平行四边形中常用辅助线的添法
徐卫东 刘建英
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： 一、连对角线或平移对角线：
例1 如图1，E 是平行四边形ABCD 中AD 延长线上一点，ED 交BC 于F ，求证：CEF ABF S S △△=。
简证：连BD ，由图易得BCE BDE
S S △△=（同底等高）
，BDF ABF S S =△（同底等高） 所以BEF BCE BEF BDE S S S S △△△△-=-， 所以ECF BDF S S △△=，即CEF ABF S S △△=。
例2 如图2，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AC=a+b ，BD=a+c （c b >），
AB=m ，求m 的取值范围。
简解：要求AB 的值，需把AC 、BD 、AB 集中在一个三角形中，过C 作CE ∥DB 交AB 的延长线于E ，由图易得DBEC 是平行四边形，
所以c a DB CE +==， m AB DC BE ===，
即m 2AE =，在△ACE 中， CE AC AE CE AC +<<-，
即
()()c b a 22
1m c b 21
++<<-。
二、过顶点作对边的垂线构造直角三角形 例3 如图3，平行四边形ABCD 中，∠DBC=︒30，DE ⊥DB 交BC 的延长线于E ，AD=a ，DE=b ，求DCE S △。
简解：过D 作DF ⊥BE 于F ，由题意得∠DEB=︒60，
所以DF=︒60sin DE b 2
3
=，BE=b 2， 则a b 2BC BE CE -=-=，
所以()a b 2b 4
3
CE DF 21S DCE -=⋅=△。
例4 如图4，平行四边形ABCD 的周长为40，∠ABC=︒60，E 、F 是BD 上的三等分点，AE 的延长线交BC 于M ，MF 的延长线交AD 于N ，设x BC =，y S AMN =△，试求y
与x 的函数关系。
简解：过A 作AH ⊥BC 于H 。
因为x BC =，所以x 20AB -=， 所以ABC sin AB AH ∠⋅= ()︒⋅-=60sin x 20
()x 202
3
-=。
因为AD ∥BC ，
所以21ED BE AD BM ==，2
1BF DF BM DN ==，
所以x 21BM =，x 41
BM 21DN ==，
x 4
3
AN =，
则AN AH 2
1
S AMN ⋅=△
()x 43x 2023
21⋅-⋅= x 4315x 16332+-=。
三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
例5 如图5，平行四边形ABCD 中，N 是AB 中点，BE=BC 3
1，NE 与BD 交于F ，求
BD
BF
的值。
简解：作AC 交BD 于O ，连ON ，由 图得ON BC 2
1
， 因为
OF BF ON BE =，31BC BE =，
21
BC ON =， 所以32ON BE =，所以32OF BF =，
所以52BO BF =，则51BD BF =。
例6 如图6，平行四边形ABCD 中，O 是对角线交点，F 是AB 延长线上一点，OF 交BC 于E ，AB=a ，BC=b ，BF=c 。
求BE 长。
简解：作OG ∥CB 交AB 于G ，因为O 是AC 中点，所以OG=b 2
1
BC 21=， 又
GF
BF
OG BE =
， 所以c 2a bc
c a 2
1c
b 21GF BF OG BE +=+⋅=⋅=。
四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
例7 如图7，正方形ABCD 中，E 、F 分别为CD 、DA 的中点，BE 、CF 交于P ，求证AP=AB 。
简证：延长CF 交BA 的延长线于G 。
因为FD=FA ，易得△CDF ≅△GAF ， 所以AG=CD=AB ，则A 为BG 中点， 又CE=DF ，CB=CD ，
所以Rt △BCE ≅Rt △CDF ， 所以∠1=∠2，
因为∠1+∠3=︒90， 所以∠2+∠3=︒90，
所以∠CPB=︒90，所以∠BPG=︒90。
则PA 是Rt △BPG 的斜边上中线，所以AP=AB 。
例8 如图8，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是DC 、DA 上一点，AE=CF ，AE 与CF 交于P ，求证PB 平分∠APC 。
简证：连BE 、BF ，由图易证得
ABCD CBF ABE S 2
1
S S 平行四边形△△==。
过B 作BH ⊥CF 、BG ⊥AE ，垂足分别为H 、G 。
因为BG AE 21
S ABE ⋅=△，
BH CF 2
1
S CBF ⋅=△，
所以BG=BH ，所以B 点在∠APC 的角平分线上，则PB 平分∠APC 。
五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等 例9 如图9，E 是平行四边形ABCD 对角线BD 上一点，EF ⊥BC ，EG ⊥BA ，垂足分别为F 、G ，求证：
BC
EG
AB EF =。
简证：作AH ⊥BD 于H ，CK ⊥BD 于K ，易得AH CK ，连AE 、CE 。
因为ED AH 2
1
S AED ⋅=
△， ED CK 2
1
S CED ⋅=△，
所以CED AED S S △△=。
又CBD ABD S S △△=，所以CEB AEB S S △△=，
所以EF BC 21
EG AB 21⋅=⋅，
则BC
EG AB EF =。
例10 如图10，ABCD 是正方形，BE ∥AC ，AE=AC ，CF ∥AE ，求证：∠AEB=2∠BCF 。
简证：连BD ，过A 作AH ⊥AC 交BE 于H ，AC 与BD 交于O 。
由图中易证得AHBO 为正方形，所以AH=AO=
AC 2
1。
因为AE=AC ，
所以AE 2
1
AH =， 所以在Rt △AHE 中，∠AEH=︒30。
又因为AEFC 为菱形， 所以∠ACF=∠AEF=︒30。
又∠BCF=∠ACB-∠ACF=︒-︒3045︒=15，则∠AEB=2∠BCF 。