体的半径分别为R和r,质量分别为M和m．绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和m2相
连,m1和m2则挂在圆柱体的两侧,如3-8图所示．设R＝0.20m,r＝0.10m,m＝4 kg,M＝10
kg,m1＝m2＝2 kg,且开始时m1,m2离地均为h＝2m．求：
(1)柱体转动时的角加速度；
(2)两侧细绳的张力．
2
1( J
2mr
2)
0
2
0
2
2
0
1
1
(5
2 4
0.22)
122
(5 2
4 0.82)
(2 )2
2
2
＝183J
3-18如3-20图所示,质量为M,长为l的均匀直棒,可绕垂直于棒一端的水平轴O无摩擦地转动,它原来静止在平衡位置上． 现有一质量为m的弹性小球飞来,正好在棒的下端与棒垂
直地相撞．相撞后,使棒从平衡位置处摆动到最大角度30°处．
L2
m2
vr sin 30
1m1r2
2
2
v
1
2
故有
m2vr sin60 m22r sin30
2m1r
可解得：
(2 3 1)m2v
2m1r
3-16
一人站在一匀质圆板状水平转台的边缘
,转台的轴承处的摩擦可忽略不计
,人的质量
为m',转台的质量为
10m',半径为R.最初整个系统是静止的,这人把一质量为
m的石子
2
mv
6m'R
人的线速度为vR
mv
6m'
其中负号表示转台角速度转向和人的线速度方向与假设方向相反-
3-17一人站在转台上,两臂平举,两手各握一个m
4kg,哑铃距转台轴
r0
0.8m,起初转
台以
0
2
rad/s
的角速度转动
然后此人放下两臂
使哑铃与轴相距
r
0.2m,
设人与转
,
,
台的转动惯量不变
,且J 5kg
第三章刚体力学习题答案
3-1如图3-1示,一轻杆长度为2l,两端各固定一小球,A球质量为2m,B球质量为m,杆可绕过中心的水平轴O在铅垂面内自由转动,求杆与竖直方向成
角时的角加速度.
图3-1
解：系统受外力有三个，即A，B受到的重力和轴的支撑作用力，轴的作用力对轴的力
臂为零，故力矩为零，系统只受两个重力矩作用.以顺时针方向作为运动的正方向，则A
是v1＝×104m·s-1,它离太阳最远时的速率是
v2＝×102m·s-1，这时它离太阳的距离r2为
多少(太阳位于椭圆的一个焦点.)
解:
哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；
又由于
哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有
r1mv1
r2mv2
∴
r2
r1v1
向成230的方向反弹,求盘获得的角速度.
图3-15
解：对于盘和子弹组成的系统，撞击过程中轴O的支撑力的力臂为零，不提供力矩，其他
外力矩的冲量矩可忽略不计，故系统对轴O的角动量守恒，即
L1L2，初时盘的角动量为零，只有子弹有角动量，故
L1m2vr sin 60
末态中盘和子弹都有角动量，设盘的角速度为，则
(1)此后圆盘还能继续转动多少时间
(2)上述过程中摩擦力矩所做的功.
解：（1）撤去外力后，盘在摩擦力矩
Mf作用下停止转动-设盘质量密度为
m
2，则
R
有
Mf
R
g 2
r2dr
2mgR
0
3
根据转动定律
Mf
, J
1
2
4 g
J
mR
3R
2
t
0
3R
0
4g
（2）根据动能定理有
摩擦力的功Wf
01J
2
0
21mR2
0
2
4
3-5如题3-6图所示,一匀质细杆质量为m,长为l,可绕过一端O的水平轴自由转动,杆于
动，其转动动能为
J
2.将势能零点取在地面上，初始时刻圆柱体的势能为
Mgh，由于
2
圆柱体只滚不滑而下，摩擦力为静摩擦力，对物体不做功，只有重力做功，机械能守恒，
于是有Mgh
1Mv2
1J2
1
2
2
式中J
Mr2,v
r，代入上式得
2
Mgh
1
( Mr21
Mr2)
2
2
2
即
2
gh
r
3
3-9一个轻质弹簧的倔强系数
k
2.0N/m,它的一端固定,另一端通过一条细绳绕过一个
2
N
2
75
3-8
一质量为M、半径为r的圆柱体,在倾斜
角的粗糙斜面上从距地面
h高处只滚不滑
而下,试求圆柱体滚止地面时的瞬时角速度
.
