这就是西方的“卡瓦列利原理”。
刘徽没能把它总结为一般形式并且未 能求出“牟合方盖”的体积。但他创立的 特殊形式的不可分量方法却为后人解决球 的体积问题指明了方向。
2.祖冲之和祖暅
南北朝祖冲之（429－ 500）及其子祖暅计算了圆 内接正6144边形和正12288 边形的面积，得出π＝ 3.1415926～3.1415927求出 精确到第七位有效数字的 圆周率，领先世界达千年 之久。
他首先肯定圆内接正多边形的面积小于圆 的面积将边数屡次加倍，从而面积增大，边数 越多则正多边形的面积越接近圆面积。
极限方法
刘徽的“割圆术”
割之弥细，所 失弥少，割之 又割，以至于 不可割，则与 圆合体而无所
失矣。
刘徽计算到192边形， 求得3.1416，含有极限 思想。
割圆术
从刘徽割圆术看出，他明 确地多次使用了极限思想，并 采取了对面积进行无穷小分割， 然后求其极限状态的和的方式 解决圆面积问题的方法。
割圆术
刘徽是中国古代数学理论的奠基人。他的 主要贡献：
创造了割圆术，运用朴素的极限思想计算 圆面积及圆周率；建立了重差术；重视逻辑推 理，同时又注意几何直观的作用。其中割圆术 对中国古算的影响尤其深远。
《九章算术》中关于求圆面积的古法“周 三径一”是不精确的，刘徽在方田章的“圆田 术”中用割圆术计算圆周率，开创了中国数学 发展史上圆周率研究的新纪元。
项史无前例的创举。密率 355 = 3.141592920... ，为 113
纪念祖冲之的首创之功，“密率”因此又被称
为“祖率”。
曾经困扰刘徽的球体积问题到祖冲之时代 获得了突破。这个正确结果记载在《九章算术》 “开立圆术”之李淳风注中，称为“祖暅之开 立圆术”。
祖暅对球体积的推导也遵循了刘徽的方法， 具体做法是，先取牟合方盖的八分之一考虑它 的外切正方体，它把这个正方体又分出三个小 立体，牟合方盖的八分之一部分称为“内棋”， 三个小立体称为“外棋”。
中国古代数学家
以勤劳、智慧著称于世的我国，在 古代数学发展的历史长河中涌现了许多杰 出的数学家，为推动数学发展做出了彪炳 千古的贡献。赵爽、刘徽、祖冲之等是其 中的佼佼者，他们的丰功伟绩值得我们崇 敬，他们百折不挠的治学精神值得我们学 习。
中国古代数学家
•秦九韶的“大衍求一术” •李冶的“天元术” •朱世杰的“四元术” •杨辉的高阶等差级数公式 这些成就领先于欧洲400至600年
祖冲之的杰出成就，主要在天文历法、 机械和数学三方面。祖冲之之子祖暅也是 一个博学多才的人并子承父业，他的成就 也是在历法和数学方面。
“密率：圆径一百一十三，圆周三百五 十五；约率：圆径七，周二十二。”
——《隋书·律历志》
密率： π = 355
113
约率：π = 22
7
约率早已被阿基米德所知，但密率却是一
这说明刘徽头脑中已经有了朴素的积分思 想的萌芽.他是中算史上第一个建立可靠的理论 来推算圆周率的数学家。
古希腊穷竭法与古代中国的割圆术极 相似，刘徽的割圆术比古希腊晚几百年， 但他的成就超过了和他同时代的数学家。
首先，阿基米德的不等式既要用到圆 的内接正多边形又要用到圆的外切正多边 形，而刘徽的不等式只需用圆内接正多边 形；其次，当时我国已使用十进位值记数， 并且算筹技术十分发达，乘方、开方都能 迅速完成数字计算比古希腊人要容易的多。
总结
刘徽是中国古代数学理论的奠基人，是中 算史上第一个建立可靠的理论来推算圆周率 的数学家。
祖冲之求出精确到第七位有效数字的圆周 率，领先世界达千年之久。
祖暅则算出了“牟合方盖”的体积，得到 了正确的球体积公式。
谢谢
有些烦恼都是自找的，因为怀里揣着过去而放弃了现在的努力。有些痛苦也是自找的，因为无所事事而一直活在未来的憧憬里 不是靠天，也不是靠运气，而是坚持和付出，是不停地做，重复的做，用心去做，当你真的努力了付出了，你会发现自己潜力 了明天就是小事，再深的痛，过去了就把它忘记，就算全世界都抛弃了你，——你依然也要坚定前行，因为，你就是自己最大 种懦弱的表现；努力，才是人生的态度。不安于现状，不甘于平庸，就可能在勇于进取的奋斗中奏响人生壮美的乐间。原地徘 前迈出第一步；心中想过无数次，不如撸起袖子干一次。世界上从不缺少空想家，缺的往往是开拓的勇气和勤勉的实干。