b
ax2
(b
1)x
1
2a
b
b
1
1
因此：f ( x)＝1x2
1x
a
0
a
b
a
b
1
2
2
2
(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解
设
u
x 1
(x 0),
x u 1
(u 1)
f (u)
(u
1)2
2(u 1)
u2
1
( u
1)∴f ( x)＝x2
1（x 1）
（3）由于f (x)为抽象函数，可以用消参法求解
的取值范围．
解：①当B≠
时，即p＋1≤2p－1 p≥2.由B A得：－2≤p＋1且2p－1≤5.
由－3≤p≤3.∴2≤p≤3
②当B=时，即p＋1>2p－1
p＜2.
由①、②得：p≤3.
点评 ：从以上解答应看到：解决有关
A∩B=、A∪B=，A
B等集合问题易忽视空集
的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故
a≠0．
∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．
（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，∵a≠0，∴2c2－c－1=0，
即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－1．
2
（3）若f ( x)满足f (x)
2 f (
1
ax,求f ( x)
)
x
解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解
设f (x)＝ax2
bx
c
( a
0)由于f (0)
0得f (x)
ax2
bx，
又由f ( x
1)
f ( x)
x
1，∴a( x
1)2
b(x
1) ax2
bx
x
1
即ax2
(2 a
b) x
a
2
2
综上得2<x<
6,即A={x|2<x<6},
∴x－3>3－x,即
x+x－6>0,解得x>2或x<－3,
16作出下列函数的图像
(1)y=|x-2|(x
＋1)；(2)y
10|lg x|.
分析： 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还
应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.
2
y
∈(－1,1)都有
f
(
)+
f
(
y
)=
f
(
x
y),
试证明：
x
1xy
(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减
解 ：证明：
(1)由
f
(
x
)+
(
y
)=
(x
y),令
= =0,
得
f
(0)=0,令
y
=－
x
,得
f
( )+
(－
f
f
1
xy
x y
x f
x)=f(x
x
)=f(0)=0.
∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.
x1x2, f ( x1)
f ( x2)
ax1
1
ax2
1
x1
2
x2
2
(ax1
1)(x2
2)
(ax2
1)(x1
2)
( x1
2)( x2
2)
(ax1x2
2ax1
x2
2)
( ax1x2
2ax2x1
2)
(x1
2)(x2
2)
2ax1
x1
2ax2
x2
(2a
1)(x1
x2)
( x1
2)(x2
2)
( x1
2)( x2
f (0)
1,并且对任意的实数
x, y都有
f ( x y)
f ( x)
y(2 x
y 1)，求f ( x)的表达式.
解法一 ：由f (0)
1, f ( x
y)
f ( x)
y(2 x
y
1)，设x
y，
得f (0)
f ( x)
x(2 x
x
1)，所以f ( x)＝x2
x 1
解法二 ：令x
0，得f (0
y)
f (0)
∴0<x2
x1<1,由题意知
f(x2
x1)<0，
1
x2x1
1
x1x2
即f(x2)<f(x1).
∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.
∴f(x)在(－1，1)上为减函数.
点评 ：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想
.对函数的奇偶性、
单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高.
y(
y
1)
即f ( y)
1 y(
y 1)
又将
y用x代换到上式中得
f (x)＝x2
x
1
点评 ：所给函数中含有两个变量时，
可对这两个变量交替用特殊值代入，
或使这两个变量相
等代入，再用已知条件，可求出未知的函数
.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.
12判断函数f ( x)(1x)
1x
1x
的奇偶性.
解：f ( x)
=2＋1}、{
|
=
2
x y
x
y
y
x
＋1,x∈R}、{(x,y)|
y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．
2 .已知A={x|
x2－3x
＋2=0},B={
x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．
解：∵A∪B=A
∴B
A又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或1或2
∴C={0，1，2}
解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，
当x＜2时，即x-2＜0时，
( x
1)2
9
( x
2)
所以y
2
4
1)2
9
(x
( x
2)
2
4
这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)
(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10lgx=x；
当0＜x＜1时，lgx＜0，
所以
这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)
点评： 作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要
特别注意x，y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、
二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.
17若f(x)=
ax
1在区间（－
2，＋
）上是增函数，求
a的取值范围
x
2
解：设2
a
a
1
a
①若a=
1
,即a2-a+1=0，方程无解，∴a≠
1
a
1
a
1
②若a=1－1，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－
1
a
a
③若1－1=
1
，即a2-a+1=0，方程无解∴
1－1≠
1
.
a
1 a
a
1
a
综上所述，集合
A中至少有三个不同的元素.
点评 ：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨
.
7设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；
5已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．
分析 ：要解决c的求值问题， 关键是要有方程的数学思想，
此题应根据相等的两个集合
元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．
解：分两种情况进行讨论．
（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，
2
3x2
y2
0,
3x
0,
0
x
2.
2
又x2
y2
x2
3x2
3x
1(x 3)2
9,
2
2
2
当x
2时，x2
y2有最大值，最大值为
1(2
3)2
9
4.
2
2
点评 ：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性
.大部分学生的作法如下：
由3x2
2 y2
6x得y2
3x2
3x,
2
x2
y2
x2
3x2
3x
1(x 3)2
9,
2
2
f ( x
1)的定义域
解
：由于函数f (x)的定义域为[0，1]，即0
x
1∴f ( x 1)满足0 x 1 1
1
x 0，∴f ( x 1)的定义域是[－1，0]
9根据条件求下列各函数的解析式：
（1）已知f (x)是二次函数，若f (0)0, f (x1)f ( x)x1，求f (x).
（2）已知f (x1)x2x，求f ( x)
1
x2
(2)