《高等数学》知识在物理学中的应用举例一 导数与微分的应用分析 利用导数与微分的概念与运算，可解决求变化率的问题。

求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。

在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量求变化率。

在此基础上，灵活运用各类导数和微分公式解决具体问题。

例 1 如图，曲柄,r OA =以均匀角速度ω饶定点O 转动.此曲柄借连杆AB 使滑块B 沿直线Ox 运动.求连杆上C 点的轨道方程及速度.设,a CB AC ==,ϕ=∠AOB .ψ=∠ABO y解 1) 如图，点C 的坐标为： ψϕcos cos a r x +=， (1) .sin ψa y = (2) 由三角形的正弦定理，有 ,sin 2sin ϕψa r = o x 故得.2sin 2sin ryr a ==ψϕ (3) 由(1)得rya x r a x 22cos cos --=-=ψϕ (4) 由,1cos sin )4()3(2222=+=+ϕϕ得,12422222222=---++rya x y a x r y 化简整理,得C 点的轨道方程为:.)3()(422222222r a y x y a x -++=-2) 要求C 点的速度,首先对(1),(2)分别求导,得 ,sin cos 2cos sin ψψϕωϕωr r x --=' ,2cos ϕωr y ='其中.ϕω'=又因为,sin 2sin ψϕa r = 对该式两边分别求导,得.cos 2cos ψϕωψa r ='所以C 点的速度22y x V '+'=4cos )sin cos 2cos sin (2222ϕωψψϕωϕωr r r +--= .)sin(cos sin 4cos cos 22ψϕψϕϕψω++=r例2 若一矿山升降机作加速度运动时,其加速度为),2sin1(Ttc a π-=式中c 及T 为常数,已知升降机的初速度为零,试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程.解: 由题设及加速度的微分形式dtdv a =,有 ,)2sin1(dt Ttc dv π-=对等式两边同时积分⎰⎰-=vtdt Ttc dv 0,)2sin1(π得:,2cos2D TtTcct v ++=ππ其中D 为常数.由初始条件:,0,0==t v 得,2c TD π-=于是)].12(cos2[-+=TtT t c v ππ又因为,dtds v =得 ,)]12(cos2[dt TtTt c ds -+=ππ对等式两边同时积分,可得:)].2sin 2(221[2t Tt TT t c s -+=πππ例 3 宽度为d 的河流，其流速与到河岸的距离成正比。

在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为.c 一小船以相对速度u 沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。

解 以一岸边为x 轴，垂直岸的方向为y 轴，如图建立坐标系。

所以水流速度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=.2),(,20,d y d y d k d y ky v由河流中心处水流速度为c ，故)2(2d d k d k c -⨯=⨯=，所以dck 2=. 当20d y ≤≤时，y dc v 2=，即 ,2y dcdt dx =,ut y = (1) 得tdt dcudx 2=. 两边积分，有⎰⎰=xtdt t dcudx 00,2 2t dcu x =, (2) 由(1)-(2)，得,2y ud c x =20dy ≤≤. (3) 同理，当d y d ≤≤2时，)(2y d dcv -=，即 ),(2)(2ut d d cy d d c dt dx -=-=⎰⎰-=dt ut d dcdx )(2， D y udc y u c x +-=22， (4)其中D 为一常数。

由(3)知，当2d y =时，u cd x 4=，代入(4)，得ucd D 2-=，于是,222u cd y ud c y u c x --=d y d≤≤2. 所以船的轨迹为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--=≤≤=.2,22,20,22d y d u cd y ud c y u c x d y y ud c x船在对岸的靠拢地点，即d y =时有.2ucdx =例 4 将质量为m 的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。

设阻力与速度平方成正比，即.22gv mk R = 如上掷时的速度为0v ，试证此质点又落至投掷点时的速度为.12201vk v v +=解：质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降两阶段。

取向上的力为正，如图，两个过程的运动方程为： v R上升：,22y g mk mg y m '--='' 。

。

下降：.22y g mk mg y m '+-=''- mg v上升时 R 下降时 mg对上升的阶段：)1(22v k g dtdv+-=，即),1(22v k g dy vdv dt dy dy dv +-== 于是gdy v k vdv -=+221. 两边积分⎰⎰-=+002201v h gdy v k vdv，得质点到达的高度)1ln(212022v k gk h +=. (1) 对下降的阶段：),1(22v k g dyvdv dt dy dy dv -==即得⎰⎰=-100221v h gdy v k vdv ,得)1ln(212122v k gk h --=. (2) 由(1)=(2) 得.120201vk v v +=二 积分的应用分析 利用积分的概念与运算，可解决一些关于某个区域累积量的求解问题。