解： 在滚动过程中，圆柱体受重力
Mg和斜面的摩
擦力F作用，设
圆柱体滚止地面时，质心在瞬时速
率为v，则此时质心的平动动能为
1
Mv2，与此同时，圆柱体以角速度
绕几何中心轴转
1
2
8.75
1010
5.46
104
5.26
1012m
v2
9.08
102
3-12
平板中央开一小孔
,质量为m的小球用细线系住
,细线穿过小孔后挂一质量为
M1的重
物．小球做匀速圆周运动
,当半径为r0时重物达到平衡． 今在M1的下方再挂一质量为M2
的物体,如3-14图．试问这时小球做匀速圆周运动的角速度
和半径r为多少
碰撞时间极短.已知小滑块在碰撞前后的速度分别为V1和V2,如图示,
求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间（已知棒绕O
点的转动惯量J
1
ml1
2）.
图3-12
3
解：对棒和滑块组成的系统， 因为碰撞时间极短， 所以棒和滑块所受的摩擦力矩远小于相互间的冲量矩， 故可认为合外力矩为零， 所以系统的角动量守恒， 且碰撞阶段棒的角位移
(1)设这碰撞为弹性碰撞,试计算小球初速v0的值；
(2)相撞时小球受到多大的冲量
图18
解:(1)设小球的初速度为v0，棒经小球碰撞后得到的初角速度为，而小球的速度变为
v，按题意，小球和棒做弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：
0.2
2
0.1
2
9.8
1
0.202
1
0.102
0.202
0.102
10
4
2
2
2
2
6.13 rad s2
(2)由①式
T2
m2r
m2g
2
0.10
6.13
2
9.8
20.8N
由②式
T1
m1g
m1R
2
9.8
2 0.2.
6.13
17.1N
3-7
一风扇转速为900r/min,当马达关闭后,风扇均匀减速,止动前它转过了
质量为4m,半径为2r,最初静止,如图所示,两飞轮啮合后,以同一速度 转动,求 及啮合过程中机械能的损失.
图3-14
解：以两飞轮组成的系统为研究对象，由于运动过程中系统无外力矩作用，角动量守恒，有
1mr2
0
1mr2
14m(2r )2
2
2
2
1
得0
17
初始机械能为W1
1 1mr2
0
2
1mr2
0
2
2 2
4
水平地沿转台的边缘的切线方向投出
,石子的速率为v（相对于地面）.求石子投出后转
台的角速度与人的线速度.
解：以人、转台和石子组成的系统为研究对象，由于系统无外力矩作用，角动量守恒，
设转台角速度的转向与投出的石子速度v方向一致，初始时系统角动量为零，得
JmRv0
人和转台的转动惯量J110m'R2m'R2，代入上式后得
忽略不计，由角动量守恒得
m2v1l
m2v2l
1ml12
3
碰撞后在在转动过程中棒受到的摩擦力矩为
M
t
gm1dx
1
m gl
f
0
l
2
1
由角动量定理得转动过程中
t
1
m1l2
Mfdt
0
0
3
联立以上三式解得：
t
2m2V1
V2
m1g
3-11
哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为
r1＝×1010m时的速率
球受力矩为正，B球受力矩为负，两个重力的力臂相等为dl sin，故合力矩为
M2mgl sinmgl sinmgl sin
系统的转动惯量为两个小球（可视为质点）的转动惯量之和
J2ml2ml23ml2
应用转动定律
M J
有：mgl sin
3ml2
解得
g sin
3l
3-2计算题3-2图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体
3-13如图示,长为l的轻杆,两端各固定质量分别为m和2m的小球,杆可绕水平光滑轴
在竖直平面内转动,转轴O距两端的距离分别为l / 3或2l /3.原来静止在竖直位置.今
有一质量为m的小球,以水平速度v0与杆下端的小球m做对心碰
撞,碰后以v0/ 2的速度返回,试求碰撞后轻杆所获得的角速度
.
图3-13