教学目标 1、相似三角形的判定定理
2、利用相似三角形的性质及判定解题 重点、难点 1、相似三角形的判定定理 2、平行线分线段成比例定理 考点及考试要求
1、相似三角形的性质及判定
2、利用相似三角形的性质及判定解题
教 学 内 容
第一课时 相似三角形知识梳理
⒈若AB=1m ，CD=25cm ，则AB ∶CD= ；若线段AB=m, CD=n ，则AB ∶CD= .
⒉若MN ∶PQ=4∶7，则PQ ∶MN= ， MN= PQ ，PQ= MN 。

3.已知4x －5y=0，则（x ＋y ）∶（x －y ）的值为 ．
4.若x ∶y ∶z=2∶7∶5，且x －2y ＋3z=6，则x= ，y= ，z= ；
5.已知点C 是线段AB 的黄金分割点,且AC>BC,则AC ∶AB= .
1预备定理
一
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）
二
课前检测
知识梳理
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

三
如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,
那么这两个三角形相似。

四
如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似
五（定义）
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
六
两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。

七
两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。

八
由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc
九（易失误）
比值是一个具体的数字如：AB/EF=2
而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1
2一定相似
1.两个全等的三角形
全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1
2.任意一个顶角或底角相等的两个等腰三角形
两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。

3.两个等边三角形
(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)
4.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形
3判定定理
基本判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

)
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。

直角三角形判定
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成
比例，那么这两个直角三角形相似。

性质定理
(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

4定理推论
推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

两角夹一边对应相等(ASA)
两角一对边对应相等(AAS)
两边及夹角对应相等(SAS)
三边对应相等(SSS)
直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL)
两角对应相等
两边对应成比例，且夹角相等
三边对应成比例
直角三角形中斜边与一直角边对应成比例
第二课时相似三角形典型例题
类型一、相似三角形的概念
例1．判断对错：
(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？
(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？
(3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？
(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？
(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？
思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件.
【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗？
【变式2】下列能够相似的一组三角形为( )
A.所有的直角三角形
B.所有的等腰三角形
C.所有的等腰直角三角形
D.所有的一边和这边上的高相等的三角形
类型二、相似三角形的判定
例2．如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.
典型例题
思路点拨：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线找相似三角形.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD∥BC，
∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.
∴△BEF∽△CDF∽△AED.
∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；
当△CDF∽△AED时，相似比.
例3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？
思路点拨：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边AC和DE，再看三边是否对应成比例.
解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°.
由勾股定理得.
在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°.
由勾股定理，得.
在△ABC和△EDF中，，，，
∴，
∴△ABC∽△EDF(三边对应成比例，两三角形相似).
例4．如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举.
思路点拨：此题属于探索问题，由相似三角形的识别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，
要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可.
解：当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC.
条件一：∠1=∠B.
条件二：∠2=∠ACB.
条件三：，即.
【变式1】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．
求证：△ADQ∽△QCP．
思路点拨：因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，
所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下：
【变式2】已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．
求证：△DFE∽△ABC．
思路点拨：EF为△ABC的中位线，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DE=AB，DF=AC．因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似．
师生小结
1.本节课我们学习了：
2.你学到了什么？
第三课时相似三角形课堂检测
课堂检测
1．(2010年广西桂林)如图X6－4－1，已知△ADE与△ABC的相似比为1∶2，则△ADE与△ABC的面积比为( )
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
2．若两个相似三角形的面积之比为1∶16，则它们的周长之比为( )
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶16
3．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的为( )
A．1,2,3,4 B．1,2,2,4 C．3,5,9,13 D．1,2,2,3
4．(2011年湖南怀化)如图1，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的值为( ) A．9 B．6 C．3 D．4
5．若△ABC∽△DEF，它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式中一定成立的是( ) A．3AB＝4DE B．4AC＝3DE
C．3∠A＝4∠D D．4(AB＋BC＋AC)＝3(DE＋EF＋DF) 图1 6．如果△ABC∽△A′B′C′，BC＝3，B′C′＝1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比为( ) A．5∶3 B．3∶2 C．2∶3 D．3∶5
7．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；
④所有的矩形都相似．其中说法正确的序号是________________．
8．如果两个相似三角形的相似比是3∶5，周长的差为4 cm，那么较小三角形的周长为________cm. 9．如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线
MN交AC于点O.
(1)求证：△COM∽△CBA；
图2
(2)求线段OM的长度．
10．如图3，已知四边形ABCD是平行四边形．
(1)求证：△MEF∽△MBA；
(2)若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF＝EC.
图3
11．已知如图4，在矩形ABCD中，E是BC上一点，F是BC的延长线上一点，且BE＝CF，BD与AE相交于点G.
求证：(1)△ABE≌△DCF；
(2)CF·AE＝BF·GE.
图4 12．如图5，已知在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD.。