第5讲指数与指数函数
[考纲]
1．了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底
数为2,3,10，1
2，
1
3的指数函数的图象．
4．体会指数函数是一类重要的函数模型.
知识梳理1．根式
(1)根式的概念
①n
a n＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧a，n为奇数，
|a|＝
⎩
⎨
⎧a，a≥0，
－a，a＜0，
n为偶数．
②(n
a)n＝a.
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①零指数幂：a0＝1(a≠0)．
②负整数指数幂：a－p＝1
a p(a≠0，p∈N
*)；
③正分数指数幂：a n m＝n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
④负分数指数幂：a
n
m -＝
a
n
m 1
＝
1n
a m
(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；
⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质
辨 析 感 悟
1．指数幂的应用辨析 (1)(4
－2)4＝－2.( )
(2)(教材探究改编)(n
a n )＝a .( ) 2．对指数函数的理解
(3)函数y ＝3·2x 是指数函数．( ) (4)y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a x 是R 上的减函数．( )
(5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，
无论在y 轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小．( )
(6)(2013·金华调研改编)已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是(1,5)．( )
[感悟·提升]
1．“n a n ”与“⎝⎛⎭⎫n a n ”的区别 当n 为奇数时，或当n 为偶数且a ≥0时，n a n ＝a ，当n 为偶数，且a ＜0时，n a n ＝－a ，而(n
a )n ＝a 恒成立．如(1)中4－2不成立，(2)中
6
(－2)2
＝3
2≠
3
－2.
2．两点注意 一是指数函数的单调性是底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论，如(4)；
二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y 轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大．如(5).
考点一 指数幂的运算
【例1】 (1)计算：
()()()
2
0.53
2
11322
34350.0080.020.3289--⎡⎤⎢⎥
-+÷⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭÷0.062 50.25；
(2)若12
x ＋12
x -＝3，求332
2
2
2
2
3
x x x x
-
-++++的值．
规律方法 进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．需注意下列问题：
(1)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示；(2)应用平方差、完全平方公式及a p a －p ＝1(a ≠0)简化运算．
考点二 指数函数的图象及其应用
【例2】 (1)(2014·郑州模拟)已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )．
(2)下列各式比较大小正确的是( )． A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62 C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1
规律方法 (1)对指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．
(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．
【训练2】 已知实数a ，b 满足等式2 011a ＝2 012b ，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
考点三 指数函数的性质及其应用
【例3】 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12x 3. (1)求函数f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的奇偶性； (3)求证：f (x )＞0.
规律方法 (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小．
(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可.
【训练3】 已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b
2x ＋1＋a 是奇函数．
(1)求a ，b 的值；
(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.
1．判断指数函数图象的底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．
2．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成． 3．画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，1a . 4．熟记指数函数y ＝10x ，y ＝2x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x 在同一坐标系中图象的相对
位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系．
营养餐
忽略讨论及验证致误
【典例】 (2012·山东卷)若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.
【自主体验】
当x ∈[－2,2]时，a x <2(a >0，且a ≠1)，则实数a 的范围是( )． A ．(1，2) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，1
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫
22，1∪(1，2) D ．(0,1)∪(1，2)
自助餐
基础巩固题组
一、选择题
1．函数y ＝a x
－1
a (a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )．
2．(2014·陕西质检三)函数y ＝2x －2－x 是( )． A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
3．(2014·济南一模)若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则( )． A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞b ＞a D ．b ＞c ＞a
4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1
b ＝2，则m 等于( )． A.10 B ．10 C ．20 D ．100
5．函数y ＝a x －b (a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为( )．
A ．(1，＋∞)
B ．(0，＋∞)
C ．(0,1)
D ．无法确定 二、填空题 6.
a 3a ·5a 4
(a ＞0)的值是________．
7．(2013·盐城模拟)已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．
8．函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a
2，则a 的值为________． 三、解答题
9．设f (x )＝e －x a ＋a
e －x 是定义在R 上的函数．
(1)f (x )可能是奇函数吗？ (2)若f (x )是偶函数，求a 的值．
10．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．
能力提升题组
一、选择题
1．(2014·惠州质检)设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )，则下列关系式中一定成立的是( )． A ．3c ＞3b B ．3b ＞3a C ．3c ＋3a ＞2 D ．3c ＋3a ＜2
2．(2014·杭州质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减
函数，则实数a 的取值范围是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1
3， 611 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，611 二、填空题
3．已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧
e 2x
(x ＞0)，
e a －x (x ＜0)，
若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为
________． 三、解答题
4．已知函数f (x )＝.
(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．。