微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。
§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y （4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。
(1)y y x '''=+；（2）122+'=''x y x y ；2(3)20yy y '''-=()341y y ''= ()2002.1,0,1x x y y y y ==''''===-求下列方程的特解（2）0 ,0 ,2002='=='+''==-x x x y y e y x y3．求x y =''的经过)1 ,0(且在与直线12+=x y 相切的积分曲线 4．证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线. 证明：0,0(,)1(232=≠='+''K K K y y 可推出y 是线性函数；K 可取正或负5．枪弹垂直射穿厚度为δ的钢板，入板速度为a ，出板速度为b )(b a >，设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少？§5 高阶线性微分方程1.已知)( ),(21x y x y 是二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，试证)()(21x y x y -是0)()(=+'+''y x q y x p y 的解2.已知二阶线性微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个特解x e y x y x y 33221 , ,===，试求此方程满足3)0( ,0)0(='=y y 的特解.3．验证1 ,121+=+=x e y x y 是微分方程1)1(=+'-''-y y x y x 的解，并求其通解.§6 二阶常系数齐次线性微分方程1.求下列微分方程的通解（1）02=-'+''y y y ；（2）0136=+'+''y y y ；（3）044=+'+''y y y ；（4）02)4(=+''+y y y .2．求下列微分方程的特解（1）10y ,6 ,0340x 0='==+'-''==x yy y y （2）5y ,2 ,0250x 0='==+''==x y y y （3）3y ,2 ,01340x 0='==+'-''==x yy y y3.设单摆摆长为l ，质量为m ，开始时偏移一个小角度0θ，然后放开，开始自由摆动.在不计空气阻力条件下，求角位移θ随时间t 变化的规律.4. 圆柱形浮筒直径为0.5m ，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒周期为2s ，求浮筒质量.。
5.长为6m 的链条自桌上无摩察地向下滑动，设运动开始时，链条自桌上垂下部分长为1m ，问需多少时间链条全部滑过桌面.§7 二阶常系数非齐次线性微分方程1.求下列微分方程的通解（1）x xe y y y -=+'+''323；（2）x y y y 2345-=+'+''；（3）x x y y cos 4='+''；（4）x y y 2sin =-''；（5）)4(2+='-''+'''x e x y y y .2．求下列微分方程的特解（1）2(0)y ,6)0( ,523='==+'-''y y y y ；（2）1)(y ,1)( ,02sin ='==++''ππy x y y3.设连续函数)(x f 满足 ⎰-+=xx dt t f x t e x f 0 )()( )( 求)(x f .4.一质量为m 的质点由静止开始沉入水中，下沉时水的反作用力与速度成正比（比例系数为k ），求此物体之运动规律.5.一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m ，另一端离开钉子12m ，若不计摩擦力，求链条全部滑下所需时间.6.大炮以仰角α、初速0v 发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线.§8 欧拉方程及常系数线性微分方程组1.求下列微分方程的通解（1）32322x y y x y x y x =-'+''-'''；（2）xx y x y y 22=+'-''.2．求下列微分方程组的通解 （1）⎪⎩⎪⎨⎧-+=-++-=+33y x dtdy dt dx y x dt dy dt dx（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=--00432222y x dt y d y x dt x d自测题 1.求下列微分方程的解。
（1）xy x y y tan +='； （2）0)2(2=-+dy x y x ydx ；（3）x xy y y y -+='222；（4）x x y y 2sin ='-''.2．求连续函数)(x ϕ，使得0>x 时有⎰=1 0 )(2)( x dt xt ϕϕ.3．求以x e x x C C y 2221)(-++=为通解的二阶微分方程.4．某个三阶常系数微分方程 0=+'+''+'''cy y b y a y 有两个解x e 和x ，求c b a , ,.5．设)()(x f y x p y ='+''有一个解为x 1，对应齐次方程有一特解2x ，试求： （1）)( ),(x f x p 的表达式；（2）该微分方程的通解.6．已知可导函数)(x f 满足关系式：1)(1)()( 1 2-=+⎰x f dt t f t f x 求)(x f .7．已知曲线)(x y y =上原点处的切线垂直于直线012=-+y x ，且)(x y 满足微分方程x e y y y x 2cos 52=+'-''，求此曲线方程.微分方程习题答案§1 基本概念1．验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22yx y y x y y y x y x -='-='+'--2)2(:022::移项求导解 故所给出的隐函数是微分方程的解（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt .解：隐函数方程两边对x 求导0122=+'-y e y方程两边再对x 求导 ()0][22=''+''--y y y y e y 指数函数非零，即有2)(y y y '=''故所给出的隐函数是微分方程的解2．已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；()12)(2:222=+''-=+='++y y y y y c x y y c x 代入原方程得解出求导得（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 04:,2cos 42sin 4:)2sin (22cos 2:212121=+''--=''-+='y y c c x c x c y x c x c y 得消去再求导得求导得3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。