实验题目： 用多项式模型进行数据拟合实验 1 实验目的本实验使用多项式模型对数据进行拟合，目的在于：（1）掌握数据拟合的基本原理，学会使用数学的方法来判定数据拟合的情况； （2）掌握最小二乘法的基本原理及计算方法； （3）熟悉使用matlab 进行算法的实现。

2 实验步骤2.1 算法原理所谓拟合是指寻找一条平滑的曲线，最不失真地去表现测量数据。

反过来说，对测量 的实验数据，要对其进行公式化处理，用计算方法构造函数来近似表达数据的函数关系。

由于函数构造方法的不同，有许多的逼近方法，工程中常用最小平方逼近（最小二乘法理论）来实现曲线的拟合。

最小二乘拟合利用已知的数据得出一条直线或曲线，使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。

模型主要有：1.直线型2.多项式型3.分数函数型4.指数函数型5.对数线性型6.高斯函数型等，根据应用情况，选用不同的拟合模型。

其中多项式型拟合模型应用比较广泛。

给定一组测量数据()i i y x ,，其中m i ,,3,2,1,0Λ=，共m+1个数据点，取多项式P （x ），使得min )]([0202=-=∑∑==mi i im i i y xp r ，则称函数P （x ）为拟合函数或最小二乘解，此时，令∑==nk kk n x a x p 0)(，使得min ])([02002=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑∑===mi n k i ki k mi i i n y x a y x p I ，其中n a a a a ,,,,210Λ为待求的未知数，n 为多项式的最高次幂，由此该问题化为求),,,(210n a a a a I I Λ=的极值问题。

由多元函数求极值的必要条件：0)(200=-=∂∂∑∑==m i j i nk i k i k i x y x a a I，其中n j ,,2,1,0Λ= 得到：∑∑∑===+=n k mi i j i k mi kj iy x a x)(，其中n j ,,2,1,0Λ=，这是一个关于n a a a a ,,,,210Λ的线性方程组，用矩阵表示如下所示：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====m i i n i m i i i m i i n mi n i mi n imi n i mi n i mi im i imi n imi iy x y x y a a a x xx x xxx x m 000100201001020001M MΛM MM ΛΛ 因此，只要给出数据()i i y x ,，数据点个数m ，所要拟合的参数n ，就可求出未知数据阵),,,,(210n a a a a Λ2.2 实验步骤（1）根据已知数据（ch3 huaxuefy.m ），绘制出数据的散点图，如图1所示： 注：x 从1开始取值，值与值间隔为1。

y 取文件ch3 huaxuefy.m 中的数据。

图1 已知数据散点图（2）计算矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=∑∑∑∑∑∑∑∑==+==+====mi n i mi n imi n i mi n i mi im i imi n i mi i x xx x xxx x m A 0201010201ΛM MM ΛΛ，该矩阵为（n+1）*（n+1）矩阵。

（3）计算矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑===m i i n i m i i i m i i y x y x y B 000M 。

（4）写出正规方程，求出n a a a a ,,,,210Λ。

（5）绘制出数据拟合后的曲线图。

分别取n=6,n=8,n=10,n=11,n=12,n=13,n=14，曲线图如下所示：图2 n=6时拟合曲线图3 n=8时拟合曲线图4 n=10时拟合曲线图5 n=11时拟合曲线图6 n=12时拟合曲线图7 n=13时拟合曲线3 实验结果分析通过运用最小二乘法对多项式模型进行数据拟合处理，获得n 次多项式及其系数n a a a a ,,,,210 。

分别取多项式次数n=6,n=8,n=10,n=11,n=12,n=13,n=14绘制拟合曲线，观察曲线图可知，对于最高次数不同的多项式，拟合结果是不一样的，即对于数据的逼近程度是不相同的。

随着n 的增大，曲线拟合效果变好；当n=10时，达到最好拟合效果；n 继续增大，曲线拟合效果又变差。

因此，对于相同的数据，并不是多项式的次数n 越高，拟合程度就越好。

4 实验结论通过实际做实验，得出了如下结论：离散数据点，可以采用多项式模型进行拟合，通过最小二乘法可以求得其最优多项式。

此外，还得出一个结论：对于数据拟合，并不是多项式次数越高，拟合就越逼近。

对此现象，在数值分析的参考书中找到了原因，这是龙格现象，即对于一个等间距节点的高次插值多项式，不收敛于插值函数。

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