解
22 1 P{| X 20 | 4} 42 4
P{| X 20 | 4}
1 P{| X 20 | 4}
1 1 3 44
例：已知随机变量 X 的数学期望为 E(X)=μ，方 差 D(X ) 2 ，当 2 和 3 时，试用切比雪夫
不等式求概率 P X 的近似值.
解 当 2时
(5.5 5) ( 4.5 5) =0.1742
4.95
4.95
显然,本例中Possion 逼近较正态逼近更精确.
例: 将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 500的概率是多少？
解 设Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则
X1,…,X100独立同分布.
E( X1)
7 2
• 例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随机 因素影响测量的结果.如温度和湿度等因素对测量仪 器的影响,使测量产生误差X1;测量者观察时视线所 产生的误差X1;测量者心理和生理上的变化产生的测 量误差X3;…显然这些误差是微小的、随机的,而且 相互没有影响.测量的总误差是上述各个因素产生的 误差之和,即∑Xi.
（即方差有公共上界）则对于任意给定的ε>0,恒有
证明
lim P{|
n
1 n
n k 1
Xk
1 n
n k 1
E( X k ) | } 1
记
Xn
1 n
n k 1
Xk,
则E(X n )
E(1 n
n k 1
Xk
)
1 n
n k 1
E( X k
)
D(X n )
D( 1 n
n k 1
Xk)
1 n
n k 1
n
n
n
Yn
k 1
Xk E( Xk )
k 1
n
D( X k )
k 1
X k n n
n k 1
Xk n
k 1
的分布函数Fn(x),对于任意x,满足
lim lim Fn(x) P{Yn x}
n
n
1
t2
e 2 dt (x)
2
例.设每颗炮弹命中目标的概率为0.01,求500发炮弹中 命中 5发的概率。
证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于0.9,D(X)=0.009.则用
切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( 0.3 ).
4. 设随机变量X的数学期望为μ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 P{|X-μ|≥3σ}≤( 1/9 ).
5. 设随机变量X的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率.
200 2
190 10
200 2
20.707 1 0.52
• 定理(De Moivre-Laplace中心极限定理):设随
机变量Yn服从二项分布Yn ~B(n,p), (o<p<1),则对 于任意x,恒有
lim P{ Yn np x} 1
t2
e 2 dt
n
np(1 p)
2
证明 设X1,X2,…,Xn是n个相互独立的服从(0-1)分布 (P{Xi=0}=1-p,P{Xi=1}=p)的随机变量,则
又
fn A
X n
而P
0.74
X n
0.76
P X 0.75n
0.01n
1
0.1875n
0.01n 2
1
1875 n
0.90
n
18750
20
§5.2 中心极限定理
• 在一定条件下,许多随机变量的极限分布是正态分 布:“若一个随机变量X可以看着许多微小而独立的 随机因素作用的总结果,每一种因素的影响都很小,都 有不起压倒一切的主导作用,则X一般都可以认为近 似地服从正态分布.”
• “概率是频率的稳定值”。前面已经提到，当 随机试验的次数无限增大时，频率总在其概 率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是 从理论上说明这一结果。正态分布是概率论 中的一个重要分布，它有着非常广泛的应用。 中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一 般随机变量总和的分布，在一定条件下可以 渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计 中的基本理论，在概率统计中具有重要地位。
例: 设随机变量 X1, X 2 , , X n , 相互独立，且有如 下表的分布律，问：对随机变量 X1, X 2 , , X n , 可 否使用大数定理？
Xi 2
0
pi
1 4
1 2
2
(i 1,2, , n, )
1 4
解
因为 X1, X 2 , , X n ,
相互独立， EX i 0 ， E
n
Xi,
i 1
n 1,2,...
• 我们关心的是当n→∞时,随机变量和∑Xi的极限分
布是什么?由于直接研究∑Xi的极限分布不方便,故
先将其标准化为:
n
n
Xi E(Xi)
Yn i1
i 1 n
D( Xi )
i 1
再来研究随机变量序列{Yn}的极限分布.
• 定义：设{Xk}为相互独立的随机变量序列,有有限 的数学期望E(Xk)=μk和方差D(Xk)=σk2,令
i 1
n
定理（伯努里大数定理）
设 A 是 n 次独立 重复试验中 事件A 发 生
的次数, p 是事件 A 在每次试验中发生的概率,
则对于任意正数 0, 有
lim
n
P
A
n
p
0
或
lim P n
A
n
p
1.
证明 引入随机变量
0 A事件在第k次试验中不发生
k
1
A事件在第k次试验中发生
k 1,2,3 , n
D(X k )
C n
所以
lim
n
P{|
1 n
n k 1
Xk
1 n
n k 1
E(Xk )
|
}
lim
n
P{|
Xn
E( X n )
|
}
lim (1 D(X n )) lim (1 C ) 1
n
2
n n 2
• 推论(切比雪夫大数定律的特殊情况):设{Xk}是 相互独立同分布的随机变量序列,具有相同的数学 期望E(Xk)=μ和方差D(Xk)=σ2(k=1,2,…),则对于任 意给定的ε>0,恒有
Y100
210 .
i 1
解 因为 X i 服从 (2) ，i 1,2,
即 PX i
k
2k k!
e2 , (k
1,2,
)
所以 E( X i ) 2, D( X i ) 2 ， i 1,2, ,100
近似服从 Y100
N 200, 10
22 ，于是
P 190 Y100 210
210 10
解: (1) 设X表示命中的炮弹数, 则 X~B(500,0.01)
C P{X 5} 5 0.015 0.99495 =0.17635 500
(2)np=λ=5,应用Possion逼近: P{X 5} 55 e5 =0.17547
5!
(3)应用正态逼近: X~N(5,4.95)
P{X=5}=).
由独立性知道
n
D(i )
i 1
n2 2
.
n
n
D(i ) Di npq.
i 1
i 1
从而P(
n
n
p
)
npq
n2 2
0, n
关于伯努里定理的说明:
贝努里定理表明事件发生的频率 A 依概
n 率收敛于事件的概率p, 它以严格的数学形式 表达了频率的稳定性.
故而当n很大时, 事件发生的频率与概率有 较大偏差的可能性很小. 在实际应用中, 当试验 次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替 事件的概率.
P X 2 2 1
2 2 4
当 3时
P X 3 2 1
3 2 9
课堂练习
P X EX 1 DX
2
1. 设随机变量X的方差D(X)=0.0001,
则由切比绍夫不等式可知
P{|X-E(X)|<3×0.01}>(
).
2. 设随机变量X~E(1/n),用切比雪夫不等式
0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
0 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48
P
23
• 一般地,在研究许多随机因素产生的总影响时,很 多可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布 问题,而通常这种和的项数都很大.因此,需要构造一 个项数越来越多的随机变量和的序列:
X
2 i
1
又
DX i
E
X
2 i
EX i
2
1 0
1， i
1,2,
, n,
所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理.
思考：频率是概率的反映，随着观察的次数增加， 频率将会“逐渐稳定”或“靠近”到概率,“逐渐 稳定”或“靠近”到概率是什么？
n p n np
n
n
n
n
i E(i )
i1
• 定理（切比雪夫(Chebyshev)不等式）:设随机变
量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2 ,则对于任
意正数ε,有
P| X | 2