第十二章 微分方程§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中,不是微分方程的是( ) .(A)2xy y '=; (B)222x y C +=;(C)0y y ''+=; (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=. 答(B).2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( ).(A)1; (B)2; (C)3; (D)4; 答(C).3. 下列所给的函数,是微分方程0y y ''+=的通解的是( ).(A)1cos y C x =; (B)2sin y C x =;(C)cos sin y x C x =+; (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).4. 下列微分方程中,可分离变量的方程是( ).(A)x y y e +'=; (B)xy y x '+=;(C)10y xy '--=; (D)()d ()d 0x y x x y y -++=. 答(A).5. 下列微分方程中,是齐次方程是微分方程的是( ).(A)x y y e +'=; 2(B)xy y x '+=;(C)0y xy x '--=; (D)()d ()d 0x y x x y y -++=. 答(D).二、填空题1.函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? . 答:是 .2.微分方程3d d 0,4x x y y y x=+==的解是 . 答:2225x y +=. 3.微分方程23550x x y '+-=的通解是. 答:3252x x y C =++. 4.微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 . 答: Cx y e =.5.微分方程'=的通解是 . 答:arcsin arcsin y x C =+.6.微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是. 答:Cx ye x=. 三、解答题1.求下列微分方程的通解.(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=; (2) 2()y xy a y y '''-=+; 解: 解: (3) d 10d x y y x +=; (4) 23d (1)0.d y y x x++= 解: 解:2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1) 20,0x y x y e y -='==; (2) 2sin ln ,x y x y y y e π='==;解: 解: (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==; (4)d 10d x y y x +=. 解: 解: 3*.设连续函数20()d ln 22x tf x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,求()f x 的非积分表达式. 答:()ln 2x f x e =⋅.§12.2 一阶线性微分方程、全微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中,是一阶微分方程的是( ).2d (A)3(ln )d y y x y x x+=; 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x=+; (D)()d ()d 0x y x x y y -++=. 答(B). 2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( ).(A) 齐次微分方程; (B)一阶线性微分方程;(C) 可分离变量的微分方程; (D)全微分方程. 答(D).3. 方程y y x y x ++='22是( ).(A)齐次方程; (B)一阶线性方程;(C)伯努利方程; (D)可分离变量方程. 答(A).二、填空题1.微分方程d d x y ye x-+=的通解为 . 答:x x y Ce xe --=+. 2.微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为 . 答:33x xy C -=. 3.方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为 . 答:ln()x y x y C --+=. 三、简答题1.求下列微分方程的通解:(1) sin cos x y y x e -'+=; (2) d ln d y y x y x x=; 解: 解:(3) 232xy y x x '+=++; (4) tan sin 2y y x x '+=; 解: 解: (5) 2d (6)20d y y x y x-+=; (6) (2)d 0y y e xe y y +-=; 解: 解:(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=.解:2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解. (1) 0d 38,2d x y y y x=+==; (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==. 解: 解: 3*.求伯努利方程2d 3d y xy xy x -=的通解. 解:§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程一、单项选择题1. 方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=; (B)1cos C x y +=; (C)322121sin C x C x C x y +++=; (D)x y 2sin 2=. 答(A) 2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=,21x y ==的解是( ).(A)2(1)y x =-; (B)212124y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭; (C)211(1)22y x =-+; (D)21524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 答(C). 3. 对方程2y y y '''=+,以下做法正确的是( ). (A)令()y p x '=,y p '''=代入求解; (B)令()y p y '=,y p p '''=代入求解;(C)按可分离变量的方程求解; (D)按伯努利方程求解. 