1. 傅里叶变换有限长序列 可看成周期序列的一个周期； 把 看成 的以N 为周期的周期延拓。

有限长序列的离散傅里叶变换（DFT ）：① 长度为N 的有限长序列 x(n) ，其离散傅里叶变换 X(k) 仍是一个长度为N 的有限长序列；② x(n)与X(k)是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知x(n) 就能唯一地确定 X(k)；同样已知X(k)也就唯一地确定x(n)。

实际上x(n)与 X(k) 都是长度为 N 的序列（复序列）都有N 个独立值，因而具有等量的信息； ③ 有限长序列隐含着周期性。

)(n x )(n x )(~n x )(~n x ⎩⎨⎧===)())(()()(~)())(()(~n R n x n R n x n x n x n x N N N N ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====∑∑-=--=101)(1)]([)()()]([)(N k nk NN n nk NW k X N k X IDFT n x W n x n x DFT k X2.循环卷积（有可能会让画出卷积过程或结果）循环卷积过程为：最后结果为：3.（见课本）课本3、线性卷积（有可能会让画出卷积过程或结果）以下为PPT上的相关题目：4.计算分段卷积：重叠相加法和重叠保留法（一定会考一种）重叠相加法解题基本步骤:将长序列均匀分段，每段长度为M；基于DFT快速卷积法，通过循环卷积求每一段的线性卷积；依次将相邻两段的卷积的N-1个重叠点相加，得到最终的卷积结果。

4.级联、并联、直接形（画图） 以下为课后作业相关题目：1. 已知系统用下面差分方程描述:)1(31)()2(81)1(43)(-+--n x n x n y n y n y ＋－＝试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构。

式中x (n )和y (n )分别表示系统的输入和输出信号。

解： 将原式移项得)1(31)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y将上式进行Z 变换， 得到121)(31)()(81)(43)(---+=+-zz X z X z z Y z z Y z Y21181431311)(---+-+=z z z z H(1) 按照系统函数H(z)， 根据Masson 公式， 画出直接型结构如题1解图（一）所示。

(2) 将H (z )的分母进行因式分解：)411)(211(31181431311)(111211--------+=+-+=z z z z z z z H按照上式可以有两种级联型结构:画出级联型结构如题1解图（二）（a)所示画出级联型结构如题1解图（二）（b)所示(3) 将H (z )进行部分分式展开：)411)(211(311)(111-----+=z z z z H 4121)41)(21(31)(-+-=--+=z B z A z z z zz H413721310)(---=z z zz H 11411372113104137)21(310)(----+-=---=z z z z z z z H1114111211311)(----⋅-+=z z z z H 111411311 2111)(----+⋅-=z z z z H 111411311 2111)(----+⋅-=z z z z H根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。

3. 设系统的差分方程为y(n)=(a+b)y(n－1)－aby(n－2)+x(n－2)+(a+b)x(n－1)+ab式中, |a|<1，|b|<1, x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号, 试画出系统的直接型和级联型结构。

解：(1) 直接型结构。

将差分方程进行Z变换，得到Y(z)=(a+b)Y(z)z－1－abY(z)z－2+X(z)z－2－(a+b)X(z)z－1+ab2121)(1)()()()(-----+-++-==abzzbazzbaabzXzYzH按照Masson公式画出直接型结构如题3解图（一）所示。

(2) 级联型结构。

将H(z)的分子和分母进行因式分解，得到)()()1)(1())(()(211111zHzHbzazzbzazH=----=----按照上式可以有两种级联型结构:①画出级联型结构如题3解图（二）(a)所示画出级联型结构如题3解图（二）(b)所示1111)(----=azazzH1121)(----=bzbzzH1111)(----=bzazzH1121)(----=azbzzH四．设计模拟滤波器（考试时不能编代码） 一般步骤：根据A p 、A s 、Ωs 、Ωp ，确定滤波器阶次N 和截止频率Ωc 。

P161 【例6.2.2】设计一个模拟低通巴特沃斯滤波器，指标如下：(1) 通带截止频率：Ωp=0.2π；通带最大衰减：A p=7 dB 。

(2) 阻带截止频率：Ωs=0.3π；阻带最小衰减：A s=16dB 。

解：由Ωp ，得:由Ωs ，得：在上面两个Ωc 之间选Ωc=0.5。

最后可得（级联型） ：五、脉冲响应不变法（P177 第6.3节） 156-158页脉冲响应不变法的优点：● 时域逼近。

使数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，即时域逼近良好。

● 线性频率关系。

⎡⎤379.2)3.0/2.0lg(2)]110/()110lg[(6.17.0==⎥⎥⎤⎢⎢⎡--=ππN 4985.01102.067.0=-=πc Q 5122.01103.066.1=-=πc Q )25.05.0)(5.0(125.0)(2+++=s s s s H a模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系ω=ΩT。

脉冲响应不变法的缺点：混叠失真效应因此，只适用于限带的模拟滤波器（例如衰减特性很好的低通或带通滤波器），而且高频衰减越快，混叠效应越小；而对于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此会产生混叠现象。

六、双线性变换法七，与实验相关本题中老师会给出类似于下列表达式的信号：要求用脉冲相应不变法或双线性法编写主要的代码（如下面代码）来达到滤除其中的部分信号，并画出你所设计的滤波器的频响曲线，并标明Ωs 、Ωp ，以及滤波后信号的时域波形（波形中要体现相位特征）。

