x x0 y y0 zz0 x(t 0 ) y(t 0 ) z(t 0 )
空间曲面S ：F(x, y, z) = 0的法线方程
x x0 Fx (x 0 , y 0 , z 0 )
=
y y0 Fy (x 0 , y 0 , z 0 )
zz0
=
Fz (x 0 , y0 , z0 )
如果要具体写出圆周率或欧拉常数根本不可能，然而用数 学符号却能精确地表示它们。
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2. 形式简单
艺术家们追求的美中，形式美是其中特别重要的内容，他们在 渲染美时，常常运用不同形式，如泰山的雄伟，华山的险峻， 黄山的奇特，峨眉的秀丽，青海的幽深，滇池的开阔等。
数学家们也十分注重数学的形式美，美国数学家柏克提出了一 个公式
A

a 21 a 22 a 2n a m1 am2 a mn

x1
X

x2 xn

b1
B

b b
2 m

表示为
AX = B
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在埃及出土的三千六百年前的莱因特纸草上有下面一串符号
用今天的符号表示即：
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又如，泰勒公式的余项，局部性的有皮亚诺(Peano)余项，整 体性的有施诺米尔奇(Schlomilch)─罗赫(Roche)余项，柯西余项 和拉格朗日余项等。
在整体性余项中，后两种余项仅是前一种余项的特例。因而， 从整体性考虑，前一种余项更完美。
然而，人们在应用泰勒公式时，最习惯使用的还是拉格朗 日型余项
对偶规划问题：约束条件 (s,
t)
yA y
c, 0.
(**)
由对偶定理知，若线性规划问题(*)有最优解，则其对 偶规划问题(**)也有最优解, 且两问题的目标函数最优值 相等。反之也成立。
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3. 对称美方法的运用
对称美方法是数学中的锐利武器, 数学家们利用它揭示 和发现了很多数学中的奥秘，其中最典型的有麦克斯韦方程、 笛沙格定理和伽罗瓦群等，它被著名数学家狄拉克(Dirac)称 为“自然科学时代新方法的精华”。 下面仅以求积分为例， 来说明它的妙用。
r

l 1 r 1 an 收敛； n1
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l 1 r 1 an 收敛； n1
l 1 r 1 an 发散； n1

l 1 r 0 an 敛散性不确定。 n1
凡是用达氏法能判别的级数敛散性，用拉贝法也能 判别，因此，拉贝法比达氏法更精细。
审美度= 秩序 复杂性
即人们对数学的审美感受程度，与数学表现出的秩序成正比， 与数学表现出的复杂性成反比。 因此，按审美度要求，数学的 表现形式越简单就越美。
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格林公式

cPdx Qdy x y dxdy
DP Q
斯托克斯公式
sin sin sin

cPdx
Qdy Rdz
导数的运算法则
(u v) u v (uv) uv uv
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2. 关系对称 运算的对称：加与减、乘与除、乘方与开方、指数与对 数、微分与积分、矩阵与逆矩阵等；
概念的对称：函数与反函数、奇与偶、单增与单减、 连续与间断、收级与发散等；
命题的对称：
(1) x (a,b)有f (x) 0,则f (x)在(a,b)上严格单增;
x( 2 1 1 1) 37. 327
宋、元时期我国也开始了相当于现在“方程论” 的研究， 当时记数使用的是“算筹”，的记号来表示二次三项式
412x2－x +136
其中x系数旁边注以“元”字，常数项注以“太”字，筹上 画斜线表示“负数”。
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16世纪，数学家卡当、韦达等人对方程符号有了改进，直 到笛卡尔才第一个倡用x, y, z表示未知数。 他曾用
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第二节 数学美的特征
一、 简单美 简单是指数学语言、符号、方法、逻辑结构和理论体系的简单。
1. 符号简单 符号是书写数学语言的文字，大数学家克莱因说：“符号 常常比发明它们的数学家更能推理”, 人们总是探索用简单的 符号去表现复杂的数学内容。
例如，微积分学中的常用符号：
,
, , lim,
(2) x (a,b)有f (x) 0,则f (x)在(a,b)上 严格单减。
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“共轭”关系对称性：
共轭无理数 a b c; a b c
共轭矩阵 A (aij )mn ; A (a ij )mn
共轭积分


