杆的E=210GPa，工程规定C点的[f/L]=0.00001,B点的]=0.001
弧度,试核此杆的刚度。
=+ =+
L=400mm a=0.1mP
A
D
B
C
A
D
B
200mm P1=1kN
A
D
B
C P2=2kN
C
P2
a
B
C
P2
P1=1kN
P2 M
A
D
B
C
A
D
B
C
.
P2=2kN
L=400mm a=0.1mP
a
P
L
x
fmax f(L)6PE2aI3La
f
.
第三节 用叠加法求弯曲变形
一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
( P 1 P 2 P n ) 1 ( P 1 ) 2 ( P 2 ) n ( P n )
PA
Pa 2 4 EI
f PC
Pa 3 6 EI
q
A
B
qA
qa 3 3 EI
5 q L4 f qC 24 EI
.
P
q
A
B
C
a
a
PA
Pa 2 4 EI
qA
qa 3 3 EI
f PC
Pa 3 6 EI
f
qC
5 q L4 24 EI
=
P 叠加
A
B
APAqA
+
a2 (3P4qa) 12EI
q
A
P(xa) (0xa)
M (x) 0
(axL)
a
P
L
x
f 写出微分方程的积分并积分
EfI 0 P(ax)
(0xa) (axL)
EIfΒιβλιοθήκη 1 2P(ax)2
C1
D1
EIf16P(ax)3 C1xC2 D1xD2
.
应用位移边界条件求积分常数
EI(f0)1 6P3 aC20
EI(0)1 2P2aC10
a
. dx
(1
第二节 挠曲线的微分方程及用积分法求弯曲变形
一、挠曲线近似微分方程
x M>0 f(x)0 f
1 M z (x)
EI z
1(1ff(x2))32小变形 f(x)
M<0
f
f(x)0
x
f (x) Mz(x) EIz
f(x ) M (x ) … … （ 2 ）
E I
式（2）就是挠曲线近似微分方程。 .
P
L
x
f
(a)(a) C1 D1
f(a)f(a)
C 1aC 2D 1aD 2
C 1D 11 2P2a ;C 2D 21 6P3a .
写出弹性曲线方程并画出曲线
f(x)66P P E EII3(aa2xx)3a33a2xa3
(0xa) (axL)
最大挠度及最大转角
max(a)
Pa2 2EI
件）确定。
④优点：使用范围广，直接求.出较精确； 缺点：计算较繁。
例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
P L
建立坐标系并写出弯矩方程
x
M (x)P(xL)
f
写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数
E f I M (x ) P (L x ) EfI1 2P(Lx)2C1 EIf1 6P(Lx)3C1xC2 .
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。
与 f 同向为正，反之为负。
C
P x 2.转角：横截面绕其中性轴转
v
动的角度。用 表示，顺时
f
C1
针转动为正，反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：
v =f (x)
小变形
三、转角与挠曲线的关系： tg df f
B
.
fC25q4Ea4I6PEa3I
例6 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。
L1
L2
P
A
C
f
Bx f
f f1f2
=
L1 A 刚化AC段C
L1
+
L2
P 等价
B
L2
P 等价
L2
P
C
Bx
f1
f
L1
P L2
A
C
B
A
C
M Bx
刚化BC段
f
.
f2
第四节 梁的刚度校核
fm La x L f (对土 : L f建 (2 1 工 5 ~1 0 程 1 0)0 )
第六章 弯曲变形
➢工程中的弯曲变形问题 ➢挠曲线的微分方程及用积分法求弯曲变形 ➢用叠加法求弯曲变形 ➢梁的刚度校核 ➢弯曲超静定
.
第一节 工程中的弯曲变形问题
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变. 形几何条件提供补充方程）。
一、度量梁变形的两个基本位移量
f ( P 1 P 2 P n ) f 1 ( P 1 ) f 2 ( P 2 ) f n ( P n )
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
.
P
q 例4 按叠加原理求A点转角和C点
A
B
挠度。
C
a
a
P
=
解、载荷分解如图 由梁的简单载荷变形表，
A
B
查简单载荷引起的变形。
+
EI(f0)1 6P3LC20
E(I0)Ef(I0)1 2P2L C 10
C11 2P2L;C21 6P3L
P L
x
f
写出弹性曲线方程并画出曲线
f(x)P(Lx)33L 2xL 3 6EI
最大挠度及最大转角
max(L)
PL2 2EI
PL3
fmax
f
(L)
3EI
.
解：建立坐标系并写出弯矩方程
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EfI (x) M (x)
二、求挠曲线方程（弹性曲线） 1.微分方程的积分
EfI(x)M (x) Ef(Ix)( M (x)d )x C 1
E ( x ) I f( ( M ( x )d x ) ) d x C 1 x C 2
2.位移边界条件
P
A
C
B
D
P
.
支点位移条件：
fA 0 fB 0
连续条件：
fC fC
光滑条件：
C
C
fD 0 D 0
或写 fC 左成 fC 右
或 写 C 左 成C 右
讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
max
其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条件
进行如下三种刚度计算：
、校核刚度：
fmax L
f L
max
、设计截面尺寸； (但：对于土建工程，强度常处于主要地位，
、设计载荷。
刚度常处于从属地位。特殊构件例外） .
例7 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，
x
A
D
B
C
f 200mm P1=1kN P2=2kN
=+ +
A
D
B
图1
P1=1kN B
图2
C
a C
P2
P2 M
A
D
B
C
图3
叠加求复杂载荷下的变形
B1P61LE2IP32ELIa
fC1P1L6E2aIP 32Ea3IP32aE2LI
I (D 4d 4) 64
3.14 (80 4 40 4 )10 12 64