(x2 x 1)2
(x2 x 1)2
(x2 x 1)2
1
1 (2x 1) 3
dx 2
2 dx
(x2 x 1)
(x2 x 1)2
(x2
1 x
1)
dx
1 2
(2x 1) (x2 x 1)2
dx
3 2
(x2
1 x
1)2
dx
第一项
(
x2
1 x
1)
dx
d(x 1) 2
24
令tx 1
2
3
2
dt
t
2
3 2
2
2
由公式
(t 2
dt a2)2
1 2a2
(t
2
t a2)
dt
(t
2
a2
)
=
1 2a2
(t
2
t
a2)
1 a
arctan
t a
a2 3
4 a 3 2
则原式=
(t2
t
3)
2 arctan 3
2 3
t
C
x1 2
x2 x 1
2r cos sin
y y sin2 2r sin cos
r
2r sin cos r sin 2.
1
原式=
2
1 r ln(1 tan2 )J (r, )drd
00
1 r
2
1 r ln(1 tan2 )r sin 2 drd
00
1 r
2 ln(1 tan2 ) sin 2 d
(x
1 2
)2
3 2
2
2 arctan 3
2 (x 1) 32
第二项 1
2
(2x 1) (x2 x 1)2
dx
1 2
d (x2 x 1) (x2 x 1)2
1 2
(x2
1 x
1)
C.
10
第三项 3
1
dx= 3
d(x 1) 2
2 (x2 x 1)2
2 [(x 1)2 3]2
方法2：递推公式Ik
dt (t 2 1)k
t2 (t
1 2
t2 1)k
dt
t2
1
1
Ik1 (t2 1)k dt Ik1 2(k 1) td ((t 2 1)k1 )
Ik 1
1[ 2(k 1) (t2
t 1)k 1
Ik 1]
整理得：Ik
=
2(k
t 1)(t 2
1)k 1
2k 2(k
3 1)
Ik 1
dt
(t 2 1)2
1 2
t
(t
2
1)
t
dt 2 1
=
2(t
t
2
1)
1 2
arctan
t
C.
12
一道不定积分的解答：
(
x
x6 2
1)2
dx
解：将被积函数分子x6 (x2 11)3
在x2 1处二项式展开，得
x6 (x2 11)3 1 3(x2 1) 3(x2 1)2 (x2 1)3
(x y) ln(1 y )
计算二重积分I D
x dxdy， 1 x y
其中D (x, y) | x y 1，x 0，y 0.
解法1：由区域D的图形 知，可用极坐标计算该二重积分。
令
x
y
r cos2 r sin2
，其中0
r
1，0
2
.
x x
由于J (r, ) r
cos2
0
=4
0
lnt tdt 2
0 ln td (t 2 )
1
1
| 2t2 ln t 0 2
0t2
1 dt 2
1
tdt 1
1
1t
0
4
1 0
r2 1
r
dr
则 r1令 t t2,d1rr 2tdt
2 0 (1 t2 )2tdt
1t
2 1(t4 2t2 1)dt 0
| 2(1 t5 2 t3 t) 1
53
0
2
8 15
16 15
.
综上所述，原式=116 = 16 .
15 15
5
6
解法2：首先由于x与y具有轮换对称性，故有
I
= D
(x
y) ln(1 1 x y
y x
) dxdy
D
(
y
x) ln(1 1 y x
x y
) dydx
2I
D
(x
y) ln(1 1 x y
y) dxdy
D
(x
y) ln(1 1 x y
于是
x6 (x2 1)2
=
(x2
1 1)2
3 (x2 1)
3
(x2
1)
故原式=
(
x
2
1 1)2
3 (x2 1)
3
(x2
1)dx
1 x3 2x 3 ln x 1
3
2 x 1
1 (x2 1)2 dx
13
对于不定积分 1 dx作一次变换，
(x2 1)2
令t
x x
1 ,则x 1
1
2t 1t
x) y dxdy
(x y)[ln(1 y ) ln(1 x )]
D
x 1 x y
y dxdy
7
(x y) ln (x y)2
D
xy dxdy 1 x y
2 D
(
x
y) ln(x 1 x
y
y)dxdy
2 D
(
x y) 1 x
ln xdxdy y
于是I =
1
dx
1x (x y) ln(x y) dy
2 arctan 3
2 3
(
x
12 )
C.
4
11
求 dt 的两种方法
(t 2 1)2 方法1：令 t tan z, dt sec2 zdz,则
dt
(t2 1)2 =
sec2 zdz sec4 z =
1 sec2
dz z
cos2zdz 1 (z 1 sin 2z) 22
将z arctan( 2 (x 1))代入即可。 32
1
ln xdx
1 x
x y
0
0
1 x y
0
0 1 x y
视令xx为常y数u 得I =
1
dx
0
1 u ln u du
x 1u
1
ln xdx
0
1 x
u du 1u
8
变换积分次序，得：
I
1
du
u u ln u dx
1
u
u
du ln xdx
0 0 1u
0 1u 0
1 u2 ln udu 1
,
x
1
2 1t
, dx
2 (1 t)2
dt
(x2
1 1)2
dx
(
x
1 1)2 (
x
1)
2
dx
(1 t 2t
)2
(1 2
t
)2
2 (1 t)2
dt
1 8
(1
t
t
)2dt
14
1 12
8 (t2 t 1)dt
1 ( 1 2 ln t t) C 8t
u
u
du ln xdx
0 1u
0 1u 0
1 u2 ln u
1u
0
1 u du 0
(u ln u u)du 1u
1 u2
16
0
du . 1 u 15
9
求不定积分
x2 2 (x2 x 1)2 dx
解：原式
(x2 x 1) (x 1) dx
(x2 x 1) dx
x 1 dx
1
r2
dr.
0
0 1 r
2
于是分别只需计算
2 ln(1 tan2 ) sin 2 d和
1
r2
dr即可.
0
0 1 r
2 ln(1 tan2 ) sin 2 d 0
2 2 ln
1
sin cos d
0 cos2
4 2 ln cos sin cos d 0 3
4
2 ln cos
cos d (cos ) 令tcos