f (x)sin xdx ;

f (x) cos xdx
▽u·▽u = 0
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在线性方程组
a11x1 a12x 2 a1n x n b1 a 21x1a 22x2 a 2n xn b2 a m1x1 a m2 x 2 a mn x n b m
a11 a12 a1n
古希腊著名学者毕达哥拉斯(Pythagoras)对数学有 很深的造诣，其中毕氏定理(勾股定理)就是他的杰作, 他认为“万物最基本的元素是数，数的和谐---这就 是美。”
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庞加莱：“数学家们十分重视他们的方法和理论是 否十分优美，这并非华而不实的作风，那么到底是什么 使我们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各个部 分之间的和谐、对称、恰到好处的平稳。”
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“对偶”关系对称性：
集合中的对偶关系 A \ (B C) (A \ B) (A \ C)
ABAB
ABAB
线性规划中的对偶关系
目标函数(v) min y cx,
线性规划问题：
约束条件
(s,
t)
Ax x
b, 0.
(*) 返回
目标函数(v) max z yb,
0 sin x
令,
x

2

t
则可将积分化为对称区间。
sin 2nx dx 0 sin x
2 2
sin(n
c os t
2nt)dx


2

2

cosn sin
cost
2nt
dt
(1)n1

2

2
sin 2nt cost
dt

0
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(2) 利用函数图象的对称性 借助积分中函数图象的对称性，获得简捷的解题途 径，这是对称美方法的又一妙用。 例2 设C为对称于坐标轴的平面光滑闭曲线，证明
S
x
y
PQ
dS
z R
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空间解析几何中
球 (x a)2 ( y b)2 (z c)2 1
椭球
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
椭圆抛物面
z x2 y2 a2 b2
它们不仅便于记忆，而且具有形式美。
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3. 语言简单
数学的简单美表现在语言上使人回味无穷。
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比拉贝判别法更精细的是库麦尔(Kummer)判别法,
设
lnim{Cn
an an1
Cn1}

k
其中{Cn}适合条件: 级数
1 C n1 n
发散。


则当k>0时, 级数 a n 收敛; 当k<0时，级数 a n 发散。
n 1
n 1
事实上，当 Cn n 时，库麦尔判别法即为拉贝判别法。
xxx－9xx +26－24∝0
表示方程
x3－9x2 +26－24 = 0
这个演变过程就是对简单美的追求过程。
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有些数及其运算只有用符号表示，才能更精确、更完美。 例如，圆周率是一个常数，1737年欧拉首先倡导用希腊
字母π来表示它，且通用全世界； 也是欧拉用e表示特殊的无 理常数─欧拉常数
e lim (1 1)n 2.718281828459045 n n
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代数中的二项式定理：
(a b) n a n na n1b nab n1 b n
对称行列式:
1 0 1 0 1
对称矩阵 ：
3 1 2 1 5 4
2 4 7
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微积分中空间曲线L：x = x(t), y = y(t), z = z(t) 的切线方程
▽v
=
(
i
x

j
y

k
z
)(v1i
+
v2j
+
v3k)
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i jk ( v1 v2 v3 )
x y z x y z v1 v 2 v3
2u 2u 2u 拉普拉斯方程: x2 y 2 z 2 0
若用哈密顿算子表示，也十分漂亮、利落:
如 “负负得正”；“对顶角相等”；“实数集不 可数”；
“角、边、角”；“边、角、边” 等 。
数列极限
lim
n
a
n

a



0, N
N, n

N

an

a


函数极限 lim f (x) A 0, X 0, x : x X f (x) A x
R
n(x)来自f (n1) () (n 1)!
(x

x0
) n1
其中 在x与x0 之间。
拉格朗日型余项简单整齐，易于记忆，使用方便。从 审美度而言拉格朗日型余项是最美的，因此受到人们的青睐。
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二、 对称美
对称是指图形或数式的对称，概念、命题、法则或结 构的对偶、对应、对逆等。