答(B).4. 下列函数组线性相关的().是(A)22,3x x e e ; (B)23,x x e e ;(C)sin ,cos x x ; (D)22,x x e xe . 答(A).5. 下列方程中,二阶线性微分方程是( ).(A)32()0y y y '''-=; (B)2x y yy xy e '''++=;(C)2223y x y y x '''++=; (D)222x y xy x y e '''++=. 答(D). 6. 12,y y 是0y py qy '''++=的两个解,则其通解是( ).(A)112y C y y =+; (B)1122y C y C y =+;(C)1122y C y C y =+,其中1y 与2y 线性相关;(D)1122y C y C y =+,其中1y 与2y 线性无关. 答(D).7. 下列函数组线性相关的().是22(A),3x x e e ; 23(B),x x e e ;(C)sin ,cos x x ; 22(D),x x e xe . 答(A).二、填空题1.微分方程sin y x x ''=+的通解为. 答: 312sin .6x y x C x C =-++ 2.微分方程y y x '''=+的通解为.答: 212.2x x y C e x C =--+ 三、简答题1.求下列微分方程的通解.(1) 21()y y '''=+; (2) 21()2y y '''=.解: 解:2.求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=,11x y ==-的特解.解: §12.4 二阶常系数线性齐次微分方程一、单项选择题1. 下列函数中,不是微分方程0y y ''+=的解的是( ).(A)sin y x =; (B)cos y x =;(C)x y e =; (D)sin cos y x x =+. 答(C).2. 下列微分方程中,通解是312x x y C e C e -=+的方程是( ).(A)230y y y '''--=; (B)250y y y '''-+=;(C)20y y y '''+-=; (D)20y y y '''-+=. 答(A).3. 下列微分方程中,通解是12x x y C e C xe =+的方程是( ).(A)20y y y '''--=; (B)20y y y '''-+=;(C)20y y y '''++=; (D)240y y y '''-+=. 答(B).4. 下列微分方程中,通解是12(cos2sin 2)x y e C x C x =+的方程是( ).(A)240y y y '''--=; (B)240y y y '''-+=(C)250y y y '''++=; (D)250y y y '''-+=. 答(D).5. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=,则方程的一个解是( ).(A)x ; (B)x e ; (C)x e -; (D)sin x . 答(B). 6*. 设()y f x =是方程220y y y '''-+=的一个解,若00()0,()0f x f x '>=,则()f x 在0x x =处( ).(A)0x 的某邻域内单调减少; (B)0x 的某邻域内单调增加;(C) 取极大值; (D) 取极小值. 答(C).二、填空题1.微分方程的通解为40y y '''-=的通解为 . 答:412x y C C e =+.2.微分方程20y y y '''+-=的通解为 . 答:212x x y C e C e -=+.3.微分方程440y y y '''-+=的通解为 . 答:2212x x y C e C xe =+.4.微分方程40y y ''+=的通解为 . 答:12cos2sin 2y C x C x =+.5.方程6130y y y '''++=的通解为 . 答:312(cos2sin 2)x y e C x C x -=+.三、简答题1.求下列微分方程的通解:(1) 20y y y '''--=; (2) 22d d 420250d d x x x t t-+=. 解: 解:2.求下列方程满足初始条件的特解. (1) 00430,10,6x x y y y y y ==''''-+===; (2) 00250,5,2x x y y y y =='''+===.解: 解: §12.5 二阶常系数线性非齐次微分方程一、单项选择题1. 微分方程2y y x ''+=的一个特解应具有形式( ).2(A)Ax ; 2(B)Ax Bx +;2(C)Ax Bx C ++; 2(D)()x Ax Bx C ++. 答(C).2. 微分方程2y y x '''+=的一个特解应具有形式( ).2(A)Ax ; 2(B)Ax Bx +;2(C)Ax Bx C ++; 2(D)()x Ax Bx C ++. 答(C).3. 微分方程256x y y y xe -'''-+=的一个特解应具有形式( ).2(A)x Axe -; 2(B)()x Ax B e -+;22(C)()x Ax Bx C e -++; 2(D)()x x Ax B e -+. 答(B).4. 微分方程22x y y y x e '''+-=的一个特解应具有形式( ).2(A)x Ax e ; 2(B)()x Ax Bx e +;2(C)()x x Ax Bx C e ++; 2(D)()x Ax Bx C e ++. 答(C).5. 微分方程23sin x y y y e x '''+-=的一个特解应具有形式( ).(A)(cos sin )x e A x B x +; (B)sin x Ae x ;(C)(sin cos )x xe A x B x +; (D)sin x Axe x 答(A).二、填空题1.微分方程34y y x x ''+=+的一个特解形式为 答:3*48x x y =-. 2.微分方程2y y x '''+=的一个特解形式为 . 答:*()y x Ax B =+.3.微分方程56x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答:*()x y Ax B e =+.4.微分方程356x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答:3*()x y x Ax B e =+.5.微分方程sin y y x ''-=的一个特解形式为 . 答:*sin y A x =.6.微分方程sin y y x ''+=的一个特解形式为 . 答:*(cos sin )y x A x B x =+.三、简答题1.求下列微分方程的通解.:(1) 22x y y y e '''+-=; (2) 5432y y y x '''++=-; 解: 解:(3) 269(1)x y y y x e '''-+=+.解:。