数列中体现的数学思想
恩施市第一中学高二（11）班杨义内容摘要：数学思想犹如一把开启解题的大门，拥有它就能在解答数学问题中游刃有余。

能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志。

在解题时如果能够充分运用数学思想方法，可以使很多数列问题获得直观、简捷、巧妙地解答。

关键词：数列函数方程整体分类讨论等价转化
在数列中蕴涵了许多重要的数学思想方法，例如整体思想，方程思想，函数思想，分类讨论思想，等价转化思想，等等。

本文主要通过例题剖析来体现数列中的数学思想，下面就简单介绍数列中几种常见的数学思想。

1.整体思想
整体思想就是从整体着眼,把一些看起来很复杂，很繁琐的数学形式看成一个整体，看成一个元素，从而达到简捷地解题的目的.
例已知数列为等差数列，前12项和为354，前12项中奇数项和与偶数项和之比为27:32,求公差d.
分析:此题常规思路是利用求和公式列方程组求解，但是计算量较大,应考虑利用整体思想去解决,解法十分简捷。

解: 由题意令奇数项和为,偶数项和为.
∵.
而
2.方程思想
方程思想就是通过设未知数建立方程,研究方程解决问题的方法.在解数列问题时,利用等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质构造方程（组），是解数列问题基本方法.
例 在等比数列{}a n 中，已知a a 6424-=，a a 3564=，求{}a n 的前8项的和S 8.
解：a a a q q 64132124-=-=() （1） 由a a a q 3513264==() （2） 由（1）（2）得：
a q 138=±
将a q 138=-代入（1），得q 22=-（舍去） 将a q 138=代入（1），得q =±2.
当2=q 时，a 11=，S 8255=；当q =-2时，a S 18185=-=,. 3.函数思想
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

数列是一类特殊的函数,因此可以用函数的观点来认识和理解数列，这是解决数列问题的有效方法. 例 等差数列的前n 项和为
.已知
问数列的多少
项和最大?
分析:易知所给数列不是常数列,等差数列的前n项和是n的二次函数，且常数项为零,所以可利用函数思想研究的最值。

解法1:由得
,∴.
从而;
故前13项的和最大,其最大值为169.
解法2: ,的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点,由知最高点的横坐标为,即前13项的和最大.
4.分类讨论思想
我们在解答某些数学问题时，通常会遇到多种情况，此时需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法.. 例已知数列的前n项和，试求数列的前n 项和的表达式.
分析:解题的关键是求出数列的通项公式,并弄清数列中各项的符号以便化去的绝对值.故需分类探讨．
解: 当n=1时,;
当n≥2时,
.
∴当1≤n≤9时,,当n≥10时,.从而
当1≤n≤9时,=
=;
当n≥10时,=
=
.
∴=
5.等价转化思想
等价转化是把未知解的问题转化成为同学们熟悉的或容易解决的问题的一种重要的思想方法，这是解决数列问题重要方法之一.
例等差数列的前n项和为,.若中,最大,数列的前多少项和最大?
分析:求的最大值有多种转化方法.本题可将满足的要求转化为公差d满足的要求；再将k所满足的条件转化为它的几何意义，借助图示直接写出结果.
解设数列的公差为d，则最大
.
设的前k项和最大,则有,且,故有
.（*）
, .
如图，数轴的两个阴影区间中，左边是的取值范围，右边是
的取值范围，（*）的成立等价于k取两个区间之间的自然数，所以k=3，即的前3项和最大.
参考文献：
[1] 曲一线. 5年高考3年模拟. 2011 6 7.
[2] 贾鸿玉. 绿色通道. 2010 6 2。