总结求线性方程组的方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII华北水利水电大学总结求线性方程组的方法课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：2014年12月31日摘要：线性方程组的求解是当代代数学中的一个重要组成部分。

它广泛应用在数学以及其他领域。

它与矩阵、线性变换、行列式、向量组的线性相关性，二次型，这些型之间有着相当密切的联系。

线性方程组是线性代数中一个相当基础的内容必须要学会以及熟悉内容。

本文章主要说明和讨论线性方程组的基本结构，然后应用克拉莫法则，高斯消元法来来求解。

关键词：线性方程组、高斯消元法、克拉莫法则；Summary for the method of liner equationsAbstract: Solution of the system of linear equations is an important component part of algebra. It is widely used in mathematics and other areas. It and determinant, matrix, linear transformation, linear correlation vector group, quadratic form, has the close relation. System of linear equations is a very basic content in linear algebra must grasp and familiar with the content. This article mainly explain and discuss the basic structure of system of linear equations, then apply law of kramer, gauss elimination method to solve.Key words: System of linear equations; Gauss elimination method ; Kramer law正文：1、引言线性代数和高等数学中线性方程组理论是的其中的的重要组成部分。

线性方程组的求解特殊线性方程组和克拉默法则以及高斯消元法，在线性代数课本中以及高数课本中都有相当详细的介绍和解法。

本文主要研究的对象是齐次线性方程组以及非齐次线性方程组的解法和基本构成。

和非齐次线性方程组和齐次线性方程组它们之间最主要求别就在于常数项全部为零齐次线性方程组：求其基础解系的方法，一般是对系数矩阵A 进行初等变换然后使之成为行最简矩阵，从而得出与原方程组的同解方程组，然后再通过自由变量来得出原方程组的基础解系。

非齐次线性方程组：本文通过增广齐次方程组和增广齐次方程组的条件解的概念，然后求增广齐次线性方程11=+n x 的条件解，然后进一步的求出一般线性方程组的通解2 正文内容2.1线性方程组的概念 1.线性方程组一般形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* 2.线性方程组矩阵的一般形式：b Ax =⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=mn m m n n a a aa a aa a a A 212222111211， ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=n b b b b 21， ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫=n x x x x 21 A 为系数矩阵，b 为常数项向量，x 为未知数向量3.)(b A 为增广矩阵 增广矩阵()b A ：)(⎝⎛=mn m m n n a a aa a a a a ab A212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫n b b b 21 增广矩阵()b A 记为A2.2线性方程组解的判断平时在解某一些方程时要讨论解的情况在解线性方程组中也一样要讨论线性方程组的解的情况。

一般情况下我们在求线性方程组之前，一般我们先讨论判断线性方程组解的情况，线性方程组的解有可能只有一个。

同时也有可能没有解即无解。

有可能有无穷多个解。

这三种情况。

这些情况必须讨论不能有任何的疏忽。

设；b Ax =为非齐次线性方程组。

其中()A R 为系数矩阵A 的秩，)(b A R 为增广矩阵()b A 的秩。

则有()()n A R b A R <=时，方程有无穷多个解。

()()n A R b A R ==时，方程有唯一的解。

()()n A R b A R >=时，方程无解。

2.3 克拉默法则克拉默法则是线性代数方程组的一个很好的求解方法，是我们学习求解线性代数方程组的主要方法之一。

对于齐次线性方程组方程组来说，有一个零解)(0,0,0，。

所以对齐次线性方程组的研究就是齐次线性方程组什么时候有非零解和非零解的形式是什么。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 的系数矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211的行列式 0≠=A d那么线性方程组有解，而且它的解唯一dd x d dx d d x n n ===,,,2211 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成方程组的常数项n b b b ,,,21 ，所成的行列式例题1： 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x解：0276741212060311512≠=-----=A所以27=d81674021*******5181=-----=d 10867012150609115822-=----=d 276412520693118123-=--=d 2707415120903185124=-----=d则[][]T T x x x x 1,1,4,3,,,4321--=则原方程的解为[]T1,1-4-3，，2.4高斯消元法高斯消元法是很常见的一种解方程组的方法，在平常的方程组问题求解中都有用得到。

高斯消元法通过很多的加减运算进行消元运算，是把方程变化成上三角矩阵或者下三角矩阵，然后逐个往回代求解出方程组。

例题2：解线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+224056242321321321x x x x x x x x x解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=214511242A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=206b增广矩阵() ⎝⎛---=214511242b A ⎪⎪⎪⎭⎫206 ⎝⎛→12-0063-02-42 ⎪⎪⎪⎭⎫3-3-6⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=-+4123413123636242321332321x x x x x x x x x2.5解齐次线性方程组定理1：设R k S x x ∈∈,,021则01021S kx S x x ∈∈+，文献[1] 定义1：设有t x x x ,,,21 是齐次线性方程组的解向量，如果t x x x ,,,21 与线性无关，而且方程的任意一个解都可以由t x x x ,,,21 的线性表示，那么就称t x x x ,,,21 是齐次方程组的一个基础解系。

根据定义1如果找到了基础解系t x x x ,,,21 ，那么方程组的所有解x 都可以表示为t t x k x k x k x +++= 2111，且0S 得维数t S =)dim(0，其中t k k k ,,,21 为任意实数。

这样齐次线性方程组的求解问题就归结为其基础解系问题。

文献[2]定理2：设n m A ⨯的秩()n r A R <=，则齐次线性方程组存在基础解系，且基础解系含r n -个线性无关解向量，即()r n S -=0dim 文献[3]定理3：齐次线性方程组只有零解的充分必要条件为()n A R =；有非零解的充分必要条件为()n A R <。

文献[4]当齐次线性方程有非零解时需要注意三点。

[1] [2] [3] [4]（1)化矩阵A 为行阶梯形矩阵时，只能实施初等变换； （2)r n -个自由元的确定不是唯一的，但无论如何选择，必须保证非自由元构成的保留方程组的系数矩阵的秩为r（3)既然自由元选择不是唯一的，也就决定了齐次线性方程组的基础解系是不唯一的。

但不同的基础解系是同等的那么我们根据根据定理2，如果齐次线性方程组0=Ax 与齐次线性方程组0=Bx 有相同的解，那么()()B R A R =,但是反过来说是不成立的例题：求解齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+-+=-++=-++0192483032540342046534321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解：把系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=19-248332-543-4214-653A 进行初等变换，变为行阶梯形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000005-61078-01U ⎩⎨⎧+-=-=4324315678x x x x x x 解得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=105701685678434343434321x x x xx x x x x x x x x通解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1057016821k k x ，21k k 、为任意常数 2.6解非齐次线性方程组非齐次线性方程组的向量表示式为b x x x n n =+++ααα 2211其中n ααα,,,21 是系数矩阵A 的列向量，所以，方程组有解的充分必要条件是向量b 可以由系数矩阵列A 的列向量线性表示，从而有()()b R R n n ,,,,,,,2121αααααα =那么系数矩阵的秩：()()b A R A R =于是就有下列定理定理1：对于非齐次线性方程组 文献[5]（1）b Ax =有解；（2）b 可以由系数矩阵A 的列向量组线性表示；（3）系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即()()b A R A R =由于b 可由A 的列向量n ααα,,,21 线性表示，且表示法唯一的从分必要条件是n ααα,,,21 线性无关，所以我们有下述定理。

定理2：非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件是 文献[6]()()n b A R A R ==定理:3：设0021,,S x S x x b ∈∈，则b S x x S x x ∈+∈-01021,。