3、动量矩定理及其守恒定律描写质点组运动规律的三个基本定理，我们已经讲了其中的一个基本定理，也就是质点组的动量定理，我们还由质点组动量定理导出了质点组的动量守恒规律和质心运动定理。

下面准备要讲的是关于质点组整体运动规律的另外二个基本定理，即动量矩定理与动能定理。

现在先讲质点组的动量矩定理与动量矩守恒规律。

动量矩的概念我们在质点力学部分已经有过接触。

在讨论质点的动量矩定理时，我曾经强调过一提到取矩，不管是计算动量矩也好，还是计算力矩也好，首先必需要明确指出以那一点为取矩的中心，或者对那一轴取矩。

对质点如此，那么对质点组也得如此，讨论质点组的动量矩也同样要首先指出以那点为取矩中心，现在我们就先以任一固定点为取矩中心，推出： 一、质点组对固定点o 的动量矩定理：1、 质点组动量矩的定义：假设由n 个质点组成的质点组，其中第i 个质点对固定点0的矢径i r，定义质点组的总动量矩等于组内所有质点对固定点0的动量矩的矢量和，即：)(1in i i r m r J ∑=⨯=。

这就是质点组动量矩的定义式。

与质点组动量定理的推导相类似，质点组的动量矩定理也可以由牛顿第二定理直接导出：根据牛顿第二定律得质点组中第i 个质点的动力学方程为：()()e i i i i i f f r m '+= ,用i r 乘等式的两边：()e i i i i i i i i f r f r r m r ⨯+⨯=⨯）（并对n 个这样类似的方程求和，则有：()e i i ii i i ii i i if r f r r m r ⨯+⨯=⨯∑∑∑）（ (1)此等式的右边的第一项是质点组内所有内力对固定点的力矩的矢量和。

可以证明这项矢量和必定等于零。

为了推算简单起见。

先证明i,j 两个质点所受的一对内力对固定点O 的力矩的矢量和等于零。

证明：如图所示，质点组内i,j 两个质点的相互作用的内力为：j 对i 的作用力为ji f，它的反作用力作用在j 上，用ij f表示。

因为它们是一对作用与反作用力，所以ij f = -ji f。

O 为任意一固定点。

这两个力对O 点的力矩矢量和就是ijj ji i f r f r ⨯+⨯jiji ji j i ij j ji i ji ij f r f r r f r f r f f ⨯=⨯-=⨯-⨯∴-=)(。

因为这两个矢量在同一方向上，所以=0。

另外我们所取的两个质点是任意的，所以上面得到的结果对质点组中任意二个质点都成立。

既然成对的内力矩等于零，而总内力矩正是一一成对的内力矩之和。

所以由此可以推理得到：质点组中所有的内力对任一固定点0的力矩之和恒等于零。

即：0)(=⨯∑i i ii f r ,又因为)(i i i i i i r m r dtd r m r ⨯=⨯ 将它们代入（1）式则有 ())(e i i i i i if r f r r m r ⨯+⨯=⨯ 这里的)(1i n i i r m r J ∑=⨯= 是质点的总动量距J .所以它可写成为：)(e iii f r dt J d ⨯=∑ 令ee i ii M f r =⨯∑)( 则又可简写为 e M dt J d= 这就是质点组动力学的第二个基本定理叫做质点组的动量矩定理。

它表明质点组对任一固定点的动量矩对时间的变化率，就等于作用在质点组上所有外力对该固定点的力矩的矢量和。

它在以固定点O 为原点的固定直角坐标系上的三个分量式为：()()())(iye i iize i i i i i i i fz f y y z z y m dt d-=-∑∑()()())(iz e i i iz e i i i i i i i f x f z z x x z m dt d-=-∑∑()()())(ix e i i iy e i i i i i i i f y f x x y y x m dt d-=-∑∑动量矩定理的这三个分量式说明了什么物理意义？说明了质点组对某一固定轴的动量矩对时间的变化率，等于作用在质点组上的所有外力对该轴的力矩之和。

由这个定理我们再一次看到内力是不能改变质点组整体的动量矩，只有外力才有可能引起质点组的总动量矩的变化。

由质点组的动量矩定理可直接推出质点组的动量矩守恒定律。

二、动量矩守恒定律：如果作用在质点组上的所有外力对固定点的力矩之和等于零：()0=⨯=∑ie i i ef r M由动量矩定理可得其第一积分为：C J=。

可见对同一固定点质点组的动量矩守恒，总动量矩等于恒矢量。

这个关系就是质点组的动量矩守恒定律。

要注意力矩之和等于零并不意味着外力之和一定等于零，这句话反过来说也不成立，也就是说外力之和等于零并不意味着外力矩之和等于零。

为什么道理？我不讲了。

留给大家课外去思考。

与动量守恒的情形类似，如果作用在质点组上所有外力对某固定点的力矩之和虽然不等于零，但是，对通过该定点的某一固定轴例如x 轴的力矩之和为零，即 ()()0)(=-=∑iy e iiiz e i ex f z f yM 时，则质点组的动量矩在这一轴上的分量是守恒的，等于一常量 ，即 x x C J = 。

