证明略；
（3）符合条件的点P 的坐标为(0，-2)或(0，-41)．26.
(3，4)，(4，3)，(-2，-1)或(-1，-2)7.（1）A (1，0)；B (-7，0)；D (-3，-2)；
（2）证明略；（3）①点P 的横坐标分别为-11，-5，-37；②共3个．33⎪。