故有（M m)V0 MVt m(Vt u)
mu Vt V0 M m
例7(书本例2.18)、一质量均
匀分布的柔软细绳铅直地悬挂
o
着，绳的下端刚好触到水平桌
面上，如果把绳的上端放开，
绳将落在桌面上。
试证明：在绳下落的过程中，
任意时刻作用于桌面的压力，
等于已落到桌面上的绳重量的
dt
dt 2
v
v
2 x

v
2 y
2
1t2 ,
a 2 (m/s 2 )
a

dv dt

2t 1 t2
2(m s-2 )
an
a 2 a2
2 1 t2
2(m s-2 )
【例2】一质点在xoy平面内作曲线运动，其加
速度是时间的函数。已知ax=2，ay=36t2 (m/s2)， 当 t=0时质点静止在坐标原点，求：
0
y
t
0 dy 0 vydt
t12t 3dt y 3t 2
0
(2)、消去时间得 y 3x2

r

t
2i

3t
4
j
(3)、v
v
2 x

v
2 y

4t 2
144t 6
a

dv dt

1 2
8t 864t 5 4t 2 144t 6
an
【例2】一质点在xoy平面内作曲线运动，其加速度是时间的函数。
已知ax=2，ay=36t2 (SI)，当 t=0时质点静止在坐标原点，求： ①此质点的运动方程；②此质点的轨迹方程；③此质点在任一时
刻的切向加速度和法向加速度。


x
dx
0

t 0
v x dt

t 2tdt x t 2
柔绳对桌面的冲力F＝－F’ 即：
F v2 M v2 而v2 2gx F 2Mgx/ L
L
而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L
所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
证法2：用密舍斯基方程
取主体为桌面上的绳子：m=M x/L ;流动物为dm= M dx/L 。
质点力学习题课
质点运动的问题分成两类： (1)、已知运动方程r(t ),求任一时刻的v、a， 解题方法是求导；
(2)、已知v、a及初始条件r0、v0求运动方程， 解题方法是积分
【例1】已知质点运动方程
r


2ti (4 t 2 ) j
(m)
求：①质点从 t =1s 到 t =2s 的平均速度；
①此质点的运动方程；②此质点的轨迹方程；
③质点在任一时刻的切向加速度和法向加速度。
解：(1)、由定义有
ax

dv x dt
vx 0
dv x

t
0 ax dt
t
2dt
0

vx

2t,
同理
vx 0
dv y

t
0 a y dt
t 0
36t
2 dt
v y
12t 3
同理可得
解：在与桶共转的参考系内液块
m受个个三力：重力mg，液面
对物块的支持力－N 和惯性离心
力m2r,合力为零，所以有：
N＝m(
g


2
r)
水面处处与N垂直，设 水面方程为：
z
A1 mr2 r z0 mg N
z z(r)
dz tan m 2r 2r
dr
利用密舍斯基方程：
F

(u

v)
dm

m
dv
dt dt
x
设向下为正方向，有：F mg N, u 2gx,
v 0, dm M dx M 2gx, dv 0.
dt L dt L
dt
则有： (mg N ) ( 2gx 0) dm 0
dt
F 3Mgx/ L 3mg
N
生切向的摩擦力 f
v
Байду номын сангаас
N

ma n

m
v2 R

f

ma

m dv dt
f N
v 2 dv dv dl
R dt dl dt
v dv
R

dl
v v0
0R
A B
R DC
f N
v
v v0e
例5、与水桶绕自身的铅直轴以角速度旋转， 当水与桶一起转动时，水面的形状如何？
u

2 v
v风对人
(v'
)

v风对地。如图所示。
西 v
v u
东
南
故有 cos1 v 600 ,人跑步方向应为南偏西600
u
质点力学习题课
牛顿定律的应用问题也分为两类：
(1)已知系统的受力，求解和物体的加速度 及相互作用力，用隔离体图法求解；
(2)、如受的力是变力F (t )、F (v)、F ( x)， 用牛顿定律的微分形式求解。
质点力学习题课
习题课的目的是培养一种良好的解题习惯和规范 化解题。解题的一般注意事项如下： ①在认真复习的基础上解题，解题过程中绝不能 对照例题； ②搞清题意，分清已知量、未知量，并用适当的 符号来表示，且每一个符号只能代表一个物理量； ③画出简练正确的示意图，建立坐标系，进行受 力分析，搞清各物理量之间的关系； ④选用最简便的定律或公式列方程（平时学习一 定要注意各种定律及公式的适用条件和范围）； ⑤列联立方程，先用字母符号运算，最后代入原 始数据。并对答案进行讨论。

dr

0
mg xdx
la l
Wf
mg (l a)2
2l
例8、（2）链条离开桌面时的速率是多少？
(2)对链条应用功能原理： x
l-a O
W f E
Wf
(1 mv2 mg l ) (0 m ag a )
2
2
l2
a
已求得：W f
mg (l a)2
a 2 a2
a
2 x

a
2 y
a2
.....
【例3】假定某日刮北风，风速大小为 u,一运动 员在风中跑步，他对地的速度大小为 v(v=u/2),
试问他向什么方向跑时，会感到风从他的正右方 吹来？
解：这类题的求解关键是画示意图 北
由题意可知：
v风对地

u,
v人对地
v,
x
三倍。
证法1：取如图坐标，设t 时
o
刻已有x 长的柔绳落至桌面，
随后的dt 时间内将有质量为
dx（Mdx/L)的柔绳以dx/dt的
速率碰到桌面而停止，它的
动量变化率为：
dP


dx

dx dt
x
dt
dt
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
F＝ dP


dx
dx dt
＝－v2
dt
dt
x
例8、一链条总长为L，质量为m。放在桌面上并使其
下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数
为，令链条从静止开始运动，则：（1）到链条离开
桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条
离开桌面时的速率是多少？
解：(1)建坐标系如图 x
l-a O
f mgx / l
a
Wf
f
mg
g
2
dz rdr g
z
r 2
dz
rdr
z0
0g
z

z0

2
2g
r2
z A1 mr2
r z0
mg N
Z0为中心水面高度。这是抛物线方程，由于轴对称性， 水面为旋转抛物面。
质点力学习题课
动量定理及动量守恒定律的解题方法和步骤：
1.确定研究对象；
2.分析物体受力，正确区分物体系统的内 力和外力；
2l
得v
g l
1
(l 2 a2 ) (l a)2 2
作业： 1-7 2-20 2-28 2-30
3.确定物体系统初、终态的动量，注意动 量的矢量性；
4.根据动量定理或动量守恒定律列方程求 解。
【例6】质量为 m的人站 在质量为 M的车上，开 始时一起以速率 V0沿光 滑水平面向左运动。现在 人以相对车为 u的速率向 右跑，求车的速率 Vt
解：先设定动量的正方向（一般取初始动量的方向），则
系统初始动量为 （M m)V0 人跑动后系统总动量为 MVt m(Vt u)
1
v s .... t
【例1】已知质点运动方程
r


2ti (4 t 2 ) j
(m)
求：①质点从 t =1s 到 t =2s 的平均速度； ② t=1s时的切向加速度和法向加速度。
(2)、v

dr

2i
2tj,
a

d 2r
2 j
(m / s2 )
【例4】如图所示，在光滑的水平桌面上，固定放
置一半径为 R 的半圆形板壁ABCD。一质量为m的
物块以速度 v0 从Ａ处沿壁射入，物块与板壁之间 的滑动摩擦系数为μ。试求物块沿板壁从D点滑出时