概率论中心极限定理
X
P 求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率. 解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数,则Xi 独立同分布,
且 E(Xi) =9.62,Var(Xi) =0.82,故
100 930 100 9.62 900 100 9.62 P 900 X i 930 100 0.82 100 0.82 i 1
是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.
主讲:于红香
注 意 点 (1)
概率论
二项分布是离散分布,而正态分布是连续分布, 所以用正态分布作为二项分布的近似时,可作 如下修正:
P k1 n k2 P k 0.5 k 0.5 n 1 2
P n k
10 0.8
9 0.1
8 0.05
7 0.02
6 0.03
( 3.53) (6.85) = 0.99979
主讲:于红香
概率论
二项分布的正态近似
定理2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
设sn 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量,则当 n 充 分大时,有
sn np lim P y ( y ) n npq
lim
n
1
Bn
2
E X i i
n i 1
2
0
李雅普诺夫条件
1 n 则 lim P ( X i i ) n Bn i 1
y ( y )
主讲:于红香
概率论
例7 设 X1, X2 , …. , X99相互独立, 且服从不同的
P k 0.5 n k 0.5
k2 0.5 np k1 0.5 np npq npq
k 0.5 np k 0.5 np npq npq
i , 0--1分布 P X i 1 pi 1 100
试求
99 P X i 60 i 1
解: 设 X100, X101, ….相互独立, 且与X99同分布,
则可以验证{Xn}满足 =1的李雅普诺夫条件,且
99 99 由此得 E X 49.5, Var X 16.665, i i i 1 i 1 99 X i 49.5 60 49.5 99 P X i 60 P i 1 1 2.5735 0.005 16.665 i 1 16.665
主讲:于红香Leabharlann 概率论作业4-4 11,19
主讲:于红香
主讲:于红香
概率论
§4.4 中心极限定理
独立随机变量和
设 {Xn} 为独立随机变量序列,记其和为
Yn X i
i 1
n
讨论独立随机变量和的极限分布,
并指出极限分布为正态分布.
主讲:于红香
概率论
独立同分布下的中心极限定理
定理1 林德贝格—勒维中心极限定理 设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列,数学期 望为, 方差为 2>0,则当 n 充分大时,有
lim
n
1
B
2
2 n i 1
n
x i Bn
( x i ) pi ( x )dx 0
2
林德贝格条件
则
1 n lim P ( X i i ) n Bn i 1
y ( y )
主讲:于红香
概率论
李雅普诺夫中心极限定理
林德贝格条件较难验证. 定理4 李雅普诺夫中心极限定理 设{Xn }为独立随机变量序列,若存在 > 0,满足:
概率论
概率论
4-4:中心极限定理
主讲:于红香
概率论
误差的产生由大量微小的相互独立的随机因素 叠加而成,若误差记为 Yn X i
i 1 n
当n充分大时,其分布是我们所关心的问题。 用卷积公式可以计算,但无疑相当复杂,不易实现。 见书中例4.4.2, 分析上例的趋势,我们应该先将随机和先标准化。 再研究其分布是否为标准正态分布。
解:用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100,则 E(Y)=90,Var(Y)=9. 由此得:
85 0.5 90 P{Y 85} 1 0.966. 9
3,4,7
主讲:于红香
概率论
二、给定 n 和概率,求 y
lim P{ i 1
n
X
n
i
n y} ( y )
证明?
n
应用之例: 正态随机数的产生; 误差分析
主讲:于红香
概率论
例1 每袋味精的净重为随机变量,平均重量为 100克,标准差为10克. 一箱内装200袋味精,求一 箱味精的净重大于20500克的概率? 解: 设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布, 且 E(Xi)=100,Var(Xi) =100, 由中心极限定理得,所求概率为:
200 20500 200 100 P X i 20500 1 200 100 i 1
1 (3.54) = 0.0002
故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小)
主讲:于红香
概率论
例2 设 X 为一次射击中命中的环数,其分布列为
例4
有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床, 每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证正常生产?
又记Y=X1+X2+…+X200,则 E(Y)=140,Var(Y)=42. 设供电量为y, 则从
解:用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
y /15 0.5 140 P{15Y y} 0.95 42 中解得 y 2252.
解:用 Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数,则
从中解得 0.05 n / p(1 p) 1.645 又由 p(1 p ) 0.25 可解得 n 270.6
17,20
n = 271
主讲:于红香
概率论
独立不同分布下的中心极限定理
定理3 林德贝格中心极限定理 设{Xn }为独立随机变量序列,若任对 > 0,有
主讲:于红香
概率论
注 意 点 (2)
中心极限定理的应用有三大类:
i) 已知 n 和 y,求概率; ii) 已知 n 和概率,求y ; iii) 已知 y 和概率,求 n .
主讲:于红香
概率论
一、给定 n 和 y,求概率
例3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一 个系统,求系统中至少有85个部件工作的概率.
主讲:于红香
概率论
例 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01, 求500发炮弹中命中 5 发的概率. 解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01)
(1) P( X 5) C
5 500
0.015 0.99495 =0.17635
二项分布的近似原则: (2) 应用正态逼近 : 当p较小时,用泊松分布近似较好; 5.5 5 4.5 5 P(X=5) P (4.5 < X < 5.5) 当= np >5 时,用正态分布近似较好。 4.95 4.95 = 0.1742 (3) 应用泊松逼近: P(X=5) = 0.616-0.440=0.176
16,18
主讲:于红香
概率论
三、给定 y 和概率,求 n
例5
用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。 要有 90% 的把握,使k/n与p 的差异不大于0.05,问至少要调查多少对象? Yn 服从 b(n, p) 分布,k 为Yn的实际取值。根据题意
P Yn / n p 0.05 2 0.05 n / p (1 p ) 1 0.90