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高一数学求函数的定义域与值域的常用方法教案

一. 教学内容:求函数的定义域与值域的常用方法求函数的解析式,求函数的定义域,求函数的值域,求函数的最值二. 学习目标1、进一步理解函数的定义域与值域的概念;2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式;3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值;4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题,重视函数单调性在确定函数最值中的作用;5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题;6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。

三. 知识要点(一)求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是y=f(x),不能把它写成f(x,y)=0;2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形;3、求函数解析式的一般方法有:(1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y。

(2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;(3)换元法:若给出了复合函数f[g(x)]的表达式,求f(x)的表达式时可以令t=g (x),以换元法解之;(4)构造方程组法:若给出f(x)和f(-x),或f(x)和f(1/x)的一个方程,则可以x代换-x(或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(-x)(或f(1/x))即可求出f(x)的表达式;(5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。

(二)求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等;4、对复合函数y=f[g(x)]的定义域的求解,应先由y=f(u)求出u的范围,即g(x)的范围,再从中解出x的范围I1;再由g(x)求出y=g(x)的定义域I2,I1和I2的交集即为复合函数的定义域;5、分段函数的定义域是各个区间的并集;6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明;7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域;(三)求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示;2、在函数f:A→B中,集合B未必就是该函数的值域,若记该函数的值域为C,则C是B 的子集;若C=B,那么该函数作为映射我们称为“满射”;3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集;4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述;5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集;6、求函数值域的方法十分丰富,应注意总结;(四)求函数的最值1、设函数y=f(x)定义域为A,则当x∈A时总有f(x)≤f(x o)=M,则称当x=x o时f (x)取最大值M;当x∈A时总有f(x)≥f(x1)=N,则称当x=x1时f(x)取最小值N;2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题;3、闭区间的连续函数必有最值。

【典型例题】考点一:求函数解析式1、直接法:由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。

例1. 已知函数y=f(x)满足xy<0,4x2-9y2=36,求该函数解析式。

解:由4x2-9y2=36可解得:3333xyx⎧->⎪⎪==⎨⎪<-⎪⎩。

说明:这是一个分段函数,必须分区间写解析式,不可以写成3y=±的形式。

2、待定系数法:由题给条件可以明确函数的类型,从而可以设出该类型的函数的一般式,然后再求出各个参变量的值。

例2. 已知在一定条件下,某段河流的水流量y 与该段河流的平均深度x 成反比,又测得该段河流某段平均水深为2m 时,水流量为340m 3/s ,试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。

解:设ky x =,代入x ,y 的值可求得反比例系数k =780m 3/s ,故所求函数关系式为780,0y x x =>。

3、换元法:题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换。

例3. 已知2211()x x x f x x +++=,试求()f x 。

解:设1x t x +=,则11x t =-,代入条件式可得:2()1f t t t =-+,t≠1。

故得:2()1,1f x x x x =-+≠。

说明:要注意转换后变量范围的变化,必须确保等价变形。

4、构造方程组法:对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个方程,联立求解。

例4. (1)已知21()2()345f x f x x x +=++,试求()f x ;(2)已知2()2()345f x f x x x +-=++,试求()f x ; 解:(1)由条件式,以1x 代x ,则得2111()2()345f f x x x x +=++,与条件式联立,消去1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则得:()222845333x f x x x x =+--+。

(2)由条件式,以-x 代x 则得:2()2()345f x f x x x -+=-+,与条件式联立,消去()f x -,则得:()2543f x x x =-+。

说明:本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数的定义域由解析式确定,不需要另外给出。

5、实际问题中的函数解析式:这是高考的一个热点题型,一般难度不大,所涉及知识点也不多,关键是合理设置变量,建立等量关系。

例5. 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点B 出发,顺次经过C 、D 再到A 停止。

设x表示P 行驶的路程,y 表示PA 的长,求y 关于x 的函数。

解:由题意知:当x ∈[0,1]时:y =x ;当x ∈(1,2)时:21y x =+ 当x ∈(2,3)时:()231y x =-+故综上所述,有[]()22,0,11,(1,2]31,(2,3]x x y x x x x ⎧∈=+∈-+∈考点二:求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域:由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围,所以解题时要认真分析变量所在的位置;最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。

例6. 求324x y x x +=+-的定义域。

解:由题意知:204x x +>⎧⎪⎨≠⎪⎩,从而解得:x>-2且x ≠±4.故所求定义域为:{x|x>-2且x ≠±4}。

2、求分段函数的定义域:对各个区间求并集。

例X1234 5 6 Y 22 3 14 35-617解:{1,2,3,4,5,6}。

3、求与复合函数有关的定义域:由外函数f (u )的定义域可以确定内函数g (x )的范围,从而解得x ∈I 1,又由g (x )定义域可以解得x ∈I 2.则I 1∩I 2即为该复合函数的定义域。

也可先求出复合函数的表达式后再行求解。

()()(())f x g x y f g x ===例8 已知求的定义域.解:()3()33f x x g x =≥⇒≥⇒≥*由又由于x 2-4x +3>0 ** 联立*、**两式可解得:1313x x x x x ≤<<≤⎧⎪≤<<≤⎨⎪⎪⎩⎭或故所求定义域为或例9. 若函数f (2x )的定义域是[-1,1],求f (log 2x )的定义域。

解:由f (2x )的定义域是[-1,1]可知:2-1≤2x ≤2,所以f (x )的定义域为[2-1,2],故log 2x ∈[2-1,2]4x ≤≤,故定义域为⎤⎦。

4、求解含参数的函数的定义域:一般地,须对参数进行分类讨论,所求定义域随参数取值的不同而不同。

例10.求函数()f x =解:若0a =,则x ∈R ;若0a >,则1x a ≥-; 若0a <,则1x a≤-;故所求函数的定义域:当0a =时为R ,当0a >时为1|x x a ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭,当0a <时为1|x x a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭。

说明:此处求定义域是对参变量a 进行分类讨论,最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式,必须根据a 的不同取值范围分别论述。

考点三:求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法十分丰富,下面通过例题来探究一些常用的方法;随着高中学习的深入,我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。

1、分离变量法例11. 求函数231x y x +=+的值域。

解:()2112312111x x y x x x +++===++++,因为101x ≠+,故y≠2,所以值域为{y|y≠2}。

说明:这是一个分式函数,分子、分母均含有自变量x ,可通过等价变形,让变量只出现在分母中,再行求解。

2、配方法例12. 求函数y =2x 2+4x 的值域。

解:y =2x 2+4x =2(x 2+2x +1)-2=2(x +1)2-2≥-2,故值域为{y|y≥-2}。

说明:这是一个二次函数,可通过配方的方法来求得函数的值域。

类似的,对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解,如y =af 2(x )+bf (x )+c 。

3、判别式法例13. 求函数2223456x x y x x ++=++的值域。

解:2223456x x y x x ++=++可变形为:(4y -1)x 2+(5y -2)x +6y -3=0,由Δ≥0可解得:26267171y ⎡-+∈⎢⎣⎦。

说明:对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解,可以考虑采用此法。

要注意两点:第一,其定义域一般仅由函数式确定,题中条件不再另外给出;如果题中条件另外给出了定义域,那么一般情况下就不能用此法求解值域;第二,用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集,所以将原函数变形为一个关于x 的一元二次方程后,该方程的解集就是原函数的定义域,故Δ≥0。

4、单调性法例14. 求函数23y x -=+,x ∈[4,5]的值域。

解:由于函数23y x -=+为增函数,故当x =4时,y min =25;当x =5时,y max =513,所以函数的值域为513,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

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