数理统计试题 It was last revised on January 2, 2021
2015-2016学年第1学期《数理统计学》考试试题
1、考试中可以使用不带编程功能的科学计算器。
2、计算题要求写出公式及其主要计算过程，如果没有特殊说明结果保留2位小数。
3、请将选择题的答案（用字母A 、B 、C 、D ）填在下表对应题号后的空格内。
选择题答案表
一、单项选择题（每题2分，共20分，选出最为恰当的一项）。
1. 设总体),(~211σμN X ，),(~2
2
2σμN Y 相互独立，样本量分别为1n ，2n ，样本方差分别为21S ，22S ，检验2221122210::σσσσ<↔≥H H 的拒绝域为（ ）。
A. )1,1(212221--<n n F S S α
B. )1,1(21222
1--<n n F S S α
C. )1,1(212221-->n n F S S α
D. )1,1(21222
2
1-->n n F S S α
2. 假设ˆθ
是θ的一个点估计，那么以下说法中错误的是（ ）。
A.如ˆ()E θ
θ=，则ˆθ是θ的无偏估计 B.如ˆθ
是θ的无偏估计，则ˆ()g θ是()g θ的无偏估计 C.如ˆθ
是θ的极大似然估计，()g θ有单值反函数，则ˆ()g θ是()g θ的极大似然估计
D.ˆθ
的均方误差定义为2ˆˆ()()MSE E θθθ=- 3. 设n X X X ,,,21 为来自正态分布),(2σμN 的简单随机样本，X 为样本均值，
∑=-=n
i i n
X X n S 1
22)(1，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（ ）。
A.
σ
μ)
(-X n B.
n
S X n )
(μ- C.
σ
μ)
(1--X n D.
n
S X n )
(1μ--
4. 下面不正确的是（ ）。
A. ααu u -=-1
B. )()(2
21n n α
αχχ-=-
C. )()(1n t n t αα-=-
D. )
,(1
),(1n m F m n F αα=-
5.以下关于假设检验的说法，正确的是（ ）。
A. 第一类错误是指，备择假设是真，却接受了原假设
B. 利用样本观测值能够作出拒绝原假设的最小显着性水平称为检验的p 值
C. 当检验的p 值大于显着性水平α时，拒绝原假设
D. 犯两类错误的概率不可以被同时减小
6. 对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则不正确的是（ ）.
A. 无论零假设是否成立，都有T e A S S S =+
B. 无论零假设是否成立，都有
()1~22
-r S A
χσ
C. 无论零假设是否成立，都有
()
r n S E
-22
~χσ
D. 零假设成立时，才有
()r n r F r n S r S e A ----,1~)
()
1(
7. 下面关于μ的置信度为α-1的置信区间的说法，不正确的是（ ）。
A. 置信区间随样本的变化而变化，是随机变量
B. 对固定的样本，置信区间要么一定包含真值μ，要么一定不包含真值μ
C. μ落入区间的概率为α-1
D. 随机区间以１－α的概率包含了参数真值μ
8. 设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本, μ=EX ，则下列正确的是（ ）。
A. 1X 是μ的无偏估计量
B. 1X 是μ的极大似然估计量
C. 1X 是μ的相合（一致）估计量
D. 1X 不是μ的估计量
9. 设621,,,X X X 是来自),(2σμN 的样本，2S 为其样本方差，则2DS 的值为（ ）.
A. 431σ
B. 45
1σ C. 452σ D. .52
2σ
10. 某研究部门准备在全市 200 万个家庭中抽取 2000 个家庭，据此推断该城市所有职工家庭的年人均收入。
这项研究的参数是（ ） 。
A. 2000个家庭
B. 200万个家庭
C. 2000个家庭的年人均收入
D. 200万个家庭的年人均收入
二、填空题（每题2分，共20分）。
1. 设n X X ,,1 是来自总体),(~2σμN X 的简单随机样本，2
1
2
)(σ
μ∑=-=n
i i
X
Y ，
则~Y 。
2. 设X 的分布律为
X 1 2 3
已知一个样本值1 1 1 2 2 3，则参数θ的极大似然估计值为 。
3. 设n X X X ,,,21 是来自均匀分布总体),0(θU （0>θ是参数）的一个样本，则θ 的矩估计为 。
4. 单因素方差分析中，数据s j n i X j ij ,,2,1;,,2,1, ==取自s 个总体
()
s j N X j j ,,2,1,,~2 =σμ，则j
n i ij
j n X
X j
∑==
1
服从分布 。
5. 设总体),(~2σμN X ，2,σμ为未知参数，样本n X X X ,,,21 的均值和方差
分别为X 和2S ，则假设0:0:10≠↔=μμH H 的t 检验使用的统计量
=t 。
6. 假设1225,,
,X X X 是从均匀分布(0,5)U 抽取的样本，那么样本均值X 的渐近分布
是 。
7. 单因素方差分析中，假设因子有3个水平，每个水平下重复4次试验。
现已知
每个水平下试验结果的样本标准差分别为, 和，则误差平方和等于 。
8. 设总体X ~),(2σμN ，已知σ=σ0，要使总体均值μ的置信水平为1-α的置
信区间的长度不大于l ，则需要的样本容量至少为 。
9. 设n X X X ,,,21 是来自二点分布(1,)b p 的一个样本，则p 的极大似然估计
为 。
10. 设129,,
,X X X 是来自正态总体(,0.36)N μ的一个随机样本。
经计算，样本均
值等于5，则μ的95%的置信区间为 。
三、计算题（共60分）。
1（18分）. 设总体X 具有概率密度:
其中0>θ为未知参数,n X X X ,,,21 是来自X 的样本,n x x x ,,,21 是相应的样本观察值.
（1）求θ的最大似然估计量.
（2）求θ的矩估计量.
（3）求得的估计量是否是无偏估计量.
2（12分）. 设n X X X ,,,21 来自某总体X 的一个简单随机样本（50>n ），X 的均值θ为未知参数，方差2σ已知。
请用大样本方法给出θ的置信度α-1的置信区间。
3（16分）. 设总体X 服从指数分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-,
,0,
0,1)(/其它x e x f x θθ0>θ未
知.从总体中抽取一容量为n 的样本.,,,21n X X X 利用结论.
)2(~22n X
n χθ
（1）求θ的置信水平为α-1的置信区间。
（2）利用上题的置信区间，试给出假设检验问题0100::θθθθ≠↔=H H 的显着性
水平为α为拒绝域.
4（14分）. 在一项调查中，研究者想要了解房屋装修情况对房屋价格（单位：万元/平方米）的影响。
为此调查了30间粗装修，35间精装修和35间毛坯房的价格情况。
现对每种房屋的价格进行方差分析，得到的部分计算结果如下表所示。
请回答：（05.0=α）
表3: 方差分析表
（1）写出上述方差分析表所检验问题的原假设和备择假设。
（2）请补充填写上面方差分析结果表中的所有空格部分。
（3）不同装修情况的房屋价格是否有显着差异为什么。