不要 束缚，行动起来，你终将成为更好的自己。人生就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼 做安于现状的平凡人。不谈以前的艰难，只论现在的坚持。人生就像舞台，不到谢幕，永远不要认输！努力是一种生活态度， 有激情，只要你有前进的方向和目标，什么时候开始都不晚，负能量的脑袋不会给你正能量的人生！简简单单，学最好的别人 是一步一步的走出来的 ，只有脚踏实地的往前走。不管遇到多大的风雨，坚持走下去，阳光灿烂的笑容，在风雨后等着你我 会见到最美的长虹。每个人都是通过自身的努力，去决定生活的样子，每一次付出，都会在以后的日子一点点回报在你身上。 人，也不会同情假勒奋的人。别让未来的你怨恨今天的自己。耐心点，坚强点；总有一天，你承受过的疼痛会有助于你。世界 人们看的只是你的成就。在你没有成就以前，切勿过分强调自尊。喜欢一个人，就是两个人在一起很开心；而爱一个人，即使 起。身体最重要，上网不要熬通宵。时间没有等我，是你忘了带我走，我们就这样迷散在陌生的风雨里，从此天各一方，两两 台就有多大。思考的越多，得到的越多。因为思考可以释放能量。福报不够的人，就会常常听到是非；福报够的人，从来就没 楚地明白得不到我想要的，所以就选择了放弃；不知道这样做是对还是错，那么就让时间来裁决吧。时间没有等我，是你忘了 目不忘的萤火，右手里是十年一个漫长的打坐。少年的时候想逃家，青年的时候想成家，成年的时候想离家，老年的时候想回 有人离开或进入，于是，看见的看不见了，记住的遗忘了；生命中不断的有得到和失落，于是，看不见的看见了，遗忘的记住 只亲吻攀登者的足迹许多人企求着生活的完美结局，殊不知美根本不在结局，而在于追求的过程。学会宽恕就是学会顺从自己 是“如心”。人生的道路是何其地漫长，在这漫长的人生道路之上，唯有不断地求索才能真正地感悟到人生的真谛。我爱你时， 我不爱你时，你说你是什么。人生是需要用苦难浸泡的，没有了伤痛，生命就少了炫彩和厚重。没有汽车是郁闷的生活，有了 没有好车是羡慕的生活，有了好车是提防的生活。有时候不是不懂，只是不想懂；有时候不是不知道，只是不想说出来；有时 明白了也不知道该怎么做，于是就保持了沉默。真正的放弃是悄无声息的。别想一下造出大海，必须先由小河川开始。还记得 的特别多，只是很容易擦肩而过。善待自己，幸福无比，善待别人，快乐无比，善待生命，健康无比。承认自己的伟大，就是 个人都有自己鲜明的主张和个性，不要试图去改变他人，同样，也不要被他人所改变生活，匀速的是爱，不匀速则变成一种伤 苦，给创造者幸福。遇上什么人是命运的事，但爱上什
牟合方盖
刘徽看出《九章算术》中的球体积公式 是错误的，为正确计算球的体积，他创造了 一个新的立体图形——“牟合方盖”。
八分之一个牟 合方盖图形
完整的一个牟 合方盖图形
在一个正方体内作两个互相垂直内切 圆柱，这两个圆柱的公共部分是牟合方盖。
刘徽指出，每一个高度上的水平截面 圆与其外切正方形的面积比都为π: 4 ，因 此球体积与牟合方盖的体积之比也是 π: 4
秦九韶
四元术 天元术
杨辉三角
主要内容
刘徽“割圆术”中的极限思想； 我国古代数学家祖冲之在计算圆周率的巨 大历史意义；
gèng
祖暅继承和完善前人对球体积的推导提出 了截面原理“祖氏原理”。
1.刘徽与割圆术
《九章算术》是用经文 在竹简写成的，历代学者对 它进行校订与注释，特别是 魏晋刘徽注，使它精湛博大 的数学理论和光彩夺目的数 学思想方法成为中华数学瑰 宝和世界数学经典名著。因 此刘徽是继希腊泰勒斯后， 世界论证数学的杰出代表之 一。
内
三外棋的体积之和
棋 等于一个长宽高皆为
立方体边长的四棱锥
的体积。
牟合方盖的八分之一
外 棋
根据上述分析可知：
V四棱锥
= ，r3所以3Leabharlann V牟合方盖=（r3
-
r3 3
） 8
=
16r3 3
.
又根据刘徽的结论可知：
V球：V牟合方盖
=
π：4，即
V球：163r3
= π : 4, V球
= 4πr3 3
在推导球体积问题上，刘徽与祖暅各完成了 任务的一半，刘徽确定了“牟合方盖”之形，指 明了努力的方向，而祖暅则算出了“牟合方盖” 的体积。从而得到了正确的球体积公式。