求物体的转动惯量、求电场强度等问题都是典型的求关于某个区域累积量的问题。

在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量，在哪个区域上进行累积。

并应充分利用区域的对称性，这样可将复杂的积分问题简化，降低积分的重数，较简捷地解决具体问题。

例5 一半径为R 的非均质圆球，在距中心r 处的密度为：),1(220Rr αρρ-=式中0ρ和α都是常数。

试求此圆球饶直径转动时的回转半径。

解：设dm 表示距球心为r 的一薄球壳的质量，则dr Rr r dr r dm )1(22202απρρπ-==，所以此球对球心的转动惯量为.3557)1(502204002απραπρ-=-==⎰⎰R dr Rr r dm r I RR(1)在对称球中，饶直径转动时的转动惯量为I I 32='， (2) 又因球的质量为⎰⎰-=-==RRR dr Rr r dm m 03022020.1535)1(απραπρ (3)又饶直径的回转半径,mI k '=(4) 由(1)-(4)，得.21351014R k αα--=例6 试证明立方体饶其对角线转动时的回转半径为23d k =，式中d 为对角线的长度。

解：建立坐标系，设O 为立方体的中心，轴,Ox ,Oy Oz 分别与立方体的边平行。

由对称性知，,Ox ,Oy Oz 轴即立方体中心惯量的主轴。

设立方体的边长为.a由以上所设，平行于Ox 轴的一小方条的体积为adydz ，于是立方体饶Ox 的转动惯量为.6)(2222222a m dydz z y a I a a a a x =+=⎰⎰--ρ 根据对称性得：.62a m I I I z y x === 易知立方体的对角线与,Ox ,Oy Oz 轴的夹角都为,θ且,31cos =θ故立方体饶对角线的转动惯量为.6cos cos cos 2222a m I I I I z y x =++=θθθ (1) 又由于a d 3=, (2)饶其对角线转动时的回转半径为,mIk =(3) 由(1)-(3)得.23d k =例7 一个塑料圆盘，半径为,R 电荷q 均匀分布于表面，圆盘饶通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为ω，求圆盘中心处的磁感应强度。

解：电荷运动形成电流，带电圆盘饶中心轴转动，相当于不同半径的圆形电流。

圆盘每秒转动次数为πω2，圆盘表面上所带的电荷面密度为2R q πσ=，在圆盘上取一半径为r ，宽度为dr 的细圆环，它所带的电量为rdr dq πσ2⋅=，圆盘转动时，与细圆环相当的圆环电流的电流强度为rdr rdr dI ωσπωπσ⋅=⋅⋅=22， 它在轴线上距盘心x 处的P 点所产生的磁感应强度为rdr x r r x r dIr dB ωσμμ232220232220)(2)(2+=+=,)(2232230dr x r r +=ωσμ故P 点处的总磁感应强度为⎰+=Rdr x r r B 0232230,)(2ωσμ 变换积分⎰⎰⎰+-+=+dr x r r x dr x r r dr x r r 23222212223223)()()(所以]2[2222220x x R x x R B -+++=ωσμωπμ]22[2222220x xR x R R q -++=， B 的方向与ω方向相同(0>q )或()0<q . 于是在圆盘中心0=x 处，磁感应强度.20RqB πωμ=例8 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。

解：设雨滴的本体为.m 由物理学知.)(F mv dtd= (1) 1) 在处理这类问题时，常常将模型的几何形状理想化。

对于雨滴，我们常将它看成球形，设其半径为,r 则雨滴质量m 是与半径r 的三次方成正比，密度看成是不变的，于是31r k m =， (2)其中1k 为常数。

2) 由题设知，雨滴质量的增加率与其表面积成正比，即,4222r k r k dtdm=⋅=π (3) 其中2k 为常数。

由(2)，得.321dtdrr k dt dm ⋅= (4) 由(3)=(4)，得.312λ==k k dt dr (5)对(5)两边积分：,0⎰⎰=r att d dr λ得,a t r +=λ (6)将(6)代入(2)，得.)(31a t k m +=λ (7)3）以雨滴下降的方向为正，分析(1)式,)(])([3131g a t k v a t k dtd+=+λλ (8) ,)(])([301310gdt a t k v a t k d tv+=+⎰⎰λλ,)(41)(34131k a t g k v a t k ++=+λλλ（3k 为常数） 当0=t 时，0=v ，故,4413λga k k -=].)([434a t a a t g v +-+=λλλ 三 曲线、曲面积分的应用分析 曲线、曲面积分的概念与运算在物理学中应用非常广泛，灵活应用曲线、曲面积分，往往能使问题得到简化。

在求磁感应强度、磁通量这类问题时，高斯公式往往是有效的。