一族时间t 的函数。 (2) 对应于一定随机试验样本空间的随机变量与时间t 无关；而随机
序列则与时间密切相关。 (3) 随机变量描述事物在某一特定时点上的静态；随机序列描述事物
发展变化的动态。
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1.2 时间序列的特点
1.2.3 随机序列的现实： 对于一个随机序列{xt }，一般只能通过记录或统计得到一个它的样本 {x1, x2,, xn}，称它为随机序列{xt}的一个现实。随机序列的现实是一族 非随机的普通数列。
3）混合模型
yt St Tt • Ct • Rt
其中， yt 是观测目标的观测记录，且 E(Rt ) 0，E(Rt2 ) 2。
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1.1 时间序列
(2) 线性时间序列模型 1）自回归滑动平均（ARMA）模型 2）自回归综合滑动平均（ARIMA）模型 3）季节性（SEASON）模型
(3) 非线性时间序列模型 1）自激励门限自回归（SETAR）模型 2）双线性（BL）模型 3）指数自回归（EAR）模型
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1.4 时间序列分解
(1) 以线性趋势求趋势分量T 。用移动平均TC 对时间t 进行回归，回 归模型是
TC 0 1t u 则TC 的线性拟合值TˆC 就是趋势分量T 。上式中，0和1为回归系数， u 为误差
TC ˆ0 ˆ1t uˆ TˆC uˆ 式子，ˆ0和ˆ1为线性拟合系数，uˆ 为误差估计。则
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1.1 时间序列
1.1.3 时间序列模型
时间序列模型就是利用时间序列中的相关信息建立起来的，因而
它是序列动态性和发展变化的规律的描述，我们可以建立时间序列模
型来对时间序列的未来取值进行预测：
(1) 确定型时间序列模型
1）加法模型
yt Tt St Ct Rt
2）乘法模型
yt Tt • St • Ct • Rt
(1) 确定性序列； (2) 随机序列
随机序列又可以分为平稳随机序列、非平稳随机序列、方差平稳 序列、弱依赖时间序列和具有趋势的时间序列
2． 平稳性定义 定义 1：如果一个时间序列的概率分布与时间t 无关，则称该序列为严
格的（狭义的）平稳时间序列。
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1.1 时间序列
定义 2：如果序列的一阶、二阶矩存在，而且对任意时刻t 满足： (1) 均值为常数； (2) 协方差为时间间隔的函数。
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1.5 时间序列分析的相关特征量
1.5.1 绝对数时间序列的平均数
由于绝对数时间序列由时期序列和时点序列之分，时间序列平均数的
计算方法也有所区别。
对于时期序列，时间序列平均数计算公式为
Y
Y1 Y2 Yn n
1
n
n i1
Yi
对于序列中的各个观察值是在某个瞬间时点上取得的，由于各观测点
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1.4 时间序列分解
时间序列分解步骤可归纳如下： (1) 通 过 数 据 平 滑 （ 如 k 期 移 动 平 均 ） 把 原 序 列 Y 分 离 为 TC 和
SI Y /TC （数据减少k 1）： TC yt yt1 ytk1 ， t 1,2,,T k 1 k
(2) 通过利用趋势循环分量（TC ）对时间t 拟合，求出长期趋势T ： T TˆC ˆ0 ˆ1t ，
是每年或固定时间段内重复出现的规律（S）。 (3) 循环变动主要指趋势曲线在长期时间内呈现摆动的现象（C）。 (4) 不规则变动（不规则因子）所关心的是变量变动的不可预测性。它反映
的是由于随机或偶然事件引起的间断处的变化，入国家经济政策的改 革、劳工纠纷、自然灾害或企业内部的人事变动等。 在数据拟合时，应先剔除不规则变动，然后再进行拟合（R）。
T TˆC ˆ0 ˆ1t
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1.4 时间序列分解
2、 循环分量（C ） 用移动平均平滑序列，所得到结果为趋势循环分量TC 。用回归
方法求出趋势分量T 。用T 除TC 得循环分量C ： C TC T
3、 季节分量（S ） 在时间序列中季节分量是很常见的，如四季气候变化引起人们
日常生活的一定变动；风俗习惯也呈现季节性变动（如圣诞节、 春节期间内某些商品销量大增）。季节分量常用季节性指数表示。
记录（观察到的历史数据），建立能够比较精确地反映时间
序列中所包含的动态依存关系的数学模型，来评价事物的现
状和估计事物的未来变化，并以此对系统的未来行为进行预
报。
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1.3 时间序列分析的概念和特征
1.3.2 时间序列分析的特征 1、 事物发展具有持续性 由于时间序列分析法是根据序列过去的变化趋势预测未来发展 变化的，因此其前提是假定事物发展具有持续性。 2、 时间序列数据存在着趋势 (1) 水平变动趋势 (2) 长期变动趋势 (3) 季节变动趋势 (4) 不规则变动趋势
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1.2 时间序列分析的概率和特征
1.2.3 随机序列的现实： 对于一个随机序列{xt }，一般只能通过记录或统计得到一个它的样本 {x1, x2,, xn}，称它为随机序列{xt}的一个现实。随机序列的现实是一族 非随机的普通数列。
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1.3 时间序列分析的概念和特征
