例题
计算
2 5
(a b)(a b) a b
2
平方差公式
2
2 3 2 3
2

2 5 2 15
5 3 5 3 5 3
2 2
2 2 2 15
13 2 2
53
2
注意
观察算式，找出特征，利用多项式乘法 法则和乘法公式求解。
∴ 木板够长，可以截出这两个正方形木板。
同类二次根式
2 2 3 2 2 7
7 7
2 3
6 3
几个二次根式化成最简二次根式后，如 果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同 类二次根式。
注意 判断一组式子是否为同类二次根式，只需看
化为最简二次根式后的被开方数是否相同， 与最简二次根式前面的因式及符号无关。
2
18 xy
4
2. 下列各式中哪些是同类二次根式?
1 1 2 a 3 3 2 , 75 , , , 3, 8ab ,6b , 2 √ 50 27 √ 3 2b
5 3
√
√ √
2 10
3 9
4 b 2ab 3
√
3 2ab
√
归纳
8 18 2 2 3 2
（2 3） 2 5 2
9 5 20 5
平方差公式
如果分母是含二次根式的两个因式的和 或差，采用分子、分母同乘以分母的有理化 因式的方法进行化简。
例题
化简
1 1 （3 2 2） 3 2 2 3 2 2 2 2 98 （2 2） 3 2 2 （3 2 2） （3 2 2） 3
有理化因式
3 2 2
A P
B
Q
C
A
P Q 2 cm/s 解：设 x 秒后△PBQ 的面积为35 cm2 ，
则有 PB = x，BQ = 2x 。 1 由题意得， x 2 x 35 2
1 cm/s B
C
x 2 35
x 35
PQ PB 2 BQ 2 x 2 4 x 2 5 x 2 5 35 5 7
解： 原式

a 2 a 1 a 3
2
3 a 1 a2 1 a
a2
a 1 a 3
3 a 1 a2 1 a
∵ 3－ a ≥ 0
a≤3
1－ a > 0 ∴ a － 2 ≤－ 1 a － 1≤ 0 a － 3≤ － 2
a < 1
a < 1
9 5 2 5 5
(9 2 1) 5
6 5
知识要点
二次根式加减时，可以先将二 次根式化成最简二次根式，• 再将被 开方数相同的二次根式进行合并。
抢答
3 2 5
下列算法正确吗？
a
a
× b a b × b a b ×
a a b a (a b) a
1 1 3a 3 2 2a
分析 这两块正方形木板的边长分别为 8、18。
8
18
8 5，18 5
∴ 木板够宽。
5 dm
8
18
那么木板够长吗？
7.5 dm
8
18
5 dm ？ 这两块正方形边长的和为（ 8 18） < 7.5
8 18 2 2 3 2 （化成最简二次根式）
（2 3） 2 （分配律） 5 2 5 2 7.5
2ab b 6b
2 3
2
2
b (2a b 6) b
2a b 6
则
3a b
4a 3b 与 b 2a b 6
a=1
是同类二次根式。
3a－ b = 2
4a＋ 3b = 2 a－ b＋ 6
b=1
例题
解答
如图所示的 Rt△ABC中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 cm/s 的速度向点 A 移动。同时， 点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 cm/s 的速度向点 C 移动。问：几秒后△PBQ 的面积为 35 cm2 ？PQ 的 距离是多少厘米？（结果用最简二次根式）
知识链接
计算
（1） 2 x 3x 5 x
（2） 2 x 3x 5x 4 x
2 2 2
2
（3） x 2 x 3 y
（4） 3a 2a a
2 2 3
3x 3 y
a a
2
3
以上，是我们以前所学的整式加减—— 同类项合并。同类项合并就是字母不变，系 数相加减。
2 2 3 2 2 7
几个二次根式化成最简二次根式以 后，如果被开方数相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式. 判断同类二次根式的关键是什么？
(1)化成最简二次根式;
(2)被开方数相同,根指数相同(都等于2).
7 7
2 3
6 3
题组训练
1. 说出2 2x 的三个同类二次根式。
2a x
2
2y x
a b。
（2）出现和、差形式的：如 a b 的有理化因式为
随堂练习
1. 计算。
（） 1 （2） （3） （4）
6 10 80 40 5 4 2 2 5 3 5 2 11 5 5 a b 3 a b 3a 2 ab b
对比
9 5 2 5 5 9x 2x x
(9 2 1) 5
6 5
在有理数 二次根式的加减 范围内成立的 运算律，在实 数范围内仍然 成立。
(9 2 1) x
6x
整式的加减
自主合作:
实际问题
现有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能 否在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2 和18 dm2 的正方形木板？
原式
a － 2 ≤－ 1 a － 1≤ 0 a － 3≤ － 2
a2
a 1 a 3
3 a 1 a2 1 a
2a 3 a 1 1 a 3 a a 2 1 a
a2 1 1 1 a a 2 1 a
1 1 1 a 1 a
2 a 2 ab b a b （ a b） （ a b） （ a b） 2 2 a b a b （ a b） （ a b） （ a） （ b）
有理化因式
辨别是否互为有理化因式
3 2 3 与 3 2 3
√
a 1 与
a 1
a b 与
a 1 与
√
×
a a 0
例题
（ 1） 4
计算
5 2 5 5
4 2 1 5
3 5
注意
（1）如果几个二次根式的被开方数相同， 那么可以直接根据分配律进行加减运算。
（ 2）

12 20

3 5

交换律在 二次根式运算 中仍然成立。
2 32 5 3 5 2 3 32 5 5
a 20
b 5
c 9 5 20 5
二次根式 的加减法，该 如何运算？
自主探究:
我们可以这样来计算
？
a 20
c 9 5 20 5
b 5
9 5 2 5 5（化成最简二次根式）
(9 2 1) 5 （分配律）
6 5
二次根式 的加减类似于 什么运算？
课堂小结
1. 同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式后，如 果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同 类二次根式。
2. 二次根式加减运算的步骤：
（1）将每个二次根式化为最简二次根式。 （2）找出其中的同类二次根式。
一化
二找
（3）合并同类二次根式。
三合并
3. 有理化因式：
（1）单独一项
a 的有理化因式就是它本身 a。
回顾
怎样化简？
如果分母是二次根式，采用分子、分母 同乘以分母的的方法进行化简。 （依据分式的基本性质）
3 2 2 、 a b 3 2 2 a b
如果分母是含二 次根式的两个因式的 和或差，怎样化简？
1 a b 、 3 2 2 a b
(a b)(a b) a b
2
2
分母乘以什 么样的式子，就 能将分母的根号 去掉？
知识链接
部分运算律
加法交换律：a + b = b + a 乘法交换律：a × b = b × a
加法结合律：a + b + c = (a + b )+c= a + (b +c) 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c) 左分配律：c · (a + b ) = (c · a) + (c · b) 右分配律：(a + b) · c = (a · c ) + (b · c)
4. 两个圆的的圆心相同，它们的面积 分别是 12.56 cm2 和 25.12 cm2 ，求圆环的 宽度 d（π取 3.14，精确到 0.01 cm）。 解： 设大圆半径为 R，小圆半径为 r ， 则宽度d = R－r 。
R
r
d
由圆面积公式 S =πR2 ，
12.56 r 42 d R r 2 2 2 2 1.414cm
3 3 5
注意
（2）如果所给的二次根式不是最简二 次根式，应该先化简，再进行加减运算。
二次根式加减运算的步骤
（1）将每个二次根式化为最简二次根式。 （2）找出其中的同类二次根式。 （3）合并同类二次根式。
一化
二找
三合并