概率模型 （一）报童的诀窍 （二）航空公司的超额订票问题
随机模型
确定性因素和随机性因素 随机因素可以忽略
随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现 随机因素影响必须考虑 概率模型 统计回归模型 确定性模型
随机性模型 马氏链模型
数学期望 离散型随机变量 X 的概率分布为
P( X xi ) pi
求解技巧：连续化
人口模型，战争模型
随机变量的目标函数：期望值
航空公司的超额订票模型
利用上述模型计算，若每份报纸的购进价 为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，
需求量服从均值500份，均方差50份的正态
分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平
均收入最高，最高收入是多少？

n
0
p ( r ) dr
问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上
将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，
零售价为a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出
一份报纸赚a- b，退回一份赔b-c。报童每天购进
报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会 少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量， 以获得最大收入。
1.确定设计变量和目标变量

n
0
5 p (r )dr 0.625 8 ) ( 0 ) 0.625
n 500 ( ) 0.625 0.5 50 0.125
查概率积分表得
(
n


n 500 ( ) (10) 0.625 50
n 500 0.32 50
n 516
因为


0
pr dr 1
pr dr
n 0

n
pr dr 1

n
0
a b p ( r )dr ac
因为当购进 n 份报纸时，
售不完的 概率

n
0
p(r )d r
n
a b bc p(r )d r
P 1
售完的 概率

n
0
pr dr是需求量 r 不超过 n的概率
若每天购进 2 份，
收入还与每天的需求量有关，而需求量是随机变量
则收入也是随机变量，通常用均值，即期望表示。
1 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n)
2 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 3 每天需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…
r n 售出r 赚(a b)r
n
n

(b c) p(r )dr (a b) p(r )dr
0 n
n

dG (b c) dn

n
0
n
p(r )dr (a b) p(r )dr
n

dG 0 dn
p ( r ) dr a b p ( r ) dr b c
0 n
使报童日平均收入达到最大的购进量 n应满足上式。
n
a b bc p ( r ) dr

n
0
p (r )dr
n 0
1
a b 0.25 5 p (r )dr b c 0.15 3

n 0
n
0
p ( r ) dr
n
a b bc p ( r ) dr
p (r )dr
n 0
1
a b 0.25 5 p (r )dr b c 0.15 3
退回n r 赔(b c)(n r )
r n 售出n 赚(a b)n
每天的收入函数记为U(n)，则
(a b)r (b c)(n r ) U (n, r ) (a b)n nr nr

收入函数的期望值为
G(n) [( a b)r (b c)( n r )] f (r )
(i 1,2,, n)
则随机变量 X 的数学期望值为
E( X ) xi pi
(i 1,2,, n)
连续型随机变E ( X ) xf ( x)dx


期望值反映了随机变量取值的“平均”意义！
报童的诀窍
r 0
n
r n 1
(a b)nf (r )
求 n 使 G(n) 最大
将r视为连续变量 f (r ) p(r ) (概率密度）
G(n) 0 [( a b)r (b c)( n r )] p(r )dr n (a b)np(r )dr
dG (a b)np(n) n (b c) p(r )dr 0 dn (a b)np(n) (a b) p(r )dr
每天的总收入为目标变量 每天购进报纸的份数为设计变量
2.确定目标函数的表达式
寻找设计变量与目标变量之间的关系
3.寻找约束条件
设计变量所受的限制
若每天购进 0 份， 则收入为 0。 若每天购进 1 份，
售出，则收入为 a-b。
退回，则收入为 –(b-c)。 售出1份，则收入为 a-b –(b-c) 。 售出2份，则收入为 2(a-b) 。 退回，则收入为 –2(b-c)。
P a b 1 P2 b c
结论
O
P 1
P 2
n r
当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大 时，报童购进的份数就应该越多。
注意
建模方法：从特殊到到一般
1998年B题 灾情巡视路线 单旅行商到多旅行商
归纳抽象
1999年B题 钻井布局 网格的平行移动到旋转运动 2000年B题 钢管的订购与运输 线形到树形 2000年C题 飞越北极 球形到椭球形
1 问题的提出 航空公司为了提高经济效益开展了一项预订票业
务。随之带来一系列的问题：若预订票的数量恰
等于飞机的容量，则由于总会有部分已订票的乘 客不按时前来登机，致使飞机因不满员而利润降 低，或亏本；若不限制订票的数量，那些本已订 好了某家航空公司的某趟航班的乘客，却被意外
是需求量 r 超过 n 的概率 P2 pr dr
n

上式意义为：购进的份数
n 应该使卖不完与卖完的概率
之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a b 与退回一份赔的钱 b c 之比。

n
0
p(r )d r
n
a b bc p(r )d r
根据需求量的概率密度 pr 的图形可以确定购进量 n 在图中用 P1 , P2 分别表示曲线 pr 下的两块面积，则