1.3.1 时间序列分析的概念
这种有时间意义的序列也称为动态数据
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1.1 时间序列
时间序列取值一般有两种方式：
(1) X 取值观测时间点处的瞬间值 (2) X 取值观测时间点期间的累计值
有些数据虽然不是时间序列，数据与时间无直接关系，但可以近 似看做时间序列。因此，时间序列的广义定义为：有先后顺序的数 据通称为时间序列。
中位数作为季节因子S 的初步值。
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1.4 时间序列分解
4、 不规则分量（I ） 不规则分量求法：用S 除SI ，可求出I ： I SI I 用T 与S 相结合的方法对时间序列Y 进行预测：用回归函数预测T ，
再与S 相乘，即可用来预测Y 。例如预测t 1期Y 的值， Yˆ Tt1St1
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1.5 时间序列分析的相关特征量
在时间序列中，常常需要计算时间序列的一些特征量，例如统计学 中常用的最大值、最小值、平均值等。下面介绍常用的一些特征量。
1.5.1 时间序列的平均数及其计算方法 若观察的时间范围为t1, t2 ,, tn ，相应的观察值表示为Y1,Y2 ,,Yn ，其
中Y1称为最初发展水平，Yn称为最末发展水平；若对两个观察值进行比 较，则把现在的这个时期称为报告期，用于比较的过去那个时期称为基 期。
1.1.1 时间序列定义 定义 1：时间序列就是一组统计数据，依其发生时间的先后顺序排成的 序列。 定义 2：同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的序列称为时间 序列。
定义 3：对某一个或一组变量 x(t) 进行观察测量，将在一系列时刻 t1 tn 所 得 到 的 离 散 数 据 组 成 的 序 列 集 合 {x(t1),, x(tn )}，称为时间序列，记为 X {x(t1),, x(tn )}。
定义 1：时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲
线拟合和参数估计来建立数学建模的理论和方法。
定义 2：时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构规律的
统计方法，是统计学科的一个分支，是用随机过程理论，用
于解决实际问题。其基本思想是根据系统的有限长度的运行
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1.4 时间序列分解
1.4.1 趋势分量、循环分量、季节分量、不规则分量的分离 1、 趋势分量（T ） 趋势分量求法：先求出移动平均序列，记为TC ，再确定趋势分 量T 。在求趋势分量T 之前，首先要观察其趋势特征。可以通过对 原时间序列Y 或移动平均序列TC 的观察，而获得初步信息。趋势 可分为线性和非线性两种。
用T 除TC ，求出循环分量C（C TC /T ），从而把TC 分离为T 和C
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1.4 时间序列分解
(3) 用季节不规则分量 SI 各周期中相同期的值的平均数并进行调整之 后作为S 分量值。
(4) 用S 除季节不规则分量SI ，求出不规则分量I ，把SI 分离为S 何I I SI S
(5) 用T 和S 两个分量对Yt 进行预测。
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1.1 时间序列
1.1.4 时间序列建模基本 (1) 用观测、调查、统计、抽样等方法取得被观测系统时间序列动态
数据； (2) 根据动态数据作相关图，进行相关分析，求自相关函数； (3) 辨别合适的随机模型，进行曲线拟合，即使用通用随机模型拟合
时间序列的观测数据。
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1.1 时间序列
1.1.5 时间序列分类 1．按时间函数的确定性划分
则该序列称为宽平稳时间序列。
（宽）平稳时间序列是指均值、方差和自回归函数不随时间变化的
时间序列。
当 时 间 序 列 {xt} 为 平 稳 随 机 过 程 时 ， 对 于 任 意 的 一 个 时 段
t1 t2 tm和h 1，(xt , xt ,, xt )的联合分布等同于(xt h , xt h ,, xt h )
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1.2 时间序列的特点
2．时间序列变动特点： (1) 趋势性。 (2) 周期性。 (3) 随机性。
随机性时间序列一般是局部为随机变动，而整体呈统计规律。 (4) 平稳性。
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1.2 时间序列的特点
1.2.2 随机变量 x与随机序列{x1, x2,, xn}的主要区别： (1) 随机变量是定义在样本空间上的一个单值实函数；随机序列则是
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1.2 时间序列的特点
1.2.1 时间序列的特点 1．时间序列的特点： (1) 序列中的数据或数据点的位置依赖于时间，即数据的取值依赖于 时间的变化。 (2) 每一时刻上的取值或数据点的位置具有一定的随机性，不可能完 全准确地用历史值预测。 (3) 前后时刻(不一定是相邻时刻)的数值或数据点的位置有一定的 相关性，这种相关性就是系统的动态规律性。 (4) 从整体上看，时间序列往往呈现趋势性或出现周期性变化的想象