1）脉冲响应不变法滤除第三个信号： Fs=256; % 采样频率 fp=60; % 通带截止频率 fs=70; % 阻带截止频率 Rp=1; Rs=25;Wp=(fp/Fs)*2*pi; %临界频率采用角频率表示 Ws=(fs/Fs)*2*pi; %临界频率采用角频率表示 OmegaP=Wp*Fs; OmegaS=Ws*Fs;[n,Wc]=buttord(OmegaP,OmegaS,Rp,Rs,'s'); [b,a]=butter(n,Wc,'s');[Bz,Az]=impinvar(b,a,Fs); 2）双线性法滤除第三个信号： Fs=256; % 采样频率 fp=60; % 通带截止频率 fs=70; % 阻带截止频率 Rp=1; Rs=25;Wp=(fp/Fs)*2*pi; % 临界频率采用角频率表示 Ws=(fs/Fs)*2*pi; % 临界频率采用角频率表示 OmegaP=2*Fs*tan(Wp/2); % 频率预畸 OmegaS=2*Fs*tan(Ws/2);[n,Wc]=buttord(OmegaP,OmegaS,Rp,Rs,'s'); [b,a]=butter(n,Wc,'s');()cos(250/180)cos 23 1.5(275/180090)3S t t t ππππ=+⨯+⨯--[Bz,Az]=bilinear(b,a,Fs);注：要好好看实验中关于低通，高通，带通，带阻的设计代码。

带通：fp1=40; % 通带截止频率 fs1=30; % 阻带截止频率 fp2=60; % 通带截止频率 fs2=70; % 阻带截止频率 Rp=1; Rs=25; Wp1=(fp1/Fs)*2*pi; Ws1=(fs1/Fs)*2*pi; Wp2=(fp2/Fs)*2*pi; Ws2=(fs2/Fs)*2*pi;Wp=[Wp1,Wp2]; % 向量 Ws=[Ws1,Ws2]; % 向量带阻：fp1=30; % 通带截止频率 fs1=40; % 阻带截止频率 fp2=70; % 通带截止频率 fs2=60; % 阻带截止频率 Rp=1; Rs=25; Wp1=(fp1/Fs)*2*pi; Ws1=(fs1/Fs)*2*pi; Wp2=(fp2/Fs)*2*pi; Ws2=(fs2/Fs)*2*pi; Wp=[Wp1,Wp2]; Ws=[Ws1,Ws2];若信号表达式为()3sin(210030/180) 1.5cos(225090/180)5cos(2270)S t t t t πππππ=⨯-+⨯++⨯则相关代码为：1) 低通滤波器代码fp=110; % 通带截止频率 fs=130; % 阻带截止频率 Rp=1; Rs=25;Wp=(fp/Fs)*2*pi; Ws=(fs/Fs)*2*pi; %临界频率采用角频率表示 (1):脉冲响应不变法OmegaP=Wp*Fs; OmegaS=Ws*Fs;[n,Wc]=buttord(OmegaP,OmegaS,Rp,Rs,'s'); [b,a]=butter(n,Wc,'s'); % 指明为高通滤波器 [Bz,Az]=impinvar(b,a,Fs);（2）双线性变换法OmegaP=2*Fs*tan(Wp/2); OmegaS=2*Fs*tan(Ws/2); % 频率预畸[n,Wc]=buttord(OmegaP,OmegaS,Rp,Rs,'s');[b,a]=butter(n,Wc,'s'); [Bz,Az]=bilinear(b,a,Fs);2)高通滤波器fp=280; % 通带截止频率fs=260; % 阻带截止频率Rp=1; Rs=25;Wp=(fp/Fs)*2*pi; %临界频率采用角频率表示Ws=(fs/Fs)*2*pi; %临界频率采用角频率表示(2):双线性变换法OmegaP=2*Fs*tan(Wp/2); % 频率预畸OmegaS=2*Fs*tan(Ws/2);[n,Wc]=buttord(OmegaP,OmegaS,Rp,Rs,'s');[b,a]=butter(2*n,Wc,'high','s');[Bz, Az]=bilinear(b,a,Fs);3)带通滤波器fp1=130; % 通带截止频率 fs1=110; % 阻带截止频率fp2=255; % 通带截止频率 fs2=265; % 阻带截止频率Rp=1; Rs=25;Wp1=(fp1/Fs)*2*pi; Ws1=(fs1/Fs)*2*pi;Wp2=(fp2/Fs)*2*pi; Ws2=(fs2/Fs)*2*pi;Wp=[Wp1,Wp2]; Ws=[Ws1,Ws2];(2):双线性变换法OmegaP=2*Fs*tan(Wp/2); % 频率预畸OmegaS=2*Fs*tan(Ws/2);[n,Wc]=buttord(OmegaP,OmegaS,Rp,Rs,'s');[b,a]=butter(2*n,Wc,'s'); [Bz,Az]=bilinear(b,a,Fs);4)带阻滤波器的代码如下：fp1=110; % 通带截止频率 fs1=240; % 阻带截止频率fp2=265; % 通带截止频率 fs2=255; % 阻带截止频率Rp=1; Rs=25;Wp1=(fp1/Fs)*2*pi; Ws1=(fs1/Fs)*2*pi;Wp2=(fp2/Fs)*2*pi; Ws2=(fs2/Fs)*2*pi;Wp=[Wp1,Wp2]; Ws=[Ws1,Ws2];(2):双线性变换法OmegaP=2*Fs*tan(Wp/2); % 频率预畸 OmegaS=2*Fs*tan(Ws/2); [n,Wc]=buttord(OmegaP,OmegaS,Rp,Rs,'s');[b,a]=butter(2*n,Wc,'stop','s'); [Bz,Az]=bilinear(b,a,Fs);。