Chap1
复习1
一.概率公式
1.加法公式
P( A B) P( A) P(B) P( AB)
2.减法公式
A, B互斥，P( A B) P( A) P(B) P( A B) P( A AB) P( A) P( AB)
B A，P( A B) P(A) P(B)
3.乘法公式
1.Y=g(X)
EY
E[
g(
X
)]
g( xk ) pk ,
k 1
g( x) f ( x)dx,
X离散型 X连续型
2.Z=g(X,Y)
EZ
E[g(
X
,Y
)]
g( xi , yj ) pij,
j1 i 1
g( x , y) f ( x , y)dxdy,
再对 FY ( y) 求导得到 Y 的密度函数 fY ( y).
Chap3
一.联合分布函数 F( x, y) P{X x,Y y} 性质
二.二维离散型随机变量
pij P{X xi ,Y yj } pij 0,
pij 1
三.二维连续型随机变量
F ( x, y) y x f (u, v)dudv, 其中f ( x, y) 0
性质： (1) f ( x, y) 0.
(2)
f ( x, y) d x d y F (,) 1.
(3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域, 点 ( X ,Y ) 落在G 内的概率为
P{(X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y.
(4)若
f
(
x,
y)在(
x,
y)
Chap4
一.一维随机变量的数字特征
1.定义：EX
xk pk ,
k 1
xf ( x)dx ,
X 离散型 X 连续型
DX = E[X-EX]2，DX = EX 2 -(EX )2
2.性质： E(aX+b )= aEX +b； D(aX+b )=a2DX
n
n
E[ Xi ] E( Xi ) D(X ±Y )= DX + DY±2cov (X,Y)
六.二维随机变量函数的分布
1. Z=X+Y 的分布函数 当X 和Y 独立时,
fZ (z) fX ( zy ) fY ( y) dy f X( x) fY ( z x ) dx
2. 极值分布
当X 和Y 独立时, Fmax (z) FX (z) FY (z)
Fmin (z) 1 [1 FX (z)][1 FY (z)].
cov (aX+b, cY+d)=ac cov(X, Y)
| XY | 1
XY XY
1 0, 称X
P{Y a Xb 与Y 不相关
}
1
X与Y不相关 cov( X ,Y ) 0, EXY EXEY , D( X Y ) DX DY
X与Y相互独立 X与Y不相关，反之不然
三.随机变量函数 的期望
A与B, A与B , A与B 也相互独立.
Chap2
一.分布函数 F( x) P{X x}
F(x)是分布函数
1. 2. 3. 4.
0 F(x) 1
F ( x)单调不减，若x1 x2 ,则F ( x1 ) F ( x2 )
F
(
x)至少右连续，即
lim
x x
F
(
x)
F
(
x0
)
(连续型同时左连续)
pk
则 Y g( X )的分布律为
Y g( X ) pk
g( x1 ) g( x2 ) g( xk )
p1
p2 pk
若 g( xk ) 中有值相同的,应将相应的 pk 合并.
2. 连续型——分布函数法
FY ( y) P{Y y} P{g( X ) y} g( x) y fX ( x)d x
0
F () 0, F() 1
二.离散型随机变量 x取值为有限个或可列无限个
分布律pk
P{ X
xk
}
1. 2.
pk
0 pk
1
三.连续型随机变量
F ( x) x f (t)dt,且f ( x) 0
X
f
(
x)
1.
f (x)
0
2. f ( x)dx 1
性质：1.F(x)处处连续；
G
连续,则有
2F
(
x,
y)
f (x, y).
xy
四.边缘分布
1.边缘分布函数：FX ( x) F ( x, ), FY ( y) F (, y)
2.边缘分布律： pi• pij , p• j pij
j1
i 1
3.边缘概率密度函数：fX ( x)
f ( x, y)d y, fY ( y)
P( AB) P( A B)P(B) P(B A)P( A)
4.除法公式 5.全概率公式
P(B A) P( AB) P( A)
Bi Bj , ; B1 B2
Bn .
P( A) P( A B1 )P(B1 ) P( A B2 )P(B2 )
n
P( A Bj )P(Bj ) j 1
P( A Bn )P(Bn )
f (x, y)d x.
五.独立性
Xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱY
相互独立
F( x, pij
y) pi •
FX ( p• j
x)
FY
(
y)
f ( x,
y)
fX ( x) fY ( y)
常用结论：1.若X与Y相互独立，则u(X)与v(Y)也相互独立;
2.若X与Y相互独立均服从正态分布，则aX+bY也服从 正态分布。
i 1
i 1
当X与Y相互独立时，E(XY )= EX EY D(X+Y )=DX+DY
3.常见分布的数字特征： 书P316
二.二维随机变量的数字特征
1.定义： cov(X,Y) = E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-EXEY
2.性质：
XY
cov( X ,Y ) D( X )D(Y )
6.贝叶斯公式
P(Bi A)
P( A Bi )P(Bi )
n
, i 1, 2,
, n.
P(A Bj )P(Bj )
j 1
二.古典概型的概率计算
P( A)
k n
A
所包含样本点的个数 样本点总数
.
三.事件独立性
1.定义 P(AB)=P(A)P(B) ，或 P(A|B)= P(A)
2.性质 若两事件 A、B 独立,则
2. F( x) f ( x)
b
3. P{a X b} F (b) F (a) a f ( x)dx
4. P{X a} 0
四.常见分布
0 1分布，b(n, p), p( ),U(a, b), E( ), N (, 2 )
五.随机变量函数的分布
1. 离散型
X
x1
x2
xk
pk
p1
p2