上面推导得到的质点组的动量矩定理和动量矩守恒定律只对惯性系中的固定点或固定轴成立。

如果我们选择质点组的质心为取矩中心，这时质点组相对质心（坐标系）的动量矩的变化将遵循咋样的规律呢？现在我们就着手研究这个问题，也就是推出质点组对质心的动量矩定理。

三、质点组对质心的动量矩定理：1、 推导：假设由n 个质点组成的质点组中C 点是它的质心，取质心为一坐标原点，并固定一坐标系z y x c '''-，它随着质心一起相对固定坐标系z y x ⋅⋅-0平动。

如果质心有加速度时，平动坐标系就具有加速度，此时它就不再是惯性系，质点组上每个质点都将受到惯性力的作用，所以质点组对质心的动量矩定理得从非惯性系的动力学方程导出。

除此之外，我们也可以根据用坐标转换的关系，再根据质点组对固定点的动量矩定理推出质点组对质心的动量矩定理。

前一种方法就是我们课本上介绍的那种方法。

前一种方法我在课堂上就不讲了，大家课外自己可以去看书。

现在我们就采用后一种方法来推出质点组对质心的动量矩定理。

如上图所示，质点组中任一质点i 其质量为 i m 。

此质点组对固定坐标原点的位置矢径为 i r ，相对质心的位置矢径用c r ' 表示，质心C 相对固定点O 的位置矢径为c r •。

根据矢量合成定理可得：i c i r r r '+=……（1）已知质点组相对固定点O 的动量矩定理是：()e ii i i i i i f r r m r dt d ⨯=⨯∑∑……（2） 将（1）代入（2）式的左边：即'⨯'+⨯='⨯'+⨯'+'⨯'+⨯='+⨯'+=⨯∑∑∑∑∑∑∑∑ii ii c i ic ii ii c i ii ii i c c i ic i c i ii c ii i i r m r r m r r m r r m r r m r r m r r r m r r r m r )()( (3)可以证明第2和第3两项都等于0。

c iii i c i i r r m r m r⨯'=⨯'∑∑)(，然而对质心坐标系z y x c '''-'来说0='cr ，那么根据质心的定义式知0='='∑∑ii iii c mr m r， 0='∴∑iii r m0='⨯'∴∑c i ii r m r 0='∑ii i r m 0='∴∑ii i rm 也就等于0。

于是可知0='⨯='⨯∑∑i iii c i i cr m r r m r这就证明第2和第3两项确实都等于0。

再将（1）代入（2）式的右边则有：)()()()()()(e i ii i e i c i e i i e i i c e i ii c ie i if r f r f r f r f r r f r ⨯'+⨯=⨯'+⨯=⨯'+=⨯∑∑∑∑∑∑根据质心运动定理知：()∴=∑ie i cf r m它又等于)(e i ii cc f r r m r ⨯'+⨯∑……（4）我们将得到的结果（3）（4）代入（2）式则有：()e i ii i c i i i i i i i c f r r m r r m r dt d r m r dt d ⨯'+⨯='⨯'+⨯∑∑∑ ∑⨯=⨯i i i c c i c r m r r m r dt d ()e i ii i i i i f r r m r dt d ⨯'='⨯∴∑∑由所得到的这个最后结果可以看出：∑'⨯'iii irm r是质点组对质心的总动量矩。

可用符号c J表示，所以等式的左侧就是质点组对质心的动量矩对时间的一阶微商，而等式的右侧是作用在质点组上的所有外力对质心C 的力矩矢量和，用符号ec M 表示的话，上式就可简写为：e c cM dtJ d= ——此等式就是质点组相对质心平动参照系的动量矩定理，简称为质点组对质心的动量矩定理。

这里要注意质心平动参照系它不一定是惯性系。

因为我们前面的推导没有对它是不是惯性系加过限止，所以它有可能是非惯性系，也就是说，质心的动量矩定理对质心平动参照系是不是惯性系都是成立的。

将它与对固定点O 的动量矩定理：e o oM dtJ d=相比较，可见他们具有完全相同的形式，唯一的区别是两者的取矩中心不同，一个是以质心为取矩中心，一个是以固定点为取矩中心。

总之，2、结论：质点组的动量矩对时间的一阶微商等于作用在质点组上的所有外力矩之和。

这个结论不仅对惯性系中的固定点成立，对质心也是成立的，但是对其它的动点一般是不成立的。

如图所示，如果我们将平动（参照）坐标系固定在非质心的其它动点上，在此情况下，质点组中任一质点的位置矢径在定、动坐标系中的关系应该是：'+='i o i r r r，质心位置矢径的关系是：'+='c o c r r r。

与推导质点组对质心的动量距定理的方法一样，不难推出质点组对动点0'的动量距的变化规律，在课堂上我不再详细的推导了，只给出他的结果，有兴趣的同学不妨课外去推导一下，也是有好处的，不感兴趣的就不用勉强了。

由推导得到的结果是o c e i ii i i i i r m r f r r m r dt d '⨯'-⨯'='⨯'